重点高中数学会考知识点总结(超级经典)

重点高中数学会考知识点总结
(超级经典)

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2

数学学业水平复习知识点

第一章 集合与简易逻辑
1、 集合


（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；
（3）、集合的分类：有限 集、无限集和空集（记作
?
，
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ）；
（4）、元素a和集合A之间的关系：a
∈
A
，
或a
?
A；
（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。
2、子集
（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A
?
B，
注意：A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
（2）、性质：①、A?A,
?
?A
；②、若
A?B,B?C
，则
A?C< br>；③、若
A?B,B?A
则A=B ；
3、真子集
（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
A?B
；
（2）、性质：①、
A?
?
,
?
?A
；②、若A?B,B?C
，则
A?C
；
4、补集
①、定义：记作：
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
；
C
U
A

A
（C
U
A）?A
； ②、性质：
A?C
U
A?
?
，A?C
U
A?U，C
U
5、交集与并集
（1）、交集：
A?B?{x|x?A且x?B}

性质：①、
A?A?A,A?
?
?
?
②、若
A?B?B
，则
B?A

（2）、并集：
A?B?{x|x?A或x?B}

性质：①、
A?A?A,A?
?
?A
②、若
A?B?B
，则
A?B

A
B
A
B
3

6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=b
2
-4ac
二次函数
??0

??0

??0

y

y

y
x
O
没有实数根

R

f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

的图象


一元二次方程
x
O
x
2
x
O
x
1
=
x
有两相异实数根 有两相等实数根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
一元二次不等式
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

{x|x?x
1
,x?x
2
}

“＞”取两边
x
1
?x
2
??
b

2a
b
{x|x??}

2a
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
一元二次不等式
{x|x
1
?x?x
2
}

“＜”取中间
?

?

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题
?
含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R；
其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。
22

第二章 函数
1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，
记作f：A→B，若
a? A,b?B
，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。
2、函数：（1）、 定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，
集合B中都有 唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），
（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；
（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；

4

（4）、区间：满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b]
满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b） < br>满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数x的集合叫半开半闭区间， 分别表示为：[a ，b）或（a ，b]；
（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；
②、分式：分母
?0
，0次幂：底数
?0
，例：
y?
1
2?|3x|
③、偶次根式：被开方式
?0
，例：
y?25? x
2

1
x
④、对数：真数
?0
，例：
y ?log
a
(1?)

（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：
y?0.2

②、单调函数：代入求值法：
y?log
2
(3x?1),x?[,3]

③、二次函数：配方法：
y?x?4x,x?[1,5)
，
y?
2
|x|
1
3
?x
2
?2x?2

x

2x?1
2?sinx
⑤、“对称”分式：分离常数法：
y?
2?sinx
④、“一次”分式：反函数法：
y?
⑥、换元法：
y?x? 1?2x

（7）、求f（x）的一般方法：
①、待定系数法：一次函数f（x）， 且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
，求f（x）
②、配凑法：< br>f(x?)?x?
1
x
2
1
,
求f（x）
2
x
③、换元法：
f(x?1)?x?2x
，求f（x）
④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足
2f(x)?f(x)?
3、函数的单调性：
（1）、定义：区间D上任意两个值
x
1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上增函数；
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x2
)
，称
f(x)
为D上减函数。（一致为增，不同为减）
（2）、区间D叫函数
f(x)
的单调区间，单调区间
?
定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论
（4）、复合函数
y?f[h(x)]
的单调性：内外一致为增，内外不同为减；

5
1
，求f（x）
x

4、 反函数：函数
y?f(x)
的反函数为
y?f
反函数的求法：①、由
y?f(x)
，解出
x?f
的定义域（即原函数的值域）；
?1
(
x
)
；函数
y?f(x)
和
y?f
?1
( x)
互为反函数；
(x)
，③、写出
y?f
?1?1
(y )
，②、
x,y
互换，写成
y?f
?1
(x)
反函 数的性质：函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
函数y?f(x)
的图象和它的反函数
y?f
?1
?1
(x)
的值域、定义域；
(x)
的图象关于直线
y?x
对称；
点（a
，
b）关于直线
y?x
的对称点为（b
，
a）；
5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（
n?1,n?N
），那么这个 数叫a的n次方根；
n
*
?
a(a?0)
a
叫根式，当n 为奇数时，
n
a
n
?a
；当n为偶数时，
n
an
?|a|?
?

