高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结
第一章、导数
1．函数的平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x1
)
?y?f
?

??
x
2
?x1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数
y?
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
，
f(x)
在
x?x
0
处 的瞬时变化率是
lim
?x?0
?x
?x?0
?x
则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
y?f( x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0< br>)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
.
?x
?x?0
?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数
函数 导函数
(1)
y?c

(2)
y?x
n
?
n?N
*
?

(3)
y?a
x
?
a?0,a?1
?

(4)
y?e
x

(5)
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

(6)
y?lnx

(7)
y?sinx

(8)
y?cosx





y'?
0
y'?nx
n?1

y'?a
x
lna

y'?e
x

y'?
1

xlna
1
y'?

x
y'?cosx

y'??sinx

6 、常见的导数和定积分运算公式:若
f
?
x
?
，
g
?
x
?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
?
f( x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)
< br>'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)? f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地：
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x) ?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?
'?
2
gxgx
????
??
复合函数的导数
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
F(a)--F(b)
a
b
（其中
F'
?
x
?
?f
?< br>x
?
）
和差的积分运算
?
b
a
[f1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x) dx?
?
f
2
(x)dx
aa
bb



特别地：
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x) dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b )
ac
cb

.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，
检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如