高中高一数学各章知识点总结《整理》

高中高一数学各章知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象
叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素
的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对 象或者
是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元
素都是 不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中
的元素是平等的，没有先后顺 序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它
们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使
集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合
A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?


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A
举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法 ：将集
合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件
表示某些 对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形
的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或
{x| x-3>2}
4、集合的分类： 1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个
元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B
是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元
素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个 元素都是集合B的元素，
同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，
即：A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且
A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?
C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集
是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算


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1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所 组成的集合,叫做A,B
的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义 ：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，
叫做A,B的并集。记作：A∪B(读 作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ
= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A
的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记
作： CSA 即 CSA ={x ? x?S且 x?A}
（2）全集：如果集合S含有我们 所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就
可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)
∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确
定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的
数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记
作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值 范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值
域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成
集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的


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定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于
零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、
对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通过四则运
算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .（6）
指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意
义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个
要素是定义域、对应关系和 值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称 这两个函数相等（或为同一函
数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与 表示自
变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一
致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数
的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数
函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域 的基础。
3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中
的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈
A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足
y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为
C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续 曲线(或直线),也可
能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，


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以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接
起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移
变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。 发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对
应法则f，使 对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素
y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：
A B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b ∈B.且元素a和元素b对应，
那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说明： 函数是
一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；
②对应 法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的
对应关系一般是不同的；③对于映 射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中
的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（ Ⅱ）集合A中不同的元
素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在< br>集合A中都有原象。
6． 常用的函数表示法及各自的优点： ○1 函数图象既可以是连续 的曲线，也可
以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○
2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数
的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要


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有代表性，应能反映定义域的特征． 注意啊：解析法：便于算出函数值。列表
法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解
析表 达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几 个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并
用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的 取值情况．（1）分段函数
是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定 义域
的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈
A) 称为f、g的复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函数单调性
（1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D
内的任 意两个自变量x1，x2，当x1在区间D 上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间
的概念） 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1有f(x1)＞f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调
减区间. 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的
局部性质； ○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1总有f(x1)（2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f (x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右
是上升的，减函数的图 象从左到右是下降的.


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(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5 下结论（指出函数
f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f( u)
的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u)
增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意：1、函数的单调区间只能是其
定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们
在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一 个x，都有f(－x)=—
f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：○1 函数是奇函数或是偶 函数称为函数的
奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇
函数又是偶函数。 ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条
件是，对于定义域内 的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即
定义域关于原点对称）． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关
于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的
格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确
定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，


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则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意
啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函 数的定义
域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义
判 定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或
f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变
量之间的函 数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义
域. （2）.求函数的解析式的主 要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如
果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合 函数f[g(x)]的表达式时，
可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可 用凑配法；
若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） ○1 利用二次函数的性质（配方
法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用 函数单调
性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在
区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小
值f (b)；

第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，


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且 ∈ *．
当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次
方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数
（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）． 当 是偶数时，正数的 次
方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负
的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由
此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。
注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂
没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后， 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指
数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数 幂．
3．实数指数幂的运算性质
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），
其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底
数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质 a>1 0

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图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非
奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，
1） 自左向右看，
图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限
内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了
某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ； （3）对于指数函数 ，总有 ； （4）
当 时，若 ，则 ；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底
数， — 真数， — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制 ，且 ； ○2 ； ○3 注意
对数的书写格式． 两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数 ； ○2 自
然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
2、 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数
← → 指数 真数 ← → 幂
（二）对数的运算性质
如果 ，且 ， ， ，那么：


第 10 页 共 10 页

○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：换底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用换底公式推导下面的结论（1） ； （2） ．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域
是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．
2、对数函数的性质：
a>1 0图象特征 函数性质 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象
关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为
R 函数图象都过定点（1，0） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图
象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象
纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都
小于0
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．


第 11 页 共 11 页

2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都
过点（1，1）；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，
幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸； （3） 时，幂函数的图象在区
间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼
近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点
的横坐标。即： 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、函数零点的求法：
求函数 的零点： ○1 （代数法）求方程 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数 ．
１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数
有两个零点．
２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，
二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程 无实根，二次函数的


第 12 页 共 12 页

图象与 轴无交点，二次函数无零点．


高中高一数学必修4各章知识点总结
基本三角函数
Ⅰ
?

?

2
?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
2
?
2
?
?
Ⅳ
?
2
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：
?
??
?
??
,
?
?z
?
? 终边落在y轴上的角的
??
?
集合：
?
??
?
??
?,
?
?z?
? 终边落在坐标轴上的角的集合：
2
??
??
?
?
??
?
?
,
?
?z
?

