高中数学选修1—1知识点总结

高中数学选修1—1知识点总结
数学选修1－1
第一章：命题与逻辑结构知识点：

四种命题的真假性之间的关系：
?1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把命题p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真 命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p?q
是假 对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．若
p是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，
则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
?
”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑 中通常称为存在量词，用“
?
”表示．含有存在量词的命题称为特称
命题．特称命题“ 存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
。全称命题的否定是特称命题。
特称命题
p
：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
? x??
，
?p
?
x
?
。特称命题的否定是全称命题。
第二章：圆锥曲线知识点：
1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系；②设动点
M
?
x,y
?
及其他的 点；③找出满足限制条件的等式；
④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 2、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数 （大于
FF
）的点的轨迹称为椭圆。这两个定
12
- 1 - 4

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点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的 焦距。
MF
1
?MF
2
?2a
?
2a?2c
?

3、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
a
2
x??
c
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
、
?
1
?
0,?b
?
、
?
2< br>?
0,b
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?b,0
?

?
1
?
0,?a
?
、?
2
?
0,a
?
、
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?
，a最大
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa

a
2

y??
c
5、平面内与两个 定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为双曲
线。这两个定点称为双曲线的焦点 ，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
MF
1
?MF
2
?2a
?
2a?2c
?

6、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2

y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
x??a
或
x?a
，y?R

?
1
?
?a,0
?
、
?2
?
a,0
?

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

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轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
渐近线方程
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
，c最大
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??
c
y??

a
2

y??
c
y??
a

x
b
b

x
a
7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
9、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线
的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
10、过抛物线的焦点 作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为 抛物线的“通径”，
即
???2p
．
12、抛物线的几何性质：
标准方程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
焦点
准线方程
离心率
范围

y
轴
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?< br>
p
??
F
?
0,
?
2
?

?


?
0,0
?

x
轴 ?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?< br>
x??
p
2
p
??
F
?
0,?< br>?
2
?

?

x?
p
2

y??
p
2

y?
p
2

e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

导数及其应用
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般 的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x?0
?x
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我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
，即
f
?< br>(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f( x
0
)

?x?0
?x
2. 导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线< br>PT
与曲线相切。容易知道，割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
)
，当点
x< br>n
?x
0
?x?0
P
n
趋近于
P
时 ，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的斜率k，即
k?lim
f(x
n
)?f(x
0
)

? f
?
(x
0
)
x
n
?x
0
二.导 数的计算：基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
； 2 若
f(x)?x?
,则
f
?
(x)?
?
x
?
?1;
3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx
4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f(x)?a
x
,则
f
?
(x)?a
x
lna
6 若
f(x)?e
x
,则
f
?
(x)?e
x

x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
( x)?
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
1

xlna
x
导数的运算法则：1.
[f(x)?g(x)]
??f
?
(x)?g
?
(x)

2.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x) ?f(x)?g
?
(x)
3.
[
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
(a,b)
内
(1)如果
f
?
(x)?0，函数
y?f(x)
在这个区间单调递增；(2)如果
f
?
(x )?0
，函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右 侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极 大值;
（2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x) ?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
（3）
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)

]
?
?
2
g(x)[g(x)]
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