人教版高中数学必修一各章知识点总结

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新课标人教版高中数学(必修1)知识点导学
一、集合:1.集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每一个对象叫集合的一个元素。2.元素 的三个特性:(1)
确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不 是这个给定集合的元素,(2)互异性:任
何一个给定的集合中,任意两个元素都是不同的对象,相同的 对象归入一个集合时,仅算一个元素,(3)无序性:集合中的元
素是平等的,没有先后顺序,判断两个 集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,(4)集合
元素的三个特性 使集合本身具有了确定性和整体性。3.集合的表示:①列举法:把集合中的元素一一列举出来,用一个大括号括起来,元素与元素之间用逗号隔开,②描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集 合的方法,①
语言描述法:如:{不是直角三角形的三角形},②数学式子描述法:如:不等式x-3> 2的解集是{x?R|x-3>2}或{x| x-3>2}。
4.集合的分类:(1)有限集:含有 有限个元素的集合,(2)无限集:含有无限个元素的集合,(3)空集:不含任何元素的集合,
2如:{x|x=-5}。5.集合间的基本关系:(1)包含关系(子集):A
?
B有两种 可能:①A是B的一部分,②A与B是同一集合,集合
?
B或B
?
?
A,(2)相等关系(若5≥5且5≤5，则5=5),如:A={x|x
2
-1=0}与 A不包含于集合B或集合B不包含集合A,记作A
?
B={-1,1}相等,对于两个集合A与 B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素都是集合A的
元素,就说集合 A等于集合B,即:A=B,①任何一个集合是它本身的子集,A
?
A,②真子集:如果A?
B且A?B,就说集合A是
集合B的真子集,记作AB或BA,③若A
?B且B
?
C,则A
?
C,④若A
?
B且B
?< br>A,则A=B,(3)不含任何元素的集合叫
空集,记为
?
,规定:空集是任 何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。6.集合的运算:(1)交集:一般地,由所有属于
A 且属于B的元素所组成的集合叫A与B的交集,记作A∩B(读作A交B),即A∩B={x|x∈A且x∈B} ,(2)并集:一般地,由
所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫A与B的并集,记作A ∪B(读作A并B),即A∪B={x|x∈A或x∈B},(3)
交集与并集的性质:A∩A=A,A ∩
?
=
?
,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪
?
=A,A ∪B= B∪A,(4)全集与补集:①补集:设S是一个集合,A
是S的一个子集,即A
?< br>S,由S中所有不属于A的元素组成的集合叫S中子集A的补集(余集或差集),记作:C
SA,即C
S
A
={x?x?S且x?A},②全集:如果集合S含有我们所要研 究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,通常用U
来表示,③性质:C
U(C
U
A)=A,(C
U
A)∩A=
?
,(C
U
A)∪A=U。
二、函数概念及其性质:1.函数的概念:设A,B是两个非空数集,按 照某个确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个
数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和 它对应,称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(x∈A),x叫自
变量,x 的取值范围A叫函数的定义域,与x的值相对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值 域,(1)若只
给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域是指能使这个式子有 意义的实数的集合,(2)函数的定义域,
值域要写成集合或区间的形式,(3)能使函数解析式有意义 的实数x的集合称为函数的定义域,(4)求函数定义域的主要依
据:①分式的分母不为零,②偶次方根 的被开方数大于或等于零,③对数式的真数大于零,④指数和对数式的底数大于0且
不等于1,⑤如果函 数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集
合 ,⑥指数为零底数不等于0,⑦实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,(5)函数三要素:定义域 ,对应关系
和值域,①构成函数的三个要素是定义域,对应关系和值域,值域是由定义域和对应关系决定 的,两个函数的定义域和对应
关系完全一致,这两个函数是同一个函数,②两个函数相同当且仅当它们的 定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量
和函数值的字母无关,(6)值域:①函数的值域取决于定 义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定
义域,②熟练掌握一次函数,二次函数 ,指数函数,对数函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。2.函数图象:在平面直
角坐标系中,以 函数y=f(x)(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫函数y=f(x )(x∈A)的图象,C
上每一个点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),以满足y=f(x )的每一组有序实数对x,y为坐标的点(x,y)均在C上,记为
C={ P(x,y)|y=f(x ),x∈A},图象C一般是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一< br>个交点的若干条曲线或离散点组成。3.区间:(1)区间的分类:开区间,闭区间,半开半闭区间,(2 )无穷区间,(3)区间的数轴
表示。4.映射:一般地,设A,B是两个非空集合,如果按照某一个确 定的对应法则f,使得对于集合A中的任意一个元素x,
在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那 么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射,记作f:A
?
B,给 定
一个集合A到B的映射,a∈A,b∈B且元素a和元素b对应,元素b叫元素a的象,元素a叫元素 b的原象,函数是一种特殊
的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A,B及对应法则f是确定的,②对 应法则具有方向性,强调从集合A到集合B的对
应,它与从B到A的对应关系一般是不同的,③映射f: A→B应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象
是唯一的,(2)集合A中不 同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有
原象 。5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式的函数,在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的
解析式,分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写出函数的几种不同解析式并用一个左大 括号括起来,分别注
明各部分自变量的取值范围,(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函 数,(2)分段函数的定义域是各段定义域
的并集,值域是各段值域的并集。6.复合函数:若y=f( u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称f,g的复合2x?1
x?1
函数,如:
y?2
,
y?log
2等。7.函数的单调性:(1)增减性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x
1
)2
),或当x
1>x
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
),那么就说f (x)在区间D上
是增函数,区间D称为y=f(x)的单调增区间,如果对于区间D上的任意两个自变 量的值x
1
,x
2
,当x
1
2
时, 都有f(x
1
)>f(x
2
),
或当x
1
>x2
时,都有f(x
1
)2
),那么就说f(x)在区间 D上是减函数,区间D称为y=f(x)的单调减区间,函数的单调性是在
定义域内的某个区间上的性质 ,是函数的局部性质,(2)图象特点:函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数,函数y=f(x)< br>在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的(从右到左是下降的) ,减函数的图象从
左到右是下降的(从右到左是上升的),(3)函数单调区间与单调性的判定方法:A .定义法:①任取x
1
,x
2
∈D且x
1
2< br>,②作差
f(x
1
)－f(x
2
),③变形(通常是因式分解 或配方),④定号(判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负),⑤下结论(指 出函数f(x)在给定的区
间D上的单调性),B.图象法:从图象上看升降,C.复合函数的单调性: 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数
u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,规律 如下表,函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在
一起写成其并集。8. 函数的奇偶性:(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)在定义域内的任
函数 单调性
意 一个x,都有f(-x)=f(x),f(x)叫偶函数,(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)在定义域
u=g(x) 增 增 减 减
内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),f(x)叫奇函数,①函数是奇函数或是偶函数称为函
数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数
y=f(u) 增 减 增 减
又是偶函数,②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义
y=f[g(x)] 增 减 减 增
域内的任意一个x,－x也一定是定义域内的一个自变 量(即定义域关于原点对称),(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数