?
?a(a?0)
m
n< br>（2）、分数指数幂：正分数指数幂：
a?a
；负分数指数幂：
a
n< br>m
?
m
n
?
1
a
m
n

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；
（3） 、运算性质：当
a?0,b?0,r,s?Q
时：
a?a?a
rsr?s,(a)?a,(ab)?ab
，
r
a?a
；
rsrsrrr
1
r
b
6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果
a?N(a?0 ,a?1)
，数b叫以a为底N的对数，记作
log
a
N?b
，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对 数：记为lnN
（2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：
log
a
1?0
，③、底的对数等于1：
log
a
a?1
，④、积的对数：
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
， 商的对数：
log
a
M
?log
a< br>M?log
a
N
，
N
1
n
幂的对数：log
a
M?nlog
a
M
， 方根的对数：
log
a
n
M?log
a
M
，
n
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数
定义

指数函数 对数函数
y?a
x
（
a?0且a?1
）
a>1 0y?log
a
x
（
a?0且a?1
）
a>1 0y
y=a
1
O
x
x

6

图象



（非奇非偶）





定义域
值域
（-∞，+∞）
（0，+∞）
在（-∞，+∞）
上是增函数
函数值
变化
y=y
y
y=lo
y
O
1
y=lo
（0，+∞）
（-∞，+∞）
在（0，+∞）
上是减函数
O
1
x
1
O
x
（-∞，+∞）
（0，+∞）
在（-∞，+∞）
上是减函数
（0，+∞）
（-∞，+∞）
在（0，+∞）
上是增函数
x
性
单调性



质
图 定 点

象
图象
特征
图象
关系

?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
? 0,x?1
?
log
a
x
?
?0,x?1

log
a
?
?0,0?x?1
?
?
?0,x?1
?
x
?
?0,x?1

?
?0,0?x?1
??a
0
?1,?
过定点（0，1）
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
?log
a
1?0,?
过定点（1，0）
?x?0,?
图象在y轴右边
y?a
x
的图象与
y?lo g
a
x
的图象关于直线
y?x
对称
第三章 数列
（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；
数列 是特殊的函数：定义域：正整数集
N
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），
值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；
（2）、通项公式：数列{
a
n
}的第n项
a
n
与n之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n的通项 公式
a
n
= n
1，-1，1，-1，…，的通项公式
a
n
=
(?1)
n?1
?
1?(?1)
n
； 0，1，0，1，0，…，的通项公式
a
n
?

2
（3）、 递推公式：已知数列{
a
n
}的第一项，且任一项
a
n
与它 的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系用一个
公式表示，这个公式叫递推公 式；例：数列{
a
n
}：
a
1
?1
，
a
n
?1?

1
a
n?1
，求数列{
a
n
}的各项。
7

（4）、数列的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； 数列前n 项和与通项的关系：
a
n
?
?
?
a
1
?S
1
(n?1)

?
S
n
?S
n?1
(n?2)
（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
（其中首项是
a
1
，公差是
d
；整理后是关于n的一次函数）， < br>（3）、前n项和：1．
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
（整理后是关于n的没有常数项的二次函数） 2.
S
n
?na
1
?

