高中数列知识点总结归纳()

一、等差数列
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
2
项起 ，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差 ，公差通常用字母
d
表示。用递推公式
表示为
a
n
?an?1
?d(n?2)
或
a
n?1
?a
n
?d (n?1)
。
2、等差数列的通项公式：
a
n
?a
1?(n?1)d
；
说明：等差数列（通常可称为
AP
数列）的单调性：
d?0
为递增数列，
d?0
为常数列，
d?0
为递减数列。
3、等差中项的概念：
a?b
定义：如果
a
，A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其中
A?

2
a?b
a，
A
，
b
成等差数列
?
A?
。
2< br>n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
4、等差数列的前< br>n
和的求和公式：
S
n
??na
1
?d
。
22
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列
?
a
n?
中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列
?a
n
?
中，相隔等距离的项组成的数列是
AP
，
如：
a
1
，
a
3
，
a
5
，
a
7
，……；
a
3
，
a
8
，
a
13
，
a
18
，……；
（3）在等差数列
?a
n
?
中，对任意
m
，
n?N
?
，< br>a
n
?a
m
?(n?m)d
，
d?
a
n
?a
m
(m?n)
；
n?m
（4）在等差数列
?
a
n
?
中，若
m
，
n
，
p< br>，
q?N
?
且
m?n?p?q
，则
a
m?a
n
?a
p
?a
q
；
说明：设数列
{a
n
}
是等差数列，且公差为
d
，
S
奇
a
?
n
；
S
偶
a
n?1
S
n
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有
2n?1
项，则①
S
偶
?
S
奇
?a
n
?a
中
；②< br>奇
?
。
S
偶
n?1
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有< br>2n
项，则①
S
奇
?
S
偶
?nd
； ②
6、数列最值
（1）
a
1
?0
，
d?0时，
S
n
有最大值；
a
1
?0
，
d? 0
时，
S
n
有最小值；
（2）
S
n
最值 的求法：①若已知
S
n
，可用二次函数最值的求法（
n?N
?
）；②若已知
a
n
，则
S
n
最值
?
a< br>n
?0
?
a
n
?0
时
n
的值（n?N
?
）可如下确定
?
或
?
。
?
a
n?1
?0
?
a
n?1
?0
二、等比数列
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列
．．．．．．
就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母
q
表示
(q?0)
，即：
a
n?1
：
1
a
n
?q(q?0)
数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的 公比依次是2，5，
?
。（注意：“从
2
第二项起”、“常数”
q< br>、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：
a
n
? a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
。
说 明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比
d?1
时该数列既是等比数列也是等差数列 ；
a
（2）等比数列的通项公式知：若
{a
n
}
为等比数列 ，则
m
?q
m?n
。
a
n
3．等比中项

如果在
a与b
中间插入一个数
G
，使
a,G,b< br>成等比数列，那么
G
叫做
a与b
的等比中项（两个符号相
同的 非零实数，都有两个等比中项）。
4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
的 前n项和是
S
n
?a
1
?a
2
?a
3??a
n
，当
q?1
时，
a
1
(1?q
n
)
a?aq
S
n
?
或
S
n
?
1n
；当q=1时，
S
n
?na
1
（错位相减法 ）。
1?q
1?q
说明：（1）
a
1
,q,n,S
n
和
a
1
,a
n
,q,S
n
各已知三个 可求第四个；（2）注意求和公式中是
q
n
，通
项公式中是
q
n?1
不要混淆；（3）应用求和公式时
q?1
，必要时应讨论
q?1的情况。
5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m< br>项，且
m?n
，
公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q
n?m
；
②对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v
，也就是：
a
1
?an
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n? 2
???
，
a
1
?a
n
???????????< br>,a
3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n
。
2
?
如图所示：
a
1
,a????????
a
2
?a
n?1
③若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k< br>，
S
3k
?S
2k
成等比数列。
如下图所示：
三 、数列前n项和
1．数列求通项与和
?
s
n
?s< br>n?1
n?2
（1）数列前n项和S
n
与通项a
n
的 关系式：a
n
=
?
。
n?1
?
s
1
（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：a
n=(a
n
－a
n
－
1
)+(a
n
－< br>1
+a
n
－
2
)+…+(a
2
－a
1
)+a
1
；
③归纳、猜想法。
（3）数列前n项和
1
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
2
1
1
2
+2
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)；
6< br>1
1
3
+2
3
+…+n
3
=(1+2+…+ n)
2
=n
2
(n+1)
2
；
4
②等差 数列中，S
m+n
=S
m
+S
n
+mnd；
③等 比数列中，S
m+n
=S
n
+q
n
S
m
= S
m
+q
m
S
n
；
④裂项求和
将数列 的通项分成两个式子的代数和，即a
n
=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多 项，这种先
裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：
a< br>n
?
1111
1
11
?(?)
、=－、n·n！=( n+1)!－n!、C
n
－
1
r
(An?B)(An?C)C?BA n?BAn?C
n(n?1)
nn?1
n1
1
=－等。
( n?1)!
n!
(n?1)!
－
1
=C
n
r
－C
n
－
1
r
、
⑤错项相消法
a
n
?b
n
?c
n
, 对一个由等差数列及等比数 列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。

其中
?
bn
?
是等差数列，
qSc????
n
?
1
b
2n?1n
?
c
n
?
是等比数列，记
S
n
?b
1
c
1
?b
2
c
2
???b
n?1
c
n?1
?b
n
c
n
，则
b?c
n?n1
b
，…
c

⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S
n
。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法：
a
n
?b
n
?c
n

2．递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a
n+k
=f(a
n+k
－
1
,a
n+k
－
2
,…,a
n< br>)称为数列的递归关系。由递归关系及k
个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1
=2a
n
+1，及a
1
=1，确定的数列
{2< br>n
?1}
即为
递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：
（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。
（2）迭代法。
（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项a
n
与前n项 和S
n
的关系：a
n
=
2、等差数列的通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d a
n
=a
k
+(n-k)d (其中a
1
为首项、a
k
为已知的第k
项) 当d≠0时，a
n
是关于n的一次式；当d=0时，a
n
是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：S
n
= S
n
= S
n
=
当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0；当d =0时（a
1
≠0），S
n
=na
1
是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： a
n
= a
1
q
n-1

a
n
= a
k
q
n-k

(其中a
1
为首项、a
k< br>为已知的第k项，a
n
≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S
n
=n a
1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S
n
=
三、高中数学中有关等差、等比数 列的结论
1、等差数列{a
n
}的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……仍为等差数列。

2、等差数列{a
n
}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a
n
}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{a
n< br>}的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{a
n
}与{b< br>n
}的和差的数列{a
n+
b
n
}、{a
n
-b
n
}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a
n
}与{b
n
}的积、商、倒数组成的数列{a
n
b
n
}、 、 仍为等比数列。
7、等差数列{a
n
}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{a
n
}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三 个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：aq,a,aq；四个数成等比的错误设法：aq,aq,aq,aq (为什么？)
33
11、{a
n
}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

12、{b
n
}（b
n
> 0）是等比数列，则{log
c
b
n
} (c>0且c 1) 是等差数列。
13. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则， ，
14. 在等比数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则，