2
??
? 基本三角函数符号记
?

1?
180
弧度

忆：

“一全，二正弦，三切，四
11
2
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
180
?
?
?
弧度
l?
?
r
?
360度?2
?
弧度
?
.
tan
?
cot
?
?1
?倒数关系：
Sin
?
Csc?
?1
正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos
?
Sec
?
?1



第 13 页 共 13 页

tan
2
?
?1?Se c
2
?
平方关系：
Sin
?
?Cos
?
2 2
三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
?1

边对应的三角函数的平方
1?Cot
2
?
?Csc
2?
乘积关系：
Sin
?
?tan
?
Cos
?< br> ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘
积
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数
值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系： 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平
方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

?
?
?2k
?
?
?SinSin
?
, k ?z
Co
?
s
?
?2k
?
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?Co< br>?
s , k ?z

?
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?
, k ?z
?
角
?
与角?
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关于x轴对称

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??SinSin
?
Co
?s?
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角
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与角
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关于y轴对称

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?SinSin
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Co
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关于原点对称
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Sin
Cos
Cot

tan


第 14 页 共 14 页
Sec
Csc

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角
?2
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与角
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关于y?x对称
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t
?
2
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上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?
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2
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y?ACos
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x?
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y?ASin
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, A?0 ,
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?
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y?ACo s
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x?
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? 0 , T?
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y?ASin
?
?
x?
?
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?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?

?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?
?
?
T?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 ,
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T ?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的 余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot
→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）


第 15 页 共 15 页

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°< br>-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；
三为切；四余弦 ”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
Ⅴ 三角函数的性质

性 质
定义域
值 域


y?Sin x

y?Cos x

R R
?
?1,1
?

第 16 页 共 16 页
?
?1,1
?

周期性
奇偶性
单调性
2
?

2
?

奇函数 偶函数
??
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
2k
?
?,2k
?
?,k?z ,增函数

??
22
??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
??
,k?z,减函数
22
??

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

5
4
对称轴

图

?
2
,k?z


5
4
3
2y
1
3
x
y
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
2
-1
1
-π 2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-2
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4

像

性 质
定义域
2π
8
-3
-4
-2
-3
-5

-4
-5
-6




y?cot x

y?tan x

??
?
?
xx?
??
?,
?
?z
?

2
??
?
x x?
??
,
?
?z
?

R 值 域
周期性
奇偶性
单调性
R
?

奇函数 ??
??
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?z,增函数

22
??
?

奇函数
?< br>k
?
,k
?
?
?
?
,k?z,增函数



第 17 页 共 17 页

对称中心
对称轴


-15-10
?
k
?
,0
?
,k?z

无
10
8
?
??
?
k
?
?,0
?
,k?z
2
??

无
y

6
4
y
2
x
-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
图

像
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin 变化为xy?ASi
?
n
?
x?
?
?
?k
？
振幅变化：
y?Sinx

y?ASin

x
左右伸缩变化：
nx
左右平移变化
y?ASi(n
?
x?
?
)

y?ASi
?
?
x?
?
)?k
上下平移变化
y?ASi(n
Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有

??
一个实数
?
,使得b??
a,a?0,则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向量

??
那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?PP
2

.
线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式
x
1
?
?
x
2




1?
?
?

.
y
1
?
?
y
2

y?

1?
?
OP
1
?
?
OP
2



OP?

1?
?
x?



第 18 页 共 18 页

?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式


x?x
2
x?
1
2



线段中点向量公式




.

OP?
OP
1
?OP
2

2



y?
y
1
?y
2

2
Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：

?
推广
平面向量基本定理：

?
推广
空间向量基本定理：
?
其中e,e,e为该空间内的三
?

123
??
个
?
不共面的向量
?
?
?
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
?
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
?

?
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
,
?
?
不共线的向量
?
??
b?
?
a a ?0
??

Ⅸ一般地，设向量
a
?
?
x
1
,y
1
?
,b
?
?
x
2
,y2
?
且a
?
0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果x
1
y
2
?
x
2
y
1
?0,则a
∥
b
.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的
s?
夹角。
Co
?
2
a?b
ab
2
?
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
1
2
x
2
2
?
y
2
2

特别的，
a?a?a?a

或者

a?a?a


Ⅺ
如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O
,
则
O
A
1
?OA
2
?????OA
n
?
0

三角形中的三角问题


第 19 页 共 19 页

?
A?B?C?
?
,
A?B?C
?
?
22
,
A?B
2
?
?
2
-
C
2



Sin
?
A?B
?
?Sin
?C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
?
?
A?B
?
?
2
?
?
? Co
?
?
?
s
C
?
2
?
?