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的图象关于原点对称,利用定义判断函数奇偶性 的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对
称,②确定f(-x)与f(x )的关系,③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数,若f (-x)=-f(x)或
f(-x)＋f(x)= 0,则f(x)是奇函数,函数定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要条件,首先看函数的定义域是否关于
原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函 数,若对称再根据定义判定,有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑是否有f(-x)
±f (x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定,利用定理或借助函数的图象也可以判定函数的奇偶性。9.函数 解析式:(1)函数的解
析式是函数的一种表示方法,求两个变量之间的函数关系时,一是求出它们之间 的对应法则,二是求出函数的定义域,(2)
求函数解析式的主要方法:待定系数法,换元法,消参法等 ,已知函数解析式的构造时,可用待定系数法,已知复合函数
f[g(x)]的表达式时,可用换元法, 这时要注意元的取值范围,已知表达式较简单时,也可用凑配法,若已知抽象函数表达式,
则常用解方程 组消参的方法求出f(x)。10.函数最大(小)值:①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ,②利用
图象求函数的最大(小)值,③利用函数单调性判断函数的最大(小)值:若函数y=f(x) 在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]
上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值 f(b),若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函
数y =f(x)在x=b处有最小值f(b)。
n
三、基本初等函数:(一)指数函数:1.指数 与指数幂:(1)根式的概念:一般地,如果
x?a
,那么
x
叫
a< br>的
n
次方根,
n
>1且
n
∈
N
*
,当
n
是奇数时,正数的
n
次方根是一个正数,负数的
n< br>次方根是一个负数,
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示,式子
n
a
叫根式,
n
叫根指数,
a
叫被 开方数,当
n
是偶数时,正数的
n
次方根有两个,它们是互为相反数,正数< br>a
的正的
n
次方
根用符号
n
a
表示,负的
n
次方根用符号-
n
a
表示,正的
n
次方根与负的
n
次方根可以合并成±
n
a
(
a
>0),负数没有 偶次
n
方根,0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时 ,
a
n
?|a|?
(a?0)
?
a
?a
( a?0)
,(2)分数指数
幂:
a
n
?
n
am
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
,
a
m
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
,零的正分数 指数幂为0,零的负分数指数
幂没有意义,整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,(3)实 数指数幂的运算性质:(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
,
rsrsrrr
(2)
(a)?a
( a?0,r,s?R)
,(3)
(a?b)?a?b
(a?0,b?0,r?R)。2.指数函数及其性质:(1)指数函数的概念:
x
一般地,函数
y?a(a ?0,且a?1)
叫指数函数,x是自变量,函数的定义域为R,(2)指数函数的图象和性质:
66
5
4
3
y?a(a?1)

