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重点高中数学数列知识点总结(精华版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 13:14
tags:高中数学知识点总结

吉林高中数学-高中数学坐标系绕轴旋转


重点高中数学数列知识点总结
(精华版)










































———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:




2


小小亲清辅导班
一、数列
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.
⑴ 数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规
律”.因此,如果组 成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.
⑵在数列中同一个数可以重复出现.
⑶项a
n
与项数n是两个根本不同的概念.
⑷数列可以看作一个定义域为正 整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列
2.通项公式:如果数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式,即
a
n< br>?f(n)
.
3.递推公式:如果已知数列
?
a
n
?
的第一项(或前几项),且任何一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即
a
n
?f(an?1
)

a
n
?f(a
n?1
,a
n?2
)

那么这个式子叫做数列
?
a
n
?
的递推公式. 如数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n
?2a
n
?1
,其中
a
n
? 2a
n
?1
是数列
?
a
n
?
的递推公式.
4.数列的前
n
项和与通项的公式
?
S
1
(n? 1)

S
n
?a
1
?a
2
???a
n
; ②
a
n
?
?
.
S?S(n?2)
n?1
?
n
5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;
有界数列,无界数列.
①递增数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
? a
n
.
②递减数列:对于任何
n?N
?
,均有
a
n?1
?a
n
.
③摆动数列:例如:
?1,1,?1,1,?1,?.

④常数数列:例如:6,6,6,6,……. < br>⑤有界数列:存在正数
M
使
a
n
?M,n?N
?.
⑥无界数列:对于任何正数
M
,总有项
a
n
使得< br>a
n
?M
.
1、已知
a
n
?
n< br>1
*
{a}
,则在数列的最大项为__(答:);
(n?N)
n
25
n
2
?156
an
2、数列
{a
n
}
的通项为
a
n
?
,其中
a,b
均为正 数,则
a
n

a
n?1
的大小关系为___(答:
bn?1
a
n
?
a
n?1
);
3、已知数列{a
n
}
中,
a
n
?n
2
?
?
n
,且
{a
n
}
是递增数列,求实数
?
的取值范围(答:
?
??3
);
4、一给定函数
y?f(x)
的图象在下列图中,并且对任意
a
1
?(0,1)
,由关系式
a< br>n?1
?f(a
n
)
*
得到的数列
{a
n< br>}
满足
a
n?1
?a
n
(n?N)
,则该函 数的图象是 ()(答:A)




3


小小亲清辅导班


二、 等差数列
1、 等差数列的定义:如果数列
a
n
从第二项起每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,
那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。即
??< br>a
n
?
a
n?1
?d(n?
N
*
, 且n?2)
.(或
a
n?1
?
a
n
?d(n?N
*
)
).
2、 (1)等差数列的判断方法:
①定义法:
a
n?1
?
a
n
?d(常数)
?
?
a
n
?
为等差数列。
② 中项法:
2a
n?1
?
a
n
?
a
n?2
?
?
a
n< br>?
为等差数列。
③通项公式法:
a
n
?an?b
( a,b为常数)
?
?
a
n
?
为等差数列。
④前n 项和公式法:
s
n
?An
2
?Bn
(A,B为常数)
?
?
a
n
?
为等差数列。
如设
{a
n
}
是等差数列,求证:以b
n
=
等差数列。
(2)等差数 列的通项:
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
m
?(n?m)d

公式变形为:
a
n< br>?an?b
.
a
1
?a
2
???a
n

n?N*
为通项公式的数列
{b
n
}

n
其中a=d, b=
a
1

d.

如1、等差数列
{a
n}
中,
a
10
?30

a
20
?50
,则通项
a
n
?
(答:
2n?10
);< br>2、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______
(答 :
8
?d?3

3
(3)等差数列的前
n
和:< br>S
n
?
n(a
1
?a
n
)n(n?1)d

公式变形为:

S
n
?na
1
?
22
s
n
?An
2
?Bn
d
,其中A=< br>2
,B=
a
1
?
d
.
注意:已知n,d,
a
1
,
a
n
,
s
n
中的三者可以
2
求另两者,即所谓的“知三求二”。

如 数列
{a
n
}
中,
a
n
?a
n?1
?
1
315
(n?2,n?N
*
)
a
n
?
,前n项和
S
n
??
,则
22
2
2
a
1
=_,
n
=_(答:
a
1
??3

n?10
);(2)已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?12n?n

2*
?
?
12n?n(n?6,n?N)
求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
(答:
T
n
?
?2
).
*
?
?
n?12n?72(n?6,n?N)

