重点高中数学选修4—4知识点总结

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坐标系与参数方程知识点

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?
x
?
?
?
x
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?
:
?
?
y
?
?
?
y
(
?
?0)
(< br>?
?0)
的作用下,点P(x,y)
对应到点
P
?
( x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面 内取一个定点
O
,叫做极点,自极点
O
引一条射线
Ox
,叫 做
极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就 建
立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相 垂直的两条数轴为几何
背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面
直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点, 极点
O
与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
?
;以极轴
Ox
为始边,射线
OM
为终边的角
?xOM
叫做点M的极角,记为
?
.有序数对
(
?
,
?
)
叫做点M的极坐标,记 作
M(
?
,
?
)
.
一般地,不作特殊说明时,我们认为
?
?0,
?
可取任意实数. < br>特别地,当点
M
在极点时,它的极坐标为(0,
?
)(
?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
如果规定
?< br>?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标< br>(
?
,
?
)
表示;同时,极
坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相
同的长度单位,如图所示:

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(2)互化公式:设M
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
(x,y)
,极坐标是
(?
,
?
)
(
?
?0
),于
是极坐标与 直角坐标的互化公式如表:
点
M

直角坐标
(x,y)
极坐标
(
?
,
?
)

互化公式
在一 般情况下,由
tan
?
确定角时,可根据点
M
所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
圆心在极点,半

径为
r
的圆
圆心为
(r,0)
,半

径为
r
的圆
圆心为
(
r
,)
,半
2

径为
r
的圆


图形 极坐标方程
?

(1)
过极点,倾斜角
为
?
的直线

?
?
?
(
?
?R)或
?
?
?
?
?< br>(
?
?R)

(2)
?
?
?
(?
?0)和
?
?
?
?
?
(
?
?0)

过点
(a,0)
,与极

轴垂直的直线
过点
(
a
,)
,与极
2

轴平行的直线

?

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(
?
,
?
),(
?
,2
?
?
?
), (?
?
,
?
?
?
),(?
?
,?
?
?
?
),
都
表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不 同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表
示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于 极坐标方程
?
?
?
,
点
M
(,)
可以表< br>44
?????
5
?
??
)
等多种形式,其中,只有
(,)
的极坐标满足方程
?
?
?
. 示为
(,?2
?
)或(,?2
?
)或(-,
44
444444
? ?

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二、参数方程
1.参数方程的概念
?
x?f(t)
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是 某个变数
t
的函数
?
?
y?g(t)
①,并且对于
t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
M(x,y)
都在这条曲线上,那么方程① 就叫
做这条曲线的参数方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数, 简称参数,相对于参数方程而言,直接给
出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一 般地可以通过消去参数而从参数方
程得到普通方程.
(2)如果知道变数
x,y中的一个与参数
t
的关系,例如
x?f(t)
,把它代入普通方程,求出 另一个
?
x?f(t)
变数与参数的关系
y?g(t)
,那么
?
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,
?
y?g(t)
必须使
x,y
的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不 一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在
于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线 的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆
O
的半径为r
，点
M
从初始位置
M
0
出发，按逆时针方向在圆O
上作匀速圆周
?
x?rcos
?
运动，设
M(x,y )
，则
?
(
?
为参数)
。
y?rsin
?
?
这就是圆心在原点
O
，半径为
r
的圆的参数方程，其中
?
的几何意义是
OM
0
转过的角度。
圆心为
(a ,b)
，半径为
r
的圆的普通方程是
(x?a)
2
?(y? b)
2
?r
2
，
?
x?a?rcos
?
它的参数方程为：
?
(
?
为参数)
。
y?b?rsin
?
?
4．椭圆的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心，焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程 为
2
?
2
?1(a?b?0),
其参数方程为
ab
?
x?acos
?
(
?
为参数)
，其中参数
?称为离心角；焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程是
?
y?bsin
?
?

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?
x?bcos
?
y
2
x
2
??1(a?b?0),
其参数方程为
(
?
为参数),
其中参数
?
仍为离心角，通常规定参数
?
?
2 2
ab
?
y?asin
?
的范围为
?
∈[0，2< br>?
）。
注：椭圆的参数方程中，参数
?
的几何意义为椭圆上任一点的 离心角，要把它和这一点的旋转
角
?
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数 值可相等外（即在
0
到
2
?
的范围内），在其
他任何一点， 两个角的数值都不相等。但当
0
?
?
?
似。
5．双曲线的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O< br>为中心，焦点在
x
轴上的双曲线的标准议程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
其参数方程
ab
?
2
时，相应地也有0?
?
?
?
2
，在其他象限内类
?
x?ase c
?
?
3
?
为
?
.

(
?
为参数)
，其中
?
?[0,2
?
)且
?
?,
?
?
22
y?btan
?
?
y
2x
2
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
2
?
2
?1(a?0,b?0),
其参数方程为
ab
t
?
x?b co
?
(
?
为参数，其中
?
?(0
?
,e 2且
?
)?
?

?
y?acs
?
c
?
.
以上参数
?
都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
?
x?2pt
2
以坐标原点为顶点，开口向 右的抛物线
y?2px(p?0)
的参数方程为
?
(t为参数).

?
y?2pt
2
7．直线的参数方程
经过点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的直线
l
的普通方程是
y?y
0
?tan
?
(x?x
0
),
而过
?x?x
0
?tcos
?
M
0
(x
0
, y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程为
?
(t为参数)
。
y?y?tsin
?
0
?
注 ：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程为
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数)
，其中
t
表 示直线
l
上以定点
M
0
为起点，任一点
M(x,y)
为终点的有向线
?
?
y?y
0
?tsin
?
段< br>M
0
M
的数量，当点
M
在
M
0
上方 时，
t
＞0；当点
M
在
M
0
下方时，
t< br>＜0；当点
M
与
M
0
重合
时，
t
= 0。我们也可以把参数
t
理解为以
M
0
为原点，直线
l向上的方向为正方向的数轴上的点
M
的

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坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。