最全高一数学知识点归纳5篇

最全高一数学知识点归纳5篇

高一数学必修一是很多同学的噩梦，知识点众 多而且杂，对于高一的新生们很
不友好，小编建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提 高学习效率。
下面就是小编给大家带来的高一数学知识点，希望能帮助到大家！


高一数学知识点总结1

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论(aas)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定 定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边
也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或 延长线相交，那么交点在
对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一 条直线垂直平分，那么这两个图形关
于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两 直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即
a^2+b^2=c^2

47勾 股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这
个三角形是直角 三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线
平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中
心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这
两个图形 关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等，那么在其
他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线 定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
l=(a+b)÷2s=l×h

83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性质如果ab=cd,那么(a±b)b=(c±d)d

8 5(3)等比性质如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)(b+ d+…+n)=ab

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段
成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，
那么这 条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所 截得的三角形的三边与
原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直 线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三
角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(asa)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(sss)

95定理如果一个直角三角形 的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一
条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似< br>
96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于
相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角
的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一
条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的
弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中
有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相 等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
也相等

118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三
角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线l和⊙o相交d

②直线l和⊙o相切d=r

③直线l和⊙o相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆 的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段
长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>r+r②两圆外切d=r+r

③两圆相交r-rr)

④两圆内切d=r-r(r>r)⑤两圆内含dr)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积sn=pnrn2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式：l=nπr180

145扇形面积公式：s扇形=nπr2360=lr2

146内公切线长=d-(r-r)外公切线长=d-(r+r)

147等腰三角形的两个底脚相等

148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

150三条边都相等的三角形叫做等边三角形

高一数学知识点总结2

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反
的单调性;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[ a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由
不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x )]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于
x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f (x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的
原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意 点关于对称中心(对称轴)的对称点
仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的 对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对
称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f (y-
a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C 1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像 关于直线x=a对
称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f( x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为
2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周
期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f( x)是周期为4︱a︱的周期
函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为 2的周期函
数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)( 或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

6.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

7.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

8.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x )互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--
1(x)]=x(x∈B),f --1[f(x)]=x(x∈A);

9.处理二次函数的问题勿忘数形结合

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称
轴与所 给区间的相对位置关系;

10.依据单调性

利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

高一数学知识点总结3

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情 况，不要忘记了
借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题 之间的相互关系是什么?如何判断充
分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

9.原函 数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一
个函数存在反函数， 此函数不一定单调.例如：.

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单 调区间
不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题 ?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等
式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握 了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一 元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不
能转化为。若原题中没有指出是二 次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二
次项系数可能为的零的情形?

18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什
么?

21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是
关键” ，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

22.在求不等式的解集、 定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能
用不等式表示.

23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意
“同号可倒”即a>b >0，a<0.

24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

2 5.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些
题目通项是分 段函数。

26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你 知道无
穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定
义域 中的值不是连续的。)

28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注 意从到过程中，先假设时成立，再
结合一些数学方法用来证明时也成立。

29. 正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它
归哪个象限呢?你知道锐角 与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?

30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你
知道吗?

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦
函数、 余弦函数的有界性了吗?

32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式 、用三角公式转化出现
特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数 的图象和性质.你会写三角函数的单调区
间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书 写规范,可别忘了)，你是
否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

(1)函数的图象的平移 为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个
单位得到的图象的解析式为，即.< br>
(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3 个
单位得到的图象的解析式为，即.

(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.

37.在三角函数中求一个角时，注意考 虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，
再判定角的范围)

38.形如的周期都是，但的周期为。

39.正弦定理时易忘比值还等于2R.

高一数学知识点总结4

空间几何体表面积体积公式：

1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体
高)

2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2 h3(r为圆锥体低圆半径,h为其
高,

3、a-边长,S=6a2,V=a3

4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

5、棱柱S-h-高V=Sh

6、棱锥S-h-高V=Sh3

7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^12]3

8、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)6

9、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS
底=π r2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h

10、空心圆柱R- 外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)

11、r-底半径h- 高V=πr^2h3

12、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)313、球r-半径d- 直径
V=43πr^3=πd^36

14、球缺h- 球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)6=πh2(3r-h)3

15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]6

16、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d- 环体截面直径
V=2π2Rr2=π2Dd24

17、桶状体D-桶腹直径d- 桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)12,(母线是圆弧形,圆
心是桶的中心)V=πh(2D 2+Dd+3d24)15(母线是抛物线形)

练习题：

1.正 四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于，有两个正四面体的棱长也都
等于.当这两个正四面体各 有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，
得到一个新的多面体，该多面体是()
(A)五面体

(B)七面体

(C)九面体

(D)十一面体

2.正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为()

(A)9

(B)18

(C)36

(D)64

3.下列说法正确的是()

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

高一数学知识点总结5

一：集合的含义与表示

1、集合的含义： 集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，
并且能判断一个给定的东西是否属于这 个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属
于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不可重复的。

(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

3、集合的表示：{…}

(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N_或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

(1).“包含”关系(1)—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素 ，我们说这两个集合有包含
关系，称集合A是集合B的子集。

二、函数的概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f， 使对于集
合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--- B
为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.

(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域

(2)图想像：确定函数图像是否连 线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、
离散的点等等。

(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈ A)中的x为横坐标，函数值y
为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A )的图象.C上每一点的坐标(x，
y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的 每一组有序实数对x、y为坐标的
点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。

(3)函数图像平移变换的特点：

1)加左减右——————只对x

2)上减下加——————只对y

3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=|f(x)|

7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

(1、函数的解析 式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一
是要求出它们之间的对应法则，二是要求 出函数的定义域.

(2、求函数的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系数法：

3)换元法：

4)拼凑法：

2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各
部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函 数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定
义域一致(两点必须同时具备 )

4、区间的概念：

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示

5、值域(先考虑其定义域)

(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

(2)反表示法： 针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数
关系式，由X的范围类似求Y的范围。< br>
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，
注意定义域的范围。

(4)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集
合A中的 任意一个元素x，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A--- B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)---B(象)”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的;

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的 所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

(1、增减函数

(1)设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自
变量x1，x2，当x1

(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增，和单调不减
两种

(2、图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那 么说函数y=f(x)在这一区间上具
有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升 的，减函数的图象从
左到右是下降的.

(3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)-f(x2);

变形(通常是因式分解和配方);

定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合 函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称 为f、g的复
合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g (x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规
律：“同增异减”

注意：函数的 单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一
起写成其并集.

9：函数的奇偶性(整体性质)

(1、偶函数

一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做
偶函数.

(2、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意 一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫
做奇函数.

(3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对 称;若是不对称，则是非奇
非偶的函数;若对称，则进行下面判断;

b、确定f(-x)与f(x)的关系;

c、作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.

(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数;

奇函数的加减仍为奇函数;

奇数个奇函数的乘除认为奇函数;

偶数个奇函数的乘除为偶函数;

一奇一偶的乘积是奇函数;

a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：函数定义域关于原点 对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义
域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶 函数.若对称，

(1)再根据定义判定;

(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数最值及性质的应用

(1、函数的最值

a利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

b利用图象求函数的(小)值

c利用函数单调性的判断函数的(小)值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f( x)
在x=b处有值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[ a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)
在x=b处有最小值f(b);

(2、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

(3、判断含糊单调性时也可以用作商 法，过程与作差法类似，区别在于作差法是
与0作比较，作商法是与1作比较。

(4)绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

(5)在判断 函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并
不一定可以判断函数 为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。