高中数学必修知识点总结

高中数学
第一章 立体几何初步
必修2
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相 邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD
'
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行
且相等；平 行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几
何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字 母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相 似比等于顶点
到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字 母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的
几何体
特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是
一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几
何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓
形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；
侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R
2

3
'
特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：
V
球
=
4
?
R
3

3
'
； S
球面
=
4
?
R
2

第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α
α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
α
·

C
·

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
P
α
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
·

L
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点： a'与 b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O
一般取在两直线中 的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
?
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
2
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — < br>1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义 ：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L
⊥α，直线 L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共
点P叫做垂足 。
P
a
L
2 、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成 的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我
们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角 的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它 的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。
即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当
?
?0,90
时，
k?0
； 当
??90,180
②过两点的直线的斜率公式：
k?
?
??
??< br>??
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存在。
?
y
2?y
1
(x
1
?x
2
)
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
x
2
?x
1注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线 的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y=y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的 横
坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
?xy
?1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x< br>轴、
y
轴的截距分别为
ab
a,b
。
1
各 式的适用范围○
2
特殊的方程如：平行于x
?0
（A，B不全为0）注意：○ ⑤一般式：
Ax?By?C
（6）两直线平行与垂直
轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
当
l
1
:y ?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，

l
1
l
2?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
Ax?By?C?0< br>22
?
2
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

22
A?B
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l< br>1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
A x?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C< br>2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为< br>d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
，圆心
22
2
222
?
a,b
?
，半径为r；
点
M(x
0
,y
0)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系：
22
2当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在圆外
22
2
当
(x
0
?a)?(y
0?b)
=
r
，点在圆上
22
2
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r
，点在圆内
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

1
DE
?< br>，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?D< br>2
?E
2
?4F

?
?,?
?
?< br>22
?
22
22
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
当
D
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
A a?Bb?C
A
2
?B
2
2
，则有
d?r?l与C 相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程 ：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆 与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
22
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，< br>C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点