2
2
（4）、 等差中项：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A< br>叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?
a?b
或
2A?a?b

2
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷 等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项
的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前 后两项的等差中项。
（5）、等差数列的判定方法：
①、定义法：对于数列
?< br>a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d< br>(常数)，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
②、等 差中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?< br>是等差数列。
（6）、等差数列的性质：
①、等差数列任意两项间的关系：如果< br>a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列 的第
m
项，且
m?n
，公
差为
d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

②、等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
? a
m
?a
p
?a
q
。
?a
n
? ????
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：
1
?2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
*
③、若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等差数 列。
也就是：
a
1
?a
n
????????????S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图 所示：
?
1
??
2
??
3
????
k?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
④、设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前n项的和，
S
n
? S
奇
?S
偶
S
奇
?S
偶
?a
中< br>则有：前n项的和
当n为奇数时，则
， 当n为偶数时，
S
奇
?
S
偶
?S
奇
?
n
d
2
，其中d 为公差；
，
n?1n?1
a
中
S
偶
?a
中
a
22
，（其中
中
是等差数列的中间一项）。
'
⑤、等差数列
?
a
n
?
的前
2n?1
项的和为< br>S
2n?1
，等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，则
a
n
S
2n?1
?
'
。
b
n
S
2n?1
（三 ）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（
q?0
）。

8

n?1
（2）、通项公式：
a
n
?a
1
q
（其中：首项是
a
1
，公比 是
q
）
na
1
,(q?1)
?
?
n
（3）、前n项和]
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q)
（推导方法：乘公比，错位相减）
?,(q?1)
?
1?q
?
1?q
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
(q?1)

○
说明：①
S< br>n
?
2
S
n
?
1
(q?1)

1?q
1?q
3当
q?1
时为常数列，
S
n
?na
1
，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列
○
（4）、等比中项：
如果在
a
与
b
之间插入一 个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么
（5）、等比数列的判定方法：
①、定义法：对于 数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0 )
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
2
?
，即
G
aG
?ab
（或
G??ab
，等比中项有两个）
2
②、等比中项：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n? 1
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
（6）、等比数列的性质：
①、等比数列任意两项间的关系：如果
a
n是等比数列的第
n
项，
a
m
是等比数列的第
m
项，且
m?n
，
公比为
q
，则有
a
n
? a
m
q
n?m

②、对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
a
n
?a
m< br>?a
u
?a
v

1
?a
n
???? ?
a
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1< br>,a
n
。如图所示：
1
?
2
?
3
???????
也就是：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
a
2
?a
n?1
③、若数列
?
a
n
?
是等比 数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S< br>k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。
????????????
S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图所示：
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法
1?2?3???n?
n(n?1)1
1?3?5???(2n?1)?n
2
，
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?n(n?1)(2n?1)
，
26
?1?2?n
①公式法：“ 差比之和”的数列：
(2?3?5)?(2?3?5)???(2?3?5)?

②、并项法：
1?2?3?4???(?1)
③、裂项相消法：
1?
n?1
n?

111
?????

26(n?1)n
9

1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4
???
1
n?n ?1
?

④、到序相加法：
⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：
1?2x?3x???nx

2n?1
?

第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；
（2）、与
?
终边相同的角，连同角
?
在内，都可以表示为集合{< br>?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
（3 ）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象
限 ，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 < br>（2）、度数与弧度数的换算：
180?
?
弧度，1弧度
?(
（3）、弧长公式：
l?|
?
|r
（
?
是角的弧度数）
扇形面积：
S?


3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：
?
?
180
?
)
?
?5 7
?
18
'

11
lr??|
?
|r
2

22
r?x
2
?y
2
y
P（x，
y）
?

?0

0
x
yyr
+
sin
?
?　　　tan
?
?　　　sec
?
?　　
rxx

_
xxr
cos
?
?　　　cot
?
?　　　csc
?
?
ryy
sin
?
（3）、 特殊角的三角函数值
y
+
_
y
+
_
y
+
O
_
x
_
O
+
x
+
O
_
x
tan
?

cos
?


120?

135?

150?

180?

270?

360?

5
?

6
?
的角度
0?

?
的弧度
0

sin
?

cos
?

30?

45?

60?

90?

?