Co
?
?
A?B
??
C
?
?
s
2
?
?
?Sin
?
?
2
?
?< br>? 正弦定理：
abca
SinA
?
SinB
?
Si nC
?2R?
?b?c
SinA?SinB?SinC

余弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c
2
?a
2
?b
2
?2abCosC

b
2
CosA ?
?c
2
?a
2
, CosB ?
a
2
?c
2
?b
2
变形：
2bc2ac
222

CosC ?
a?b?c
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC


三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)< br>Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Co s
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
??Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
??
?
?
?
tan
?
?tan
?
变形< br>1?tan
?
tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
tan
?
?tan
?
?tan
?< br>?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?< br>?
??
1?tan
?
tan
?
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三个内角
? 二倍角公式：
Sin2
?
?2Sin< br>?
Cos
?
Cos2
?
?2Cos
2
??1?1?2Sin
2
?
?Cos
2
?
?Sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
1? tan
2
?
1?Cos
?
? 半角公式：
Sin
?
2
??
2
1?Cos
?
Sin
?
1?C os
?
Cos
?
tan
?
1?Cos
?
2
??
1?Cos
?
?
1?Cos
?
?
Si n
?
2
??
2
? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
1?Cos2
?
2
, Sin
2
?
?
2


第 20 页 共 20 页


：

1
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
2
1
? 积化和差公式：
Cos
?
Sin
?
?
2
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
1
Cos
?
Cos
?
?
?
Cos< br>?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
2
1
Sin
?
Sin
?
??
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
2
Sin
?
Co s
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
?
?2Sin
??
Cos
??
?
2
??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Sin
?
?S in
?
?2Cos
??
Sin
??
? 和差化积公式：22
????
?
?
?
?
??
?
??
Cos
?
?Cos
?
?2Cos
??
Cos
?
?
2
??
2
（
?
?
?
S?S?2SC
S?S?2CS
C?C?2CC
C?C??2SS
） ?
?
?
?
??
?
?
?
?
Co s
?
?Cos
?
??2Sin
??
Sin
???
2
??
2
?
和差化积公式推导
首先,我们知道< br>sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb -cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道
cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2


第 21 页 共 21 页

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四
个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
2tan
Sin
?
?
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
Cos
?
?
1?tan
2
?
?
2
2
(
S?T?C??
)
tan
?
?
2tan
?
2
1?tan
2
?
2

附推导： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα (cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因
为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同
除cos^2(α)， 可得sin2α＝tan2α(1＋
tan^2(α)) 然后用α2代替α即可。 同理可推导
余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比
余弦得到
3
? 三倍角公式：
Sin3
?
?3Sin
?
?4Sin
?
3
3tan
?
?tan
?

tan3
?< br>?
1?3tan
2
?
Cos3
?
?4Cos
3
?
?3Cos
?
“三四立，四立三，中间横个小扁担”
三倍角公式推导


第 22 页 共 22 页

tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) < br>＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α) －cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正
弦”)）


第 23 页 共 23 页

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

?
1. y?aSin
?
?bCos
?
?
b
a
a
2. y?aCos
?
?bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
b
? a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
? 其中 , tan
?
?
a
b
3. y?aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
a
??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
4. y?aCos
??bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?

a

b
b
?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
??a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.

? 补充： 1. 由公式
tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?

?
可以推导 ：
当
?
?
?
?
??
?

时
,
?
?
z ,
?
1
?
tan
?
??
1
?
tan
?
?
?
2

4
在有些题目中应用广泛。
2.
tan
??tan
?
?tan
?
?
?
?
?
ta n
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.


补充
?
1．常见三角不等式：（1）若
x?
(0, )
，则
sinx?x?tanx
.
2


第 24 页 共 24 页

?
(2) 若
x?
(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2< br>?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?< br>?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限
b
决定,
tan
?
?
).
a
??
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
??
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)co s(?
?
)
.
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33
4.三角形面积定理：（1）
S?
111
ah
a
?bhb
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、
222
c边上的高）.
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
. 222
????????
2
????????
2
1
(| OA|?|OB|)?(OA?OB)
. (3)
S
?OAB
?
2
5.三角形内角和定理 在△ABC 中，有
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
A ?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
???
222
.
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
k
?
?
?
2
?
?
?
(k?Z)
；对称
k
?
?
?
,0)(k
?
Z)
；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；中心为
(

?
〈三〉易错点提示：
1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义 域了吗？你注意到
正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数
“1”的种种代换有着广泛的应用．


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3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式
转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

)


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