高中数学知识点总结_曲线与方程,圆的方程

曲线与方程、圆的方程
1．曲线C的方程为:f(x,y)=0
?
曲 线C上任意一点P（x
0
,y
0
）的坐标满足方程f(x,y)=0，
即f（x
0
,y
0
）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x
0
,y
0
）为坐标的点P（x
0
,y
0
）在曲线 C上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求
动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，
②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都
是方程的解， 且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程
(x?y?1)x
2
?y
2
?4?0
所表示的曲线是： （ ）






A B C D
?
x?y?1?0
22
解析：原方程等价于：
?
2
，或
x?y?4
；
2
?
x?y?4
其中当
x?y ?1?0
需
x?y?4
有意义，等式才成立，即
x?y
2222?4
，此时它表示直
线
x?y?1?0
上不在圆
x
2< br>?y
2
?4
内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。
[举例2] 已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。
解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA
y
是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA
M
的最佳载体是直线MA、MB的斜率。
设M（x，y），∠MAB=
?
，则∠MBA=2
?
，它们是直线
x
MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方
B
A
O
还是下方有关；以下讨论：
① 若点M在x轴的上方,
?
?(0
0
,90
0
),y?0,

此时 ，直线MA的倾角为
?
，MB的倾角为
?
-2
?
，
?tan
?
?k
MA
?
y
x?1
,tan(?
?2
?
)?
y
x?2
,
（2
?
?90
0
）
2?
?
1?
y
x?1
2
y
2
?tan(
?
?2
?
)? ?tan2
?
,
??
y
x?2
,

(x?1)

得：

x?
2
y
2
3
?1
，
∵
MA?MB,?x?1
．
当2
?
?90
0
时,
?
=45
0
，
?MAB
为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述

< br>方程．
②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为
x?
2
y
2
3
?1(x?1)
,
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)．
综 上所求点的轨迹方程为
x?
2
y
2
3
?1(x?1)或y? 0(?1?x?2)
．
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，
则它的方程是
A．（
x?1?y
2
）·（
y?1?x
2
）=0
B．（
x?1?y
2
）·（
y?1?x
2
）=0
C．（
x?1?y
2
）·（
y?1?x
2
）=0
D．（
x?1?y
2
）·（
y?1?x
2
）=0
[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，
且满足
RP
·
PM
=
0
，2
PM
+3< br>MQ
=
0
，当点P移动时，求M点的轨迹方程。
[迁移]正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，点 M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的
一动点，且点P到直线A
1
D
1
的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹
为： A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点 （圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二
元二次方程Ax
2
+By2
+Cxy+Dx+Ey+F=0
?
A=B≠0，C=0,且D
2
+E
2
-4AF>0）。判断点P（x
0
,y
0
）与⊙M：(x-a)
2
+(y-b)
2
= r
2
的位置关 系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r
?
(x
0
-a)
2< br>+(y
0
-b)
2
> r
2
?
P
在 ⊙M外；|PM|?
(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
< r
2
?
P在⊙M内；|PM|=r
?
(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
= r
2
?
P在
⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。
[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆< br>的方程为 。
解析：研究圆在坐标轴上的截距 ，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆
的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，
圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时 ，x
2
+Dx+F=0，x
1
+x
2
=-D
圆在 y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y
2
+Ey+F=0，y
1+y
2
=-E
由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k使得直线
l
：kx-y-k+2=0与圆C：x
2< br>+2ax+y
2
-a+2=0无公共点，则实数
a的取值范围是： 。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线
l
对任意的实数k 恒过定点
M（1，2），要存在实数k使得直线
l
与⊙C相离，当且仅当M点在圆外 ；方程x
2
+2ax+y
2
-a+2=0
22222
变形为：(x+a)+y= a+a-2, M点在⊙C外
?
(1+a)+4>a+a-2>0，解得：-71.
注：本题中a
2
+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。
[巩固2]已知定点M(x
0
,y
0
)在第一象限，过M点的两 圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r
1
，
r
2
,则r
1
r
2
= 。