6
1

2
3

2
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
?

2
1

0

—
2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?
2

2
?

0

3
?

2
2
?

0

0

1

2
?
3

2
?1

0

—
1

0

1

2
3

?
1

2
?3

?1

0

1

0

10
tan
?


3

3
1

?1

?
3

3

4、同角三角函数基本关系式
sin
?
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：

1
cos
?

cot
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?< br>1?tan
2
?
?sec
2
?

cot
?
?
22
sin
?

tan
?
cot
?
?1

cos
?
tan
?

sec
?

cos
?

sin
?
csc
?
?1

sin
?
1?cot
?
?csc
?

cos
?
sec
?
?1

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）

csc
?

2222
①、
sin
?
?1?cos
?
，
sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
?
?1?sin
?
，
cos
?
??1?sin
2
?
；
cos
2
?
?sin
2
?
2
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
?
②
tan
?
?cot
?
?
，
cot
?
?tan
????2cot2
?

sin
?
cos
?
si n2
?
sin
?
cos
?
sin2
?
③< br>(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
，
1?sin2?
?|sin
?
?cos
?
|

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(
?
?k?360?)?sin
?　　
cos(
?
?k?360?)?cos< br>?　　
tan(
?
?k?360?)?tan
?




公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180??
?
)?sin< br>?
sin(?
?
)??sin
?
sin(360??
?
)??sin
?　　
cos(180??
?
)??cos
?

cos(180??
?
)??cos
?

cos(?
?
)?cos
?

cos(360??
?
)?cos
?　　

tan(??
)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?< br>sin(
3
?
3
?
sin(?
?
)??co s
?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?< br>)?cos
?
2
2
2
2
补充：
cos(?
?
?
)?sin
?

cos(
?
?
?
)??sin
?

cos(
3
?
?
?
)??sin
?

cos(
3
?
?
?
)?sin
?

2
2
2
2
3
?
?
3
?
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot< br>?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot
?
2
2
2
2
?
?
?
)?cos
?
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：< br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


11

T
(
?
?
?
)
：
tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?

1?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?T
(
?
?
?
)
的整式形式为：
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)

例：若
A?B?45?
， 则
(1?tanA)(1?tanB)?2
．（反之不一定成立）
8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

C
2
?
：
cos2
?
?cos
?
?sin
?

sin
?
cos
?
?
1
sin2
?

2
1?cos2
?
11
22
2

?1?2sin
?
?2cos
?
?1

sin
?
???cos2
?
?

222
2 tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2
?< br>：
tan2
?
?

co s
?
??cos2
?
?
222
1?tan
2
?
22
（3）、二倍角公式的常用变形：①、
1?cos2
?
?2 |sin
?
|
，
1?cos2
?
?2|cos
?
|
；
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|
，
1
?
1
cos2
?
?|cos
?
|

22
22
422
sin
2
2
?
44
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
；
cos
?
?sin
?
?cos2
?
；
2
4
④半角：
sin
?
2
??
sin
?1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
1?cos
?
，
cos??
，
tan??

??
sin
?
1?cos
?
22221?cos
?
9、三角函数的图象性质
（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常 数T，当x取定义域内的每一个值时，
都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；
②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。
（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，
都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；
（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（
k?Z
）
函数 定义域 值域
[-1，1]
[-1，1]
周期性 奇偶性
?
2
递增区间
2
?
递减区间
3
??
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

?
22
??
y?sinx

x?R

x?R

T?2
?

奇函数
?
?
?
?2k
?
,
?
?2k
?
?

??
T?2
?

偶函数
y?cosx


?
(2k?1)
?
,2k
?
?

?
2k
?
,(2k?1)
?
?

12

y?tanx

{x|x?
?
?k
?
}

（-∞,+∞）
2
（0，0），（
y?sinx
图象的五个关键点：
T?
?

奇函数
?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?

2
?
2
?