246
x
y?a(0?a?1)

1
42
x
5
4
3
22
1
11

+
向x轴正负方 向无限延伸，函数的定义域为R，函数图象都在x轴上方，值域为
(0,??)
即R
0
图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1)，
a? 1
(a?0)

42
0
0
246
11
在< br>f(x)?a
中，总有
f(0)?1
和
f(1)?a

图象从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降 图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升
xx xx
增函数,
当x?0时y?a?1
,
当x?0时0?y?a?1
减函数,
当x?0时0?y?a?1
,
当x?0时y?a?1

x< br>(二)对数函数:1.对数:(1)一般地,如果
a?N
(a?0,a?1)
, 那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数,记作
x?log
a
N
(
a
叫底
x
数,
N
叫真数,
log
a
N
叫对数式),
a?N?log
a
N?x
,两个重要对数:①常用对数:以10为底的对数
lgN
,②自然对
MN数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数
lnN
,(2)对数的运 算性质:①
log
a
(M?N)?log
a
?log
a,②
x
log
M
a
N
?log
a
?l og
a
,③
log
a
M?nlog
a
M
( n?R)
,④换底公式:
log
a
b?
b
MN
n< br>log
c
b
log
c
a
(
a?0
且
a?1
,
c?0
且
1
n
c?1
,
b?0
),(1)
log
a
m
b
n
?
m< br>log
a
b
,(2)
log
a
b?
log< br>a
,2.对数函数:(1)对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a ?0
且
a?1)
叫对数函数,
x
是自变量,函数的定义域是(0,+ ∞),对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定
x
义,
y?2log
2< br>x
,
y?log
5
5
都不是对数函数,只能称其为对数型函数 ,(2)对数函数的图像和性质:
3
3
25
25
2
15< br>1
1
1
05
y?loga(?1)

a
1< br>x
6
2
15
1
1
1
05
x
y?log(0?a?
a
1
1)

678
0
05< br>1
234578
0
05
1
2345
1
115
15

函数图象都在y轴右侧,函数的定义域为(0,＋∞),向y轴正负方向无限延伸,函数的值域为R < br>函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称,是非奇非偶函数,函数图象都过定点(1,0),
lo g
a
1?0

2
2
25
25
x
在
f(x)?log
a
中，总有
f(1)?0
和
f(a)?1

减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升
当0?x?1时,y=log
a
x?0
,
当x?1时,y=log
a
x?0
< br>?
(三)幂函数:1.定义:一般地,形如
y?x
(a?R)
的函数称 为幂函数,
?
为常数。2.性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,
图象都过 定点(1,1),(2)当
?
?0
时,图象过原点且在区间
[0,??)上是增函数,当
?
?1
时,图象下凸,当
0?
?
?1< br>时,图象
上凸,(3)当
?
?0
时,图象在区间
(0,??)
上是减函数,在第一象限,当
x
从右边趋向原点时,图象在
y
轴右方 无限逼近
y
轴
正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在< br>x
轴上方无限逼近
x
轴正半轴。
四、函数应用(函数的零点):1. 使
f(x)?0
成立的实数
x
叫函数
y?f(x)(x?D)
的零点,2.函数
y?f(x)
的零点就是方
程
f(x)?0
的实 数根,函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标,方程
f(x) ?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点,3.求函数
y?f(x)< br>的零点:①代数法:求方程
f(x)?0
的实根,②几何法:对不能用求根
公式 的方程,可将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,用函数的性质找零点。4.二次函数的零 点:函数
增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降
当x?1时,y?log
a
x?0
,
当0?x?1时,y=log
a
x?0

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y?ax?bx?c(a?0)
,当△ ＞０时,方程
ax?bx?c?0
有两个不等实根,图象与
x
轴有两个交点， 函数有两个零点,
2
当△＝０时,方程
ax?bx?c?0
有两个相等实根( 二重根),图象与
x
轴有一个交点,函数有一个二重或二阶零点,当△
2
＜０ 时,方程
ax?bx?c?0
无实根,图象与
x
轴无交点,函数无零点。
2
2