4


小小亲清辅导班
(4)等差中项:若
a,A,b
成等差数列,则A叫做
a

b
的等差中项,且
A?
a?b

2
提醒:(1)等差数列的通项公式及前
n
和公式中,涉及到5 个元素:
a
1

d

n

a
n< br>及
S
n
,其中
a
1

d
称作为基本 元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,
即知3求2。(2)为减少运算量,要注 意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d
…( 公差为
d
);偶数个数成等差,可设为…,
a?3d,a?d,a?d,a?3d,…(公差为2
d

3.等差数列的性质:
(1)当公差
d ?0
时,等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d? dn?a
1
?d
是关于
n
的一
次函数,且斜率为公差
d
;前
n

S
n
?na
1
?
函 数且常数项为0. 等差数列{a
n
}中,
+ (a
1

n (n?1)dd
d?n
2
?(a
1
?)n
是关于
n
的二次
222
S
n
S
d
是n的一次函数,且点(n ,
n
)均在直线y =x
nn
2
d
)上
2(2)若公差
d?0
,则为递增等差数列,若公差
d?0
,则为递减等差 数列,若公差
d?0
,则为常数列。
(3)对称性:若
?
a
n
?
是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
,特别地,当
m?n?2p
时,则有
a
m
?a
n
?2a
p
.
如1、等差数列
{a
n
}
中,
S
n
?18,a
n
?a
n?1
? a
n?2
?3,S
3
?1
,则
n
=____(答: 27);
2、在等差数列
?
a
n
?
中,
a
10
?0,a
11
?0
,且
a
11
?|a
10
|

S
n
是其前
n
项和,则A、
S
1
,S
2
LS
10
都小于0,
S
11,S
12
L
都大于0 B、
S
1
,S
2LS
19
都小于0,
S
20
,S
21
L
都大于
0 C、
S
1
,S
2
LS
5
都 小于0,
S
6
,S
7
L
都大于0 D、
S
1
,S
2
LS
20
都小于0,
S
21
, S
22
L
都大于0 (答:B)
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差 数列.即
a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m< br>,...(k,m?N
*
)
成等差.若
*
{a
n}

{b
n
}
是等差数列,则
{ka
n
}

{ka
n
?pb
n
}
(
k

p
是非零常数)、
{a
p?nq
}(p,q?N)
、< br>a
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n< br>?S
2n
(公差为
n
2
d
).,…也成等差数列,而
{a
n
}
成等比数列;若
{a
n
}

5


小小亲清辅导班
等比数列,且
a
n
? 0
,则
{lga
n
}
是等差数列.
如 等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。
(答:225)
(5)在等差数列
{a
n
}
中,当项数 为偶数
2n
时,
s
n
?n(
a
n
?a
n?1
)

s

?
s

? nd

s

a
n?1
.
?
s

a
n
项数为奇数
2n?1
时,
s
2n?1
?(2n?1)
a< br>n

s

?
s

??
a
1

s

n?1

?
n
s

如1、在等差数列中,S
11
=22, 则
a
6
=______(答:2);
2、项数为奇数的等差数列
{ a
n
}
中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的
中间项与项数(答 :5;31).
(6)单调性:设d为等差数列
?
a
n
?
的公差,则
d>0
?
?
a
n
?
是递增数列;d<0?
?
a
n
?
是递减数列;d=0
?
?
a
n
?
是常数数列
(7)若等差数列
{a
n
}< br>、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n< br>、
B
n
,且
A
n
?f(n)
,则
B
n
a
n
(2n?1)a
n
A
2n?1
?? ?f(2n?1)
.
b
n
(2n?1)b
n
B
2 n?1
如设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等差数列, 它们的前
n
项和分别为
S
n

T
n
,若< br>a
S
n
6n?2
3n?1
,那么
n
?
___________(答:)
?
T
n
4n?3
8n?7b
n
(8)设a
l
,a
m
,a
n
为等 差数列中的三项,且a
l
与a
m
,a
m
与a
n的项距差之比
l?m
=
?
m?n

?
≠-1) ,则a
m
=
a
l
?
?
a
n

1?
?
n?m
(a-b).
n?m
(9)在等差数列{ a
n
}中,S
n
= a,S
m
= b (n>m),则S< br>m?n
=
8、已知
?
a
n
?
成等差数列,求
s
n
的最值问题:
a
n
① 若
a
1?0
,d<0且满足
?
?
?
?0,
?
?
a
n?1
?0
,则
s
n
最大;

6


小小亲清辅导班
?
a
n
?0,
,则
s
最小. ②若
a1
?0
,d>0且满足
?
?
n
?
?
a
n?1
?0
“首正”的递减等差数列中,前
n
项和的最大值是所有 非负项之和;“首负”的递增等
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
差数列中,前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不 等式组
?
?