3< br>?
?
，1），（
?
，0），（，-1），（
2
?，0）；
2
2
3
?
?
（0，1），（，0），（?
，-1），（，0），（
2
?
，1）；
y?cosx
图象的五个关键点：
2
2










?
?
?

?
2
y
1
0
y?sinx
?
2
?
3
?
2

-
?
?
2



2
?

x
?
?
?
3
?
2
y

?

?
?
y
y?cosx

1
0
?
2
?
?
2
?
o
?
2


3
?
2

x

3
?
2

2
?
y?tanx


-




?
2
x
； < br>y?Asin(
?
x?
?
)
的周期
T?
?< br>?
2
?
?
x?
?
)
的周期
T?；对称轴是直线
x?k
?
；
y?Acos(
；
y ?cosx
的对称中心为（
k
?
?,0
）
2
??
?
；
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期
T?
；
y?tanx
的对称中心为点（
k
?
,0
）和点（
k
?
?,0
）
2
?
(4)、函数
y?Asin(< br>?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的相关概念：
函数 定义域 值域
[-A，A]
振幅
A
周期 频率

相位 初相 图象
五点法
；对称轴是直线
x?k
?< br>?
y?sinx
的对称中心为（
k
?
,0
）
2
?
；
y?Asin(
?
x?
?
)

x?R

T?
2
?
?
f?
1
?

?
T2
?
?
x?
?

?

y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与
y?sinx
的关系：
①振幅变换：
y?sinx

当
0?
A
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
y?Asinx


当
?
当A
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
1
?
倍
1
②周期变换：
y?sinx

当
0?
?
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
y?sin
?
x

?

当
?
?0
时，图象上的各点向左平移
?
个单位倍
当
?
?0
时，图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位 倍
y?sin(x?
?
)
③相位变换：
y?sinx



?
个单位倍
?
?
|
个单位倍 当< br>?
?0
时，图象上的各点向右平移
|
?
当
?
?0
时，图象上的各点向左平移
13

④平移变换：
y?Asin
?
x

y?Asin(
?
x?
?
)


常叙述成： ①把
y?sinx
上的所有点向左（
?
?0
时
）或向右（
?
?0
时
）平移|
?
|个单位得到y?sin(x?
?
)
；
②再把
y?sin(x?
?
)
的所有点的横坐标缩短（
?
?1
）或伸长（
0?
?
?1
）到原来的
得到
y?sin(
?
x?
?)
；
③再把
y?sin(
?
x?
?
)
的所有点的纵坐标伸长（
A?1
）或缩短（
0?
A?1
）到原来的
A
倍（横坐标不
变）得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象。
先平移后伸缩的叙述方向：
y?Asin(
?
x?
?
)

先平移后伸缩的叙述方向：
y?A
sin(< br>?
x?
?
)
?A
sin[
?
(
x?



1
倍（纵坐标不变）
?
?
)]

?
第五章、平面向量
1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的。
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位向量：e??
a
|a|
；
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行 向量也叫共线向量，记作
ab
；规定
0
与任何向量平
行；
（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
2、向量的运算：（1）、向量的加减法：



三角
b
a
向量

平行四
b

a

b
向量
a

b

b
14

a?b



a?b

a

（2）、实数与向量的积：①、定义：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记 作：
?
a
；
②：它的长度：
|
?
a|?|
?
|?|a|
；
③：它的方向：当
?
?0
，
?
a
与向量
a
的方向相同；当
?
?0
，
?
a
与向量
a< br>的方向相反；当
?
?0
时，
?
a
=
0
；
3、平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面 内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量
a
，有且
只有一对实数
?< br>1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
；
不共线的向量
e
1
,e
2
叫这个平面内所有向量的一组基向量，{
e
1
, e
2
}叫基底。
4、平面向量的坐标运算：（１）运算性质：
a?b?b ?a,a?b?c?a?b?c,a?0?0?a?a

