高中数学教材选修2一3答案-高中数学必修四教学视频弧度制
高中数学不等式专题教师版
一、 高考动态
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.
考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小
于它们的几何平均数的定理,并会
简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、不 等 式
知识要点
1. 不等式的基本概念
(1)
不等(等)号的定义:
a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.
(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
(3)
同向不等式与异向不等式.
(4) 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)
a?b?b?a
(对称性)
(2)
a?b,b?c?a?c
(传递性)
(3)
a?b?a?c?b?c
(加法单调性)
(4)
a?b,c?d?a?c?b?d
(同向不等式相加)
(5)
a?b,c?d?a?c?b?d
(异向不等式相减)
(6)
a.?b,c?0?ac?bc
(7)
a?b,c?0?ac?bc
(乘法单调性)
(8)
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(同向不等式相乘)
(9)a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd
(异向不等式相除)
(10)a?b,ab?0?
11
(倒数关系)
?
ab
(
11)
a?b?0?a
n
?b
n
(n?Z,且n?1)
(平
方法则)
(12)
a?b?0?
n
a?
n
b(n?Z,且
n?1)
(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)
若a?R,则|a|?0,a
2
?0
(2)
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|ab|?2ab)
(当仅当a=b时取等号)
(3)如果a,b都是正数,那么
ab?
a?b
.
(当仅当a=b时取等号)
2
极值定理:
若
x,y?R
?
,x?y?S,xy?P,
则:
1如果P是定值,
那么当x=y时,S的值最小;
○
2如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大.
○
利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
<
br>(4)若a、b、c?R
?
,则
a?b?c
3
?abc
(当仅当a=b=c时取等号)
3
ba
(5)若ab?0,则??2
(当仅当a=b时取等号)
a
b
(6)a?0时,|x|?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;
|x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a
(7)
若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
4.几个著名不等式
(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么
a?
ba
2
?b
2
(当仅当
?ab??.
11
22?
ab
2
a=b时
取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平
均(a
、
b为正数):
2222
a?ba?ba?ba?b
22<
br>特别地,
ab?(
(当a = b时,
()?)??ab
)
2222
a
2
?b
2
?c
2
?
a??b?
c
?
?
??
(a,b,c?R,a?b?c时取等)
33
??
22
?...?a
n
?
?
幂平均不等式:a
1
2
?a
2
2
1
(a
1
?
a
2
?...?a
n
)
2
n
注:例如:
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
.
1111111
常用不等式的放缩法:①<
br>??
?
2
?
??(n?2)
nn?1n(n?1)
nn(n?1)n?1n
②
n?1?n?
1
n?n?1
?
1
2n
?
1
n?n?1
?n?n?1(n?1)
(2)柯西不等式:
若a
1
,a
2
,a
3
,
?
,a
n
?R,b
1
,b
2
,b3
?
,b
n
?R;则
(a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?
?a
n
b
n
)?
aa
aa
当且仅当
1
?
2
?
3
?
?
?
n
时取等号
b
1
b
2
b
3
b
n
22
(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2
?<
br>?
?a
n
)(b
1
22
?b
2
2<
br>?b
3
2
?
?
b
n
)
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域
中任意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1<
br>)?f(x
2
)
)?或
22
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?.
22
则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
?0?f
(x)g(x)?0;
g(x)
?
f(x)g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
(3)无理不等式:转化
为有理不等式求解
○
1
?f(x)?0
?
??
?定义域
f
(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
?
f(x)?g(x)
?
○
2
?
f(x)?0
?
f(x)?0
○
3
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0或
?
?g(x)?0
2
?
?
?
f(x)?[g(x)]
?f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
2
?
?
f(x)?[g(x)]
(4).指数不等式:转化为代数不等式
a
f(x)
?a
g(x)
(a?1)?f(x)?g(x);af(x)
?a
g(x)
(0?a?1)?f(x)?g(x)
a
f(x)
?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
(5)对数不等式:
转化为代数不等式
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?
log
a
g(x)(a?1)?
?
g(x)?0;
?
f(x
)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
log
af(x)?log
a
g(x)(0?a?1)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
(6)含绝对值不等式
1
应用分类讨论思想去绝对值; ○
2
应用数形思想;
○
3
应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0
|f(x)|?g(x)??
?
?g(x)?f(x)?g(x)
?
g(x)?0
|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或
?
?
f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
?
注:常用不等式的解法举例(x为正数):
①
x(1?x)
2
?
1124
?2x(1?x)(1?x)?()
3
?