[迁移] 关于曲线
C:x
4
?y
2
? 1
给出下列说法：①关于直线
y?0
对称；②关于直线
x?0
对称；③关于点
(0,0)
对称；④关于直线
y?x
对称；⑤是封闭图形， 面积小于
?
；⑥是封闭
图形，面积大于
?
；则其中正确说法的序号是
3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离
d
来研究。
d< br>=
r
（
r
为圆的半
径）
?
直线与圆相切；过 圆x
2
+y
2
=r
2
上一点M(x
0
,y
0
)的切线方程为x
0
x+y
0
y=r
2
；过圆x
2
+y
2
=r
2
外一点M(x
0
,y
0
)作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x
0
x+y0
y=r。过⊙A外一
点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|
=
|PA|
2
?r
2
。
d
<
r
?
直 线与圆相交，弦长
|AB|=2
r?d
22
2
;过直线A
x
+B
y
+C
=
0与圆：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F
=
0的交点的圆系方
程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F
+
?
（A
x
+B
y
+C）
=
0 。
d
>
r
?
直线与圆相离 ,圆周上的点到
直线距离的最小值为
d
-
r
，最大值为
d< br>+
r
。
[举例1] 从直线x-y+3=0上的点向圆
(x?2)< br>2
?(y?2)
2
?1
引切线，则切线长的最小值是
32
2
14
2
32
4
32
2
A. B. C. D. -1
解析：圆
(x?2)2
?(y?2)
2
?1
的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上 任一点P，过引圆的
切线PQ（Q为切点），则|PQ|
=
|PA|
2
?1
，
当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最
32
2< br>14
2
小值即A到直线x-y+3=0的距离，为，此时|PQ|=，选B。
[举例2] 能够使得圆
x?y?2x?4y?1?0
上恰有两个点到直线
2 x?y?c?0
距离等于
1的
c
的一个值为：A．2 Ｂ．
5
C．3 D．
35

解 析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解
的个数，将是非 常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径
r
=2，结合图形容易知道，当且
仅当M 到直线
l
：
2x?y?c?0
的距离
d
∈（1，3）时，⊙ M上恰有两个点到直线
l
的距离
|c|
5
22
等于1，由< br>d
=∈（1，3）得：
c?(?35,?5)?(5,35)
，选C。
[巩固1] 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x
2
+y
2
－2 x=0相切，则a的值为 （ ）
（A）1，－1 （B）2，－2 （C）1 （D）－1
[巩固2]直线l
1
：y=kx+1与圆C：x+y+2kx+2my= 0的两个交点A、B关于直线l
2
：x+y=0
对称，则
CA?CB
= 。
22

[迁移]实数x,y满足
x
2?y
2
?2x?2y?1?0,则
A．
[,??)

3
4
y?4
x?2
的取值范围为
4
3
]

（ ）
4
3
,0)
B．
[0,]

3
4
C．
(??,?
D．
[?
4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、 差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为
r
1
、
r
2
，
|MN|>
r
1
+
r
2
?
外离，|MN|=r
1
+
r
2
?
外切，|
r
1
-
r
2
|<|MN|<
r
1
+
r
2
?
相交，此时，若⊙M：
⊙N：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
，过两圆交点的圆（系）
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
的方程为：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
+
?
（
x
2
?y
2
?D
2
x? E
2
y?F
2
）
=
0（⊙N除外）。
特别地：当
?
= -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN |=|
r
1
-
r
2
|
?
内切，|MN|< |
r
1
-
r
2
|
?
内含。
[举 例1]已知两圆O
1
：x+y=16，O
2
：(x-1)+(y+2)=9， 两圆公共弦交直线O
1
O
2
于M点，则
O
1
分有向 线段MO
2
所成的比λ= （ ）
A．
6
5
2222
2222
B．
5
6
C．-
6
5

6
5
D．-
，
?
5
6

），有定比分点解析：直线O
1
O
2
：y= -2x，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M（
坐标公式不难得到λ的值，选C。
12
5
[举例2] 若
A?{(x,y)|x
2
?y
2
?16},B?{(x,y)|x
2
?(y?2)
2
?a?1} 且A?B?B,