（２）坐标运算：设
a??
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

设A、B两点的 坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2?y
1
?
.
（3）实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y
?
，则λ
a?
?
?
x,y
?< br>?
?
?
x,
?
y
?
，
??
?
????
00
?
（4）平面向量的数量积：①、 定 义：
a?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
? 180
?
，
0?a?0
.
??
????
??
?
??
????
?
?
①、平面向量的数量积的几何意义：向 量
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投 影|
b
|
cos
?
的乘积；
③、坐标运算:设
a ?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x< br>2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
；
向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a?a
?x?y
；模|
a
|
?
??
22
????
x
2
?y
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x< br>1
?y
1
??
22
④、设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角，则
cos
?
?
??
x
2
?y
2
22
，
a

?
b
?a?b?0

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：
ab?a?
?
b

(
?
?R)

设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?

x< br>1
y
2
?x
2
y
1
?0


15
??
??

（2）、两个非零向量垂直的充要条件：
a?b?a?b?0

设 < br>a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（3）、两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离：
|AB|?
????????
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

??
（4）、P分线段P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
（即?
??
1
P?
?
PP
2
，
|P
1
P|
|PP
2
|
）
?
x?
?
?
则定比分点坐标公式
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x
1
?x
2
?
x?
?
1?
?
， 中点坐标公式
?
2

?
y
1
?
?
y
2
y?y
2
?
y?
1
?
1?< br>?
2
?
?
'
?
?
x?x?h,
（5 ）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
?

'
?
?
y?y?k.
6、解三角形：（1）三角形的面积公式：< br>S
?
?
（2）在△
ABC
中：
A?B?C?180?
，
111
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bcsinA

222
因为
A?B?180? ?C
：
sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，
tan(A?B)??tanC

因为
A?B
?90??
C
：
sin(
A?B
)? cos
C
，
cos(
A?B
)?sin
C
，
tan(
A?B
)?cot
C

222222
22
abc
???2R,边用角表示：a?2RsinA,　b?2RsinB，　c?2Rsin

sinAsinBsinC
（3）正弦定理，余弦定理
①正弦定理：a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
②余弦 定理：
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosBa
2
?b
2
?c
2
??ab
若：
a< br>2
?b
2
?c
2
??2ab
则：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
a
2
?b
2
?c
2
? ?3ab
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
　　　　
cosB?
　　　　
cosC?
求角：
cosA?

2bc2ac2ab

第六章：不等式
1、不等式的性质：（1）、对称性：
a?b?b?a
；
（2）、传递性：
a?b,b?c?a?c
；
（3）、
a?b?a ?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d

（4）、
a?b ,
若
c?0?ac?bc
，若
c?0?ac?bc
；
a?b ?0,c?d?0?ac?bd


y
2a
16

（5）、
a?b?0?a
n
?b
n
,
n
a?
1、 均值不等式：
（1）、

（2）、
a?b?2ab
或
ab?(
n
b,(n?N,n?1)
（没有减法 、除法）
22
a?b
（
ab?
）

2
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
不满足相 等条件时，注意应用函数
f(x)?x?
1
图象性质（如图）
x
应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用
（3）、对于n个正数：
a
1
,a
2
,a
3
?,a
n
(n?2)
，
那么：
a
1
?a
2
???a
n
叫做n个正数的算术平均数，
n
a
1
a
2
?a
n
叫做n个正数的几何平均数；
n
3、不等式的证明，常用方法：
（1）比 较法：①、作差：
a?b?0?a?b,a?b?0?a?b
，（作差、变形、确定符号） < br>②、作商：
a
?1(b?0)?a?b(b?0),
a
?1(b?0) ?a?b(b?0)

bb
（2）综合法：由因到果，格式：
??
（ 3）分析法：执果索因，格式：原式
,　??;　　??,　??;

?，　??，　??，　??，

（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。
4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）
一元二次不等式（
x< br>的系数为正数）：
??0
时“>”取两边,“<”取中间
绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）
高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）
分式不等式的解法：移项、通分、根轴法
2

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