高中数学立体几何知识点总结(全)

必修2 第一章 空间几何体知识点总结

一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系
xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系
?x
'
O
'
y
'
，使
?x
'
O
'
y
'
=45
0
（或135
0
）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X
‘
轴，且长度保持不变； < br>在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y
‘
轴，且长度变为原来的一半；
直观图与原图形的面积关系：
S
2
直观图
?S
原图形
?
4

三.空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l
⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l

⑶圆台侧面积：

S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l



V
柱体
?S?h
V
锥体
?
1
S?h
V
1
3
台体
?
3
h
?S
上
?S
上
?S
下
?S
下
?

球的表面积和体积
S
球
?4
?
R
2
，V
4
球
?
3
?
R
3
.
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。



.


第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
一. 平面基本性质即三条公理
公理1 公理2 公理3
图形
语言



文字
如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有如果两个不重 合的平面有一个公
语言
一个平面内，那么这条直线且只有一个平面. 共点，那么它们有且只有一条过该
在此平面内. 点的公共直线.
符号
A?l,B?l
?
A,B,C不共线?
语言
A?
?
,B?
?
?
?
?l?
?

A,B,C确定平面
?

P?
?
,P?
?
?
?
?
?
I
?
?l

?
P?l
作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a?
?
?
简记为：线线平行，则线面平行。 符号：
b?
?
?
?
?a
?


ab
?
?
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
a
P
?
简记为：线面平行，则线线平行. 符号:
?
a?
?
?
?
?a
P
b

?
I
?
?b
?
?

3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：
m,n?
?
?

m
I
n?A
?

?
?l?
?
l? m,l?n
?
?
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：
a?
?
?
?
?
?a
P
b

b?
?


性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：
?
?l< br>?
?
?l
?
?
?
?
P
?



推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．


符号语言：a∥b, a⊥
α，
?b⊥
α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β
相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a
1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
a?
?
,b?
?
?
简记为：线面平行，则面面平行. 符号 ：
a
I
b?A
?
?
?
?
P
?
a
P
?
,b
P
?
?
?
2． 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
?P
?
?
简记为：面面平行，则线线平行. 符号：
?
I
?
?a
?
?
?a
P
b

?
I?
?b
?
?
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
.

3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。


简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
l?
?
?
l?
?
?
?
?
?
?
?




推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。
4.平面 与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平
面。
简记为：面面垂直，则线面垂直.





证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0
。
,90
。
].
2.线面成角：斜 线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0
。
,90
。
].
如 图：PA是平面
?
的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面
?
上射
影，
?PAO
为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

如图：在二面角
?
-l-
?
中，O棱上一点，OA?
?
，OB?
?
，

且OA?l,OB?l,则?AOB为二面角
?
-l-
?
的平面角。

取值范围：（0
。
,180
。
）


六.点到平面的距离：定义法和等体积法

uruur
n
1
?n
2
面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
uruur．
n
1
n
2
三． 点
P
到平面
α
的距离
uuurr
AB?n
uuur
BO?
r
n
< br>r
如果令平面α的法向量为
n
，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的 距离为

空间向量与立体几何知识点总结
r
r
一．向量基本运算： 设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?

r
r
r
r
r
r
r
r
1．
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?z
1
z
2
?0

2.
ab? a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2

r
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
a?b
r
r rr
222
3.
a?a?a?x
1
?y
1
?z1
4.
cos?a,b??
r
r
?

222222
ab
x
1
?y
1
?z
1?x
2
?y
2
?z
2
一、直线与平面、平面与平面的平 行与垂直的向量方法
uruururuururuur
1.若两直线l
1
、 l
2
的方向向量分别是
u
1
、
u
2
，则有 l
1
l
2
?
u
1

u
2
，l
1
⊥l
2
?
u
1
⊥
u
2．
uruururuururuur
2.若两平面α、β的法向量分别是
v1
、
v
2
，则有αβ
?
v
1

v
2
，α⊥β
?
v
1
⊥
v
2
．
rrrrrr
3.若直线l的方向向量是
u
，平面的法向量是
v，则有lα
?
u
⊥
v
，l⊥α
?
u
< br>v

二、空间角的计算
1.两条异面直线所成角的求法
rr
a?b
cos
?
?|cos
?
|?
rr
a?b< br>rr
设直线a、b的方向向量为
a
、
b
，其夹角为
?
，则有
2.直线和平面所成角的求法

rrrr
设直线l的方向 向量为
a
，平面的法向量为
u
，直线与平面所成的角为θ，
a
与
u
的夹角为
?
，则有
rr
a?u
sin
?
?|cos
?
|?
rr
或
cos
?
? sin
?
a?u
3.二面角的求法

ur
uu
u r
uurr
设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量< br>n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就是二
.