22327
2
2x
2
(1?x
2
)(1?x
2
)12
3
423
②
y?x(1?x)?y?
?()??y?
223279
2类似于
y?sinxcosx?sinx(1?sinx)
,③
|x?
1
|?|x|?|
1
|(x与
1
同号,故取等)?2
22
xxx
三、利用均值不等式求最值的方法
均值不等式
a?b<
br>?ab(a?0,b?0,
当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的
2
不等式
,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些
题目必须进行必要的
变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1. 凑系数
例1. 当
0?x?4
时,求
y?x(8?2x)
的最大值。
p>
解析:由
0?x?4
知,
8?2x?0
,利用均值不等式
求最值,必须和为定值或积为定
值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到
2x?
(8?2x)?8
为定值,故只需
将
y?x(8?2x)
凑上一个系数即可。
y?x(8?2x)?
112x?8?2x
2
[2x·(8?2x)]?()
?8
222
当且仅当
2x?8?2x
,即x=2时取等号。
所以当x=2时,
y?x(8?2x)
的最大值为8。
评注:本题无法直接
运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均
值不等式求最大值。
2.
凑项
例2.
已知
x?
51
,求函数
f(x)?4x?2?
的最大值。
44x?5
1
不是定值,故需
4x?5
解析:由题意知
4x?5?0
,首先要调整符号,又
(4x?2)·
对
4x?2
进行凑项才能得到
定值。
∵
x?
∴
5
,5?4x?0
4
11
??(5?4x?)?3
4x?55?4x
f(x)?4x?2?
??2
(5?4x)·
1
?3??2?3?1
5?4x
1
,即
x?1
时等号成立。
5?4x
当
且仅当
5?4x?
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离
x
2
?7x?10
(x≠?1)
的值域。
例3. 求
y?
x?1
解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有
(x+1)的项,再将其
分离。
x
2
?7x?10(x?1)
2<
br>?5(x?1)?44
y???(x?1)??5
x?1x?1x?1
当
x?1?0
,即
x??1
时
y?2(x?1)·
4
?5?9
(当且仅当x=1时取“=”号)。
x?1
当
x?1?0
,即
x??1
时
y?5?2(x?1)·
4
?1
(当且仅当x=-3时取“=”号)。 x?1
x
2
?7x?10
(x≠-1)
的值域为
(??
,1]?[9,??)
。 ∴
y?
x?1
评注:分式函数求最值,通常化成<
br>y?mg(x)?
或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4. 已知
a?0,b?0,a?2b?1
,求
t?
解法1:不妨
将
A
?B(A?0,m?0)
,g(x)恒正
g(x)
11
?
的最小值。
ab
11
?
乘以1,而1用a+2b代换。
ab
1111
(?)·1?(?)·(a?2b)
abab
?1?
2ba
??2
ab
2ba
?3??
ab
2ba
?3?2·
ab
?3?22
?
a?2?1
?
2ba
2ba
?
?
?
?
时取等号,由
?<
br>a
当且仅当
b
,得
?
2
ab
??
b?1?
?
a?2b?1
2
?
?
a?2?1
11
?
t??
的最小值为
3?22
。 即
?
时,
2
ab
?
b?1?
2
?
解法2:将
11<
br>?
分子中的1用
a?2b
代换。
ab
a?2
ba?2b2ba
??1???2
abab
2ba
?3???3?
22
ab
评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到
t?3?
可用均值不等式求
得
t?
三、换元
例5. 求函数
y?
2ba2ba
?,而与的积为定值,即
abab
11
?
的最小值。
ab
x?2
的最大值。
2x?5
解析:变量代换,令
t?
当t=0时,y=0
当
t?0
时,
y?
x?2
,则
x?t
2
?2(t?0
),则y?
t
2t
2
?1
1
2t?
1<
br>t
?
1
22t·
1
t
?
2
4
当且仅当
2t?
1
2
,即
t?
时取等号。
t
2
故
x??
32
。
时,y
max?
24
评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求
最
值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6.
求函数
y?
15
2x?1?5?2x(?x?)
的最大值。
22
解析:注意到
2x?1与5?2x
的和为定值。
y
2
?(2x?1?5?2x)
2
?4?2(2x?1)(5?2x)
?4?(2
x?1)?(5?2x)?8
又
y?0
,所以
0?y?22
当且仅当
2x?1?5?2x
,即
x?
