高一数学集合知识点归纳

高一数学集合知识点归纳
高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳 ，只有把知识
点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮
到 大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。
一、知识点总结
1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对
象叫元素 < br>注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，
这与平面几何中的点 与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集
合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是
它的元素就必须符号 条件
2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)
3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x|xA但x∈U}
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。
4.有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限子集的个 数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个
非空子集，2n-2个非空真子集。
二、集合知识点整合
集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品， 也
可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学
名词。 一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数
学概念中有好多概念，如集合 论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的
理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P. ，1845年—1918年，德国数学家先驱，
是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现 代数学的所有领域。
集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他
概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。
集合是把人们的直观的 或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，
使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集 合。组成一集合的那些对象称

为这一集合的元素(或简称为元)。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
三、集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元 素叫有限
集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任
何集合的 子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子
集都具有传递性。『说明一下:如 果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则
A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A 不等于B，则A称作是B
的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右 图)，
不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子
集。』
集合的几种运算法则
并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记 作
A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交< br>集:以属于A且属于B的元差集表示
素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B ∩A)，读作“A交B”(或
“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1 ，2，3，4，5}A={1，
3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩ B={1，5}。再来看看，
他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就 是我有。
那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

1 再相乘。48个。对称差集:设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义
为:A?B=(A-B)∪ (B-A)例如:A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差
运算的另一 种定义是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素
的集合叫做无限集有 限集:令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，
如果存在一个正整数n，使得集 合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差:
以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B 的差(集)。记
作:AB={x│x∈A，x不属于B}。注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属 于
任何集合”.补集:是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组
成的集合称 为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也
被认为是有限集合。例 如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有
而A中没有的3，4就是CuA ，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常
常把CuA写成~A。
四、集合元素的性质
1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就 不能
成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要
用于判断一 个集合是否能形成集合。2.独立性:集合中的元素的个数、集合本身
的个数必须为自然数。3.互异性 :集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成
{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的 元素是没有重复，两个相同的对
象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性:{a ，b，c}{c，
b，a}是同一个集合。5.纯粹性:所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A= {x|x
集合有以下性质
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示，如:A，B，C…而对于集合 中的元素则用小写
的拉丁字母来表示，如:a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实< br>际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如:A={…}的
形式。等号左 边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种
共同性质的数学元素。
常用 的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所
有元素一一列举出来﹐写在大括 号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，
3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集 合中元素的公共属性用文字﹐符
号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。
{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如:小于
π的正 实数组成的集合表示为:{x|0
4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称 非负整数集
(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)
全体整数 的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数
集，记作Q。Q={pq|p∈ Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)
全体实数的集合通常简称实数 集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)
复数集合计作C集合的运算:集合交换律A ∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪ C)集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集 合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理 ”在研究集合时，

会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为 card(A)。
例如A={a，b，c}，则
card(A)=3card(A∪B)=ca rd(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c
ar d(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩ B∩C)1885年
德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ< br>设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律
A-(BUC)=(A-B)∩( A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ< br>=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R- 整数集Z正
整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q- 不含0的有理数集
Q*