高中数学选修2-1知识点总结-高中数学选修2～2知识点总结

锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点
与两个焦点构成的 焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般
是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的 最值问题时，常
利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几
何意义去解 决。
2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线 与圆锥曲线
的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,
经过消元得 到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立
时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交 、相切、相离的充分必
要条件分别是
??0
、
??0
、
?? 0
.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之
间的关系考查 直线与双曲线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
x
1< br>?x
2
y?yy?y
?2x
0
,
12
?2y
0
,
21
?k
）
22x
2
?x
1
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意
斜率是否存在）
① 直线具有斜率
k
，两个交点坐标分别为
A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
)

2
AB ?1?
k
2
x
1
?x
2
?(1?
k
2
)
?
(x?x)?4x
1
x
2
?
12
??
?1?
1
y
1
?y
2
2
k< br>
② 直线斜率不存在,则

AB?y
1
?y
2
- 7 -
.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，
简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（
k
1
k
2
??1
）
注: 1.圆锥曲线， 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想
方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图 形的几何性
质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；
二是点差法.
3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函
数，用求值域的方法求范围；二是建立不 等式，通过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角
等）
（4）求曲线 轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现
（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上 动点之间的关系）、
点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。
例1.已知定点F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，在满足下列条件的平面上 动点P的轨
迹中是椭圆的是（答：C）；
A．
D．
PF
2
1
PF
1
?PF
2
?4
2
B．
PF
1
?PF
2
?6
C．
PF
1
?PF
2
?10

?PF
2
?12

例2已知双曲线的离心率为2，F
1、F
2
是左右焦点，P为双曲线
上一点，且
?F
1
PF
2
?60
?
，
S
?PFF
x
2
y
2
??1
）
412
12
?123
．求该双曲线的标准方程（答：
- 8 -

例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦
点到直线的距离为3.
（1） 求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，
当|AM|=|AN|时，求m
例4过点
x
2
的取值范围。（答：
?y
2
?1; m?(
1
,2)
）
32
2
y
2
A（2， 1）的直线与双曲线
x??1
相交于两点
2
P
1
、P
2
，
求线段P
1
P
2
中点的轨迹方程。







第三章 空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x,
2
y

?y
1
,z?
2
z

?
．
12
- 9 -

?
2
?a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
,z
1
?z
2
?
．
?
3?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y< br>1
,
?
z
1
?
．
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
? z
1
z
2
．
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a?
?< br>b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
． < br>?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
．
2
1
2
1
22
2
2
2
2
?
8
?
cos?a,b? ?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
2
1
．
222
?
9
?
?
?
x< br>1
,y
1
,z
1
?
，
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
? ?
????
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
．
（10）共面向量定理：
p,a,b共面?p?xa?yb(x,y?R)
；
?AP?xAB?yAC
P、A、B、C四点共面
（11）空间向量基本定理
构成一组基
?OP?OA?xAB?yAC
?OP?xOA?yOB?zOC( 其中x?y?z?1)

a,b,c
p?xa?yb?zc(x,y,z?R
（不共面的三个向量
)
底，任意两个向量都共面）
2、平行：（直线的方向向量，平 面的法向量）（
a,b
是a,b的方向向量，
n
是平面
?
的 法向量）
线线平行：
ab
?
ab

线面平行：
a
?
?a?n
或
线向量）
面面平行：
?

?
?n
1
n
2

3、垂直
线线垂直：
a?b
?
a?b?a?b?0

- 10 -
ab
，
b?
?
或
a?xb? yc(b，c
是
?
内不共

线面垂直：
a?
?
?an
或
面面垂直：
?
?
?
?n
1
?n
2

4、夹角问题
线线角
线面角
cos
?
?|cos?a,b?|?
是
a?b,

a? c ，(bc
?
内不共线向量）
|a?b|
（注意异面直线夹角范围
0?
?
?
?
）
2
|a||b|
|a?n|

|a||n|
sin
?
?|cos?a,n?|?
二面角
|cos
?
|?|cos?n
1
,n
2
?|?
| n
1
?n
2
|
（一般步骤①求平面的法向量；②
|n
1
||n
2
|
计算法向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是 钝角或
借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））
1. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面
的距离）
P到平面
?
的距离
的法向量）
2. 立体几何解题一般步骤 < br>坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系
构造）；②写点坐标；③写向量的 坐标；④向量运算；⑤将向量形式的
结果转化为最终结果。
基底法：①选择一组基底（一般是 共起点的三个向量）；②将向量
用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
- 11 -
d?
|PA?n|
n
为平面
?
（其中
A
是平面
?
内任一点，
|n|

二面角——定义法作二面角，三垂 线定理作二面角；作交线的垂
面.

- 12 -