3
时取等号。
2
故
y
max
?22
。
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我
们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意
一些变形技巧,积极创造条
件利用均值不等式。
高中数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训
练):基本不等式
一、选择题
11
1.若
a
>0,
b
>0,且ln
(
a
+
b
)=0,则+的最小值是( )
ab
1
A. B.1 C.4 D.8
4
a
+
b
=1,
?
?
解析:由
a
>0,<
br>b
>0,ln(
a
+
b
)=0,得
?
a>0,
?
?
b
>0.
11
a
+
b1
故+==≥
ababab
11
==4.
a
+
b
1
????
?
2
?
2
?
2
?
2
????
1
当且仅当
a
=
b
=时,上式取等号.
2
答案:C
?
1
a
?
2.已知不等式(
x
+
y
)
?
+
?
≥9对任意正实数
x
,
y
恒成立,则正实数
a
的最小值为
?
xy
?
( )
A.2
C.9
B.4
D.16
xy
?
1
a
?
解
析:(
x
+
y
)
?
+
?
=1+·
a
++
a
.
?
xy
?
yx
∵
x
>0,
y
>0,
a
>0,
∴1+++
a
≥1+
a
+2
a
.
由9≤
1+
a
+2
a
,得
a
+2
a
-8≥0,
∴(
a
+4)(
a
-2)≥0.
∵
a
>
0,∴
a
≥2,∴
a
≥4,∴
a
的最小值为4.
答案:B
axy
yx
?
x
4
?<
br>3.已知函数
f
(
x
)=lg
?
5+
x+
m
?
的值域为R,则
m
的取值范围是( )
5
??
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-4)
D.(-∞,-4]
44
xx
解析:设
g
(
x
)
=5+
x
+
m
,由题意
g
(
x
)的图像与
x
轴有交点,而5+
x
≥4,故
m
≤-4,
55<
br>故选D.
答案:D
4.当点(
x
,
y
)在直线<
br>x
+3
y
-2=0上移动时,表达式3
x
+27
y<
br>+1的最小值为(
A.3 B.5
C.1 D.7
解析:方
法一:由
x
+3
y
-2=0,得3
y
=-
x
+2.
∴3
x
+27
y
+1=3
x
+3
3
y
+1=3
x
+3
-
x
+2
+1
=3
x
+
9
3
x
+1
≥2
3
x
·
9
3
x
+1=7.
当且仅当3
x
=
9
3
,即3
x
x
=3,即
x
=
1时取得等号.
方法二:3
x
+27
y
+1=3
x
+3
3
y
+1≥23
x
·3
3
y
+1=
23
2
+1=7.
答案:D
5.已知
x
>0,
y
>0,
x
+2
y
+2
xy
=8,则
x
+2
y
的最小值是( )
A.3 B.4
C.
9
2
D.
11
2
解析:∵2
xy
=
x
·(2
y
)≤
?
?
x<
br>+2
y
?
2
?
?
2
?
,
∴原式可化为(
x
+2
y
)
2
+4(
x
+
2
y
)-32≥0.
又∵
x
>0,
y
>0,∴<
br>x
+2
y
≥4.当
x
=2,
y
=1时取等号
.
答案:B
6.(2013·苍山调研)已知
x
>0,
y
>0,lg2
x
+lg8
y
=lg2,则
11
x
+
3
y
的最小值是(
A.2 B.22
C.4
D.23
解析:由lg2
x
+lg8
y
=lg2,得lg2
x
+3
y
=lg2.
)
)
11
?
11
?
x
3
y
∴
x< br>+3
y
=1,+=
?
+
?
(
x
+3
y
)=2++≥4.
x
3
y
?
x
3y
?
3
yx
答案:C
二、填空题
2
??< br>2
1
??
1
7.设
x
、
y
∈R,且
xy
≠0,则
?
x
+
2
??
2
+ 4
y
?
的最小值为__________.
y
??
x??
1
2
??
2
1
??
1
22
解析:
?
x
+
2
??
2
+4
y
?
=1+4+4
xy
+
22
≥1+4+24=9.
y??
x
xy
??
当且仅当4
xy
=
答案:9
8.(2013·台州调研)若实数
a
,
b
满足
ab
-4
a
-
b
+1=0(
a
>1),则(
a
+1)(
b
+2)的最
小值为__________.