则a的取值范围是 （ ）
A．
a?1
B．
a?5
C．
1?a?5
D．
a?5

解析：集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩ B=B
?
B
?
A，即两圆
内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2） ，半径分别为4和
a?1
，于是有：2≤4-
a?1
,
解得：
1?a?5
，选C。
[巩固1]圆心在直线
x?y?4?0上,且经过两圆x2
?y
2
?4x?3?0,x
2
?y
2
?4y ?3?0
的交点的圆的方程为
22

22
（ ）
A．
x?y?6x?2y?3?0

C．
x?y?6x?2y?3?0

22
B．
x?y?6x?2y?3?0

D．
x?y?6x?2y?3?0

22
[巩固2]若圆(x－a)
2
+(y－b)
2
=6始终平分圆x
2
+y
2+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹
方程是?
A.a
2
+b
2
－2a－2b+1=0
C.a
2
+b
2
－2a+2b+1=0






B.a
2
+b
2
+2a+2b+1=0?
D.a
2
+b
2
+2a－2b+1=0

[ 迁移]与圆
x
2
+
y
2
?2x
=0外切且与
y
轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 。
5.圆的参数方程的本质是sin
2
?
+ cos
2
?=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，
可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现 出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方
程来体现横纵坐标之间的关系。
[举例]已知圆
x
2
?(y?1)
2
?1
上任意一点P(x、y)都使不等 式x+y+m?0成立，则m的取值
范围是：A .[
2?1,??)
B
?
??,0
?
C (
2,??
) D
[1?

2,??)
（ ）
解析：不等式x+y+m?0恒成立
?
m? -（x+y）恒成立，以下求-（x+y）的最大值：
记x= cos
?
、y=1+ sin
?
，-（x+y）= -( cos
?
+1+ sin
?
)= -1-
2
sin(
?
+
sin?
2?cos
?
?
4
)≤-1+
2
,选A。
[巩固1]
f(
?
)?
的最大值为 。
a
b
3
4
[巩固2]在⊿ABC中，已知
+PC的最大值为
2
cosB
cosA
??
，c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点 ，则PA
2
+PB
2

[迁移]动点P，Q坐标分别为
p< br>?
cos
?
，sin
?
?
，Q
?
3 ?sin
?
，?1?cos
?
?
，（
?
是参数），
则|PQ|的最大值与最小值的和为 ．




2
答案
1．[巩固1] D,[巩固2]y=4x (x>0),[迁移]在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。
2、[巩固1] (x-1)
2
+(y+1)
2
= 5，[巩固2]∵点M在第一象限，∴过点 M与两坐标轴相切的圆的
方程可设为：(x-r)
2
+(y-r)
2
= r
2
, ∵圆过M(x
0
,y
0
)点，∴(x
0
-r)
2
+(y
0
-r)
2
= r
2
，整理得：
r
2
-2(x
0
+y
0
)r+ x
02
+y
0
2
=0,由题意知r
1
，r
2
为该方程的两根，故r
1
r
2
= x
0
2
+y< br>0
2
。[迁移]在曲线C
上任取一点M(x
0
,y
0
)，x
0
4
+y
0
2
=1, ∵|x
0
|≤1, ∴x
0
4
≤x
0
2
, ∴x
0
2
+y
0
2
≥x
0
4
+y
0
2
=1,即点M在圆
x
2
+y
2
=1外，选①②③⑥；3、[巩固1]D，[巩固2]-1，[迁移]A；4 、[巩固1]A，[巩固2]
圆x
2
+y
2
+2x+2y－3=0 的圆心A（-1，-1），半径为
5
，⊙M始终平分⊙A的周长即
两圆的公共弦是⊙ A的直径，A在直线：2(a+1)+2(b+1)y-(a
2
+b
2
)+3 =0上，将a点坐标代入即
得，选B；[迁移]
y?4x
(x?0)
和y?0(x?0)
，5、[巩固1]1，[巩固2]易知⊿ABC
为直角三角形，a=6, b=8,c=10,则内切圆半径r=2，以C为原点建系，设P(2cos
?
,2sin?
),
PA
2
+PB
2
+PC
2
= 80-8sin
?
,最大值为88，[迁移] |PQ|的最大、最小值分别为
10? 2
，和为
2
210
，注：题中参数
?
是同一个，因此点P， Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的
任意点．因此借助图形去直观地求解很容易出错。