?
?
?
??
?
a< br>n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
确 定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函 数,故可转
化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
n?N
。上述两种方法是运 用了哪种数学
思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如1、等差数 列
{a
n
}
中,
a
1
?25

S
9
?S
17
,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
(答:前1 3项和最大,最大值为169);
2、若
{a
n
}
是等差数列,首 项
a
1
?0,a
2003
?a
2004
?0

*
a
2003
?a
2004
?0
,则使前n 项和
S
n
?0
成立的最大正整数n是 (答:4006)
(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差 数列,
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究
a
n
?b
m
.




















7


小小亲清辅导班


三、等比数列
1、等比数列的有关概念:如果数列
a
n
从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一 个常
数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。即
a
n
? q(n?
*
,n?2)
(或
N
a
n?1
??a
n?1
a
n
?q(n?
N
*
)
< br>2、等比数列的判断方法:定义法
a
n?1
aa
,其中
q?0 ,a
n
?0

n?1
?
n

?q(q为常数

a
n
a
n
a
n?1
(n?2 )

如1、一个等比数列{
a
n
}共有
2n?1
项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则
a
n?1
为____(答:
5
);
6
2、数列
{a
n
}
中,
S< br>n
=4
a
n?1
+1 (
n?2
)且
a1
=1,若
b
n
?a
n?1
?2a
n
,求证:数列{
b
n

是等比数列。
3、等比数列的通项:
a
n
?a
1
q
n?1

a
n
? a
m
q
n?m

如 设等比数列
{a
n
}
中,
a
1
?a
n
?66

a
2
a
n?1
?128
,前
n
项和
S
n
=126,求
n
和公比
q
. (答:
n?6

q?
1
或2)
2
a
1< br>(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?4、等比数列的前
n
和:当
q?1
时,
S
n
? na
1
;当
q?1
时,
S
n
?

1?q
1?q
如 等比数列中,
q
=2,S
99
=77, 求
a
3
?a
6
???a
99
(答:44)
提醒:等比数列前
n
项和公式有两种形式,为此在求等比数列前
n
项和时, 首先要判断
公比
q
是否为1,再由
q
的情况选择求和公式的形式,当 不能判断公比
q
是否为1时,要对
q

q?1

q ?1
两种情形讨论求解。
5、等比中项:如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与 b的等比中项,即G=
?ab
.
提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存 在等比中项,且有两个
?ab

如已知两个正数
a,b(a?b)
的 等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为
______(答:A>B)

8


小小亲清辅导班
提醒:(1)等比数列的通项公式及前
n
项和公式中,涉及到5个元素:
a
1

q

n< br>、
a
n

S
n
,其中
a
1

q
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2
个,即知3 求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,
aa
aa3
2
,,aq,aq
,,a,aq,aq
…(公比为);但偶数个数成等 比时,不能设为…,…,
q
2
3
qq
q
q
因公比不 一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为
q
。如有四个数,其中前三
个数成 等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三
个数的和为12,求 此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
6、等比数列的性质:
(1) 对称性:若
?
a
n
?
是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都 等于首末两项之积.
2
2
即当
m?n?p?q
时,则有
a< br>m
.a
n
?a
p
.a
q
,特别地,当
m?n?2p
时,则有
a
m
.a
n
?a
p
.
如 1、在 等比数列
{a
n
}
中,
a
3
?a
8
?124,a
4
a7
??512
, 公比q是整数,则
a
10
=___(答:
512);
2、各项均为 正数的等比数列
{a
n
}
中,若
a
5
?a
6
?9
,则
log
3
a
1
?log
3a
2
?L?log
3
a
10
?

(答:10)。
(2) 若{ a
n
}是公比为q的等比数列,则{| a
n
|}、{a
2
n
}、{ka
n
}、{
1
}也是等比数
a
n
列,其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{2
a
1
{b
n
}
成等比数列,则
{a
n
b
n
}

{
n
}
}。若
{a< br>n
}、
b
n
q
成等比数列; 若
{a
n}
是等比数列,且公比
q??1
,则数列
S
n
,S2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,…也
是等比数列。当
q??1
,且
n
为偶数时,数列
S
n,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,…是常数数列0,
它不是等比数列. 若
?
a
n
?
是等比 数列,且各项均为正数,则
log
a
a
n
成等差数列。若项
数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S
1
与T
1
,次 n项和与次n项积
分别为S
2
与T
2
,最后n项和与n项积分别为S
3
与T
3
,则S
1
,S
2
,S
3
成等比数列,T
1

T
2
,T
3
亦成等比 数列
如1、已知
a?0

a?1
,设数列
{x
n
}
满足
log
a
x
n?1
?1?log
a
x
n
(n?N*)
,且
??