解析:∵
ab
-4
a
-
b
+1=0,
4
a
-1
∴
b
=,
ab
=4
a
+< br>b
-1.
a
-1
∴(
a
+1)(
b
+2)=
ab
+2
a
+
b
+2=6
a
+ 2
b
+1
4
a
-1
=6
a
+·2+1
a
-1
[4?
a
-1?+3]×2
=6
a
++1
a
-1
=6
a
+8+
6
+1
a
-1
6
+15.
a
-1
22
1
xy
22
时等号成立,即|
xy
|=
2
时等号成立.
2
=6(
a
-1)+
∵
a
>1,∴
a-1>0.
∴原式=6(
a
-1)+
2
6
+15≥2 6×6+15=27.
a
-1
当且仅当(
a
-1)=1,即
a
=2时等号成立.
∴最小值为27.
答案:27
9.(2013 ·聊城质检)经观测,某公路段在某时段内的车流量
y
(千辆小时)与汽车的平
均速度
v
(千米小时)之间有函数关系:
y
=
920
v
(
v
>0),在该时段内,当车流量
y
v
+3
v
+1 600
2
最大时,汽车的平均速度
v
=__________千米小时.
解析:∵
v
>0,
∴
y
=
920
≤
1
600
v
++3
2
v
920920
=≈11.08,
80+3
1 600
v
·+3
v
1
600
当且仅当
v
=,即
v
=40千米小时时取等号.
v
答案:40
三、解答题
10.已知
x
>0,
y
>0,
z
>0,且
x
+
y
+
z
=1.
149
求证:++≥36.
xyz
解析:∵
x
>0,
y
>0,
z
>0,且
x
+
y
+z
=1,
149
?
149
??
y
4
x
??
z
9
x
??
4
z
9
y?
∴++=(
x
+
y
+
z
)
?
++
?
=14+
?
+
?
+
?
+
?
+
?
+
?
≥14+2
xyz
?
xyz
?
yz
?
xy
??
xz
??
yz
?
y
4
x
·+2
xy
z
9
x
·
+2·
xz
4
z
9
y
·=14+4+6+12=36. <
br>1
2
1
22
当且仅当
x
=
y
=z
,
49
111
即
x
=,
y
=,<
br>z
=时等号成立.
632
149
∴++≥36.
xyz
11.某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区
域是
矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩
形的长和宽.
解析:设中间矩形区域的长,宽分别为
x
m,
y
m,
中间的矩形区域面积为
S
m,
π
y
则半圆的周长为 m.
2
π
y
∵操场周长为400
m,所以2
x
+2×=400,
2
400
即2
x
+π
y
=400(0<
x
<200,0<
y
<).
π
11
?
2
x
+π
∴
S
=
xy
=·(2
x
)·(π
y
)≤·
?
2π2π
?
2
2
y
?
2
20
000
?
=
π
?
.
?
?
2
x
=π
y
,
由
?
?
2
x
+π
y
=400,
?
x
=100,
?
?
解得
?
200
y
=.
?
π
?
x
=100,
?
?
∴当且仅当
?
200
y
=
?
π
?
时等号成立.
200
即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 m时,矩形区域面积最大.
π<
br>12.已知
x
,
y
都是正实数,且
x
+
y<
br>-3
xy
+5=0.
(1)求
xy
的最小值;
(2)求
x
+
y
的最小值.
解析:(1)由
x<
br>+
y
-3
xy
+5=0,得
x
+
y
+5=3
xy
.
∴2
xy
+5≤
x
+
y
+5=3
xy
.
∴3
xy
-2
xy
-5≥0.
∴(
xy
+1)(3
xy
-5)≥0.
∴
xy<
br>≥
525
3
,即
xy
≥
9
,等号成立的条件
是
x
=
y
.
此时
x
=
y
=525
3
,故
xy
的最小值是
9
.
(2)方
法一:∵
x
+
y
+5=3
xy
≤3·
?
?
x
+
y
?
2
?
?
2
?
=
3
4
(
x
+
y
)
2
,
∴
3
4
(
x
+
y
)
2
-(
x
+
y
)-5≥0.
即3(
x
+
y
)
2
-4(
x
+
y
)-20≥0.
即[(
x
+
y
)+2][3(
x
+
y
)-10]≥0.
∴
x
+
y
≥
10
3
.
等号成立
的条件是
x
=
y
,即
x
=
y
=
5
3
时取得.
故
x
+
y
的最小值为
10
3
.
方法二:由(1)知,
x
+
y
+5=3
xy
,且(
xy
)
25
min
=
9
,
∴3(
xy
)
25
min
=
3
.
∴(
x
+
y
)
25105
min
=
3<
br>-5=
3
,此时
x
=
y
=
3
.
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