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小小亲清辅导班

x
1
?x
2
?L?x
100
?100
,则
x
101
?x< br>102
?L?x
200
?
. (答:
100a100

2、在等比数列
{a
n
}
中,
Sn
为其前n项和,若
S
30
?13S
10
,S
10
?S
30
?140
,则
S
20
的值为____ __(答:40)
(3) 单调性:若
a
1
?0,q?1
,或a
1
?0,0?q?1

{a
n
}
为递增数列 ;若
a
1
?0,q?1
,

a
1
?0,0 ?q?1

{a
n
}
为递减数列;若
q?0
,则
{a
n
}
为摆动数列;若
q?1
,则
{a
n
}

常数列.
(4) 当
q?1
时,
S
n
?
?a
1
n
a
q?
1
?aq
n
?b
,这里
a?b?0
,但
a?0,b?0

1 ?q1?q
这是等比数列前
n
项和公式的一个特征,据此很容易根据
S
n
,判断数列
{a
n
}
是否为等比数
列。如若
{ a
n
}
是等比数列,且
S
n
?3
n
?r< br>,则
r
= (答:-1)
mn
(5)
S
m?n
?S
m
?qS
n
?S
n
?qS
m
.如设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
,前
n
项和为
S
n


S
n?1
,S
n
,S
n?2
成等差数列,则
q
的值为_____(答:-2)
(6) 在等比数列
{a
n
}
中,当项数为偶数
2n
时,
S

?qS

;项数为奇数
2n?1
时,< br>S

?a
1
?qS

.
(7)如果数列< br>{a
n
}
既成等差数列又成等比数列,那么数列
{a
n
}
是非零常数数列,故常数
数列
{a
n
}
仅是此数列既成 等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列
?
a
n
?的前
n
项和为
S
n

n?N
), 关于数列< br>?
a
n
?
有下列三个命题:①若
a
n
?a< br>n?1
b?R
?

(n?N)
,则
?
an
?
既是等差数列又是等比数列;②若
S
n
?an
2< br>?bn
?
a、
n

?
a
n
?
是等差数列;③若
S
n
?1?
?
?1
?
,则?
a
n
?
是等比数列。这些命题中,真命题的序号
是 (答:②③)
⑧等差数列中,S
m+n
=S
m
+S
n+mnd;等比数列中,S
m+n
=S
n
+q
n
Sm
=S
m
+q
m
S
n






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小小亲清辅导班

四、难点突破
1.并不 是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已
知一个数列的前几项,这个 数列的通项公式更不是唯一的.
2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第2项起”,二是 “每一项与它前一项
的差(比)等于同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项 都确实存
在,而“同一个常数”则是保证至少含有3项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充< br>分条件是这个数列至少含有3项.
3.数列的表示方法应注意的两个问题:⑴{ a
n
}与a
n
是不同的,前者表示数列a
1

a
2,…,a
n
,…,而后者仅表示这个数列的第n项;⑵数列a
1
,a2
,…,a
n
,…,与集
合{ a
1
,a
2< br>,…,a
n
,…,}不同,差别有两点:数列是一列有序排布的数,而集合是一
个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合的元素间没有顺序性.
4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即:
⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为S,则通常设…,aq
aq,…;
⑵对 连续偶数个项同号的等比数列,若已知其积为S,则通常设…,aq
..
?3
2
?2
, aq
?1
, a,aq,
, aq
?1
, aq,aq,….
3
5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0,因此,在研 究等比数列时,
要注意a
n
≠0,因为当a
n
= 0时,虽有a
2
a
n?1
· a
n?1
成立,但{a
n
}不是等比数列,即
n
=
“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件;对比等差数列{a
n
},“2b = a +
c”是a、b、 c成等差数列的充要条件,这一点同学们要分清.
6.由等比数列定义知, 等比数列各项均不为0,因此,判断一数列是否成等比数列,
首先要注意特殊情况“0”.等比数列的前 n项和公式蕴含着分类讨论思想,需分分q = 1
和q≠1进行分类讨论,在具体运用公式时,常常因考虑不周而出错.

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本文更新与2020-09-16 13:14,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/399672.html

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