高中数学必修一集合知识点总结大全

高中数学 必修1知识点
集合
?
（）元素与集合的关系：属于（? ）和不属于（?）
?
1
?
?
（
?
集合与元素
?
2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性
?
?
（
?3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集
?
?
4） 集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（
?
?< br>?
?
?
子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。
?< br>?
?
?
nn
?
1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有 2个，真子集有(2-1)个。
?
?
?
?
?
?
?< br>?
2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A
?
?
注
?
?
?
?
关系
?
?
?
3、对于集 合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.
?
?
?
?
4、 空集是任何集合的（真）子集。
?
?
?
?
?
?
真子 集：若A?B且A?B
?
（即至少存在x
0
?B但x
0
?A ），则A是B的真子集。
集合
?
?
?
?
?
?
?
集合相等：A?B且A?B ?A?B
?
?
?
?
?集合与集合
?
?
定义：A?B?
?
xx?A且x?B
?
?
交集
?
?
?
?
?
?
?
性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A
?< br>?
?
?
?
?
定义：A?B?
?
xx?A或x ?B
?
?
并集
?
?
?
?
?
??
?
?
?
性质：A?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A ，A?B?B，A?B?A?B?B
?
运算
?
?
?
?
Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)
?
?

?
?
?
定义：CA?xx?U且x?A?A
??
U
?
?
?
?
?
?
补集
?
性质：
?< br>(C
U
A)?A??，(C
U
A)?A?U，C
U
( C
U
A)?A，C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)，
?
?
?
?
C(A?B)?(CA)? (CB)
?
?
UUU
?
?
?
?
?
第一章 集合与函数概念
【】集合的含义与表示
（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

N
表示自然数集，
N
?
或
N
?
表示正整数 集，
Z
表示整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实
数 集.

（3）集合与元素间的关系

对象
a
与集合
M
的关系是
a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.< br>
（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{< br>x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含 有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含
有任何元素的集合叫做空 集(
?
).

【】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称

记号

意义

性质

示意图

A?B

(1)A
?
A

A中的任一元
素都属于B

(2)
??A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A(B)
BA
子集

（或
B?A)

或

A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

A
?
B

?
A?B
，且B
（1）
??A
（A为非空子集）

?
BA
真子
集

（
?
B
且
B?C
，则
或
中至少有一元
(2)若
A?
??
B
?
A）

素不属于A


A?C

?
A中的任一元
集合

A?B

素都属于B，B
(1)A
?
B

A(B)
相等

中的任一元素
都属于A

(2)B
?
A


（7）已知集合
A
有< br>n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2
n
?1
个真子集，它有
2
n
?1
个非空
子集，它有< br>2
n
?2
非空真子集.

【】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名
称

记
意义

号

性质

示意图

（1）
AA?A

且
（2）
A???

AB
交
集


AB
{x|x?A,
x?B}

（3）
AB?A

AB?B



（1）
AA?A

（2）
A??A

A
B
并
集


AB
{x|x?A,
或
x?B}

（3）
AB?A


A


B?B

⑴
（

补
集



⑵
{x|x?U,且x?A}

⑶
⑷
⑸

⑼ 集合的运算律：

交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.


结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)


分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B) ?(A?C)

0-1律：
?A??,?A?A,UA?A,UA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩ A∪=U

反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)


一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A 所有的正数 B 等于
2
的数

C 接近于
0
的数 D 不等于
0
的偶数

2 下列四个集合中，是空集的是（ ）

A
{x|x?3?3}
B
{(x,y)|y
2
??x
2
,x,y?R}

C
{x|x
2
?0}
D
{x|x
2
?x?1?0,x?R}

3 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）

A
(AC)(BC)

B
(AB)(AC)

A
C
B
C
(AB)(BC)

D
(AB)C


4 下面有四个命题：

（1）集合
N
中最小的数是
1
；

（2）若
?a
不属于
N
，则
a
属于
N
；

（3）若
a?N,b?N,
则
a?b
的最小值为
2
；

（4）
x
2
?1?2x
的解可表示为
?
1,1
?
；

其中正确命题的个数为（ ）

A
0
个 B
1
个 C
2
个 D
3
个

5 若集合
M?
?
a,b,c?
中的元素是△
ABC
的三边长，

则△
ABC
一定不是（ ）

A 锐角三角形 B 直角三角形

C 钝角三角形 D 等腰三角形

6 若全 集
U?
?
0,1,2,3
?
且C
U
A?
?
2
?
，则集合
A
的真子集共有（
A
3
个 B
5
个 C
7
个 D
8
个

7 下列命题正确的有（ ）

（1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合
?
y|y?x
2
?1
?
与集合
?
?
x,y
?
|y?x
2
?1
?
是同一个集合；

（3）
1,
3
,
6
,?
1
242
,0.5
这些数组成的集合有< br>5
个元素；

（4）集合
??
x,y
?
|x y?0,x,y?R
?
是指第二和第四象限内的点集
A
0
个 B
1
个 C
2
个 D
3
个

8 若集合
A?{?1,1}
，
B?{x|mx?1}
，且
A?B?A
，则
m
的值为（
）

）

A
1
B
?1
C
1
或
?1
D
1
或
?1
或
0

9 若集合
M?
?
(x,y)x?y?0
?
,N?
?
(x,y)x
2?y
2
?0,x?R,y?R
?
，则有（ ）

A
MN?M
B
MN?N
C
MN?M
D
MN??

?
x?y?1
10 方程组
?
22
的解集是（ ）

x?y?9
?
A
?
5,4
?
B
?
5,?4
?
C
??
?5,4
??
D
??
5,?4
??


11 下列式子中，正确的是（ ）

A
R
?
?R
B
Z
?
?
?
x|x?0,x?Z
?

C 空集是任何集合的真子集 D
?
?
?
?
?

12 下列表述中错误的是（ ）

A 若
A?B,则A?B?A
B 若
A?B?B，则A?B

C
(A?B)
A
(A?B)
D
C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?


第II卷（共90分）
13 用适当的集合符号填空（每小空1分）

（ 1）
3______
?
x|x?2
?
,
?
1,2< br>?
____
??
x,y
?
|y?x?1
?

（2）
2?5_______
?
x|x?2?3
?
，

?
3
（3）
?
?
x|?x,x?R?
_______
?
x|x?x?0
?

??
1
x
14 设
U?R,A?
?
x|a?x? b
?
,C
U
A?
?
x|x?4或x?3
?

则
a?___________,b?__________


15. 某班有学生
55
人，其中体育爱好者
43
人，音乐爱好者
34
人，还有
4
人既不爱好体育
也不爱好音乐，则该班既爱好体育又 爱好音乐的人数为 人

16. 若
A?
?
1,4,x
?
,B?
?
1,x
2
?
且
A B?B
，则
x?


三、解答题：本大题共6分，共74分。

17.（本大题12分）

设
y?x
2
?ax?b,A?
?
x|y?x
?
?
?
a
?
,M?
?
?
a,b
?
?< br>,求M





18. 本大题满分12分

设集合
A?
?
1,2,3,...,10
?
,< br>求集合
A
的所有非空子集元素和的和

19.（本大题满分12分）

集合
A?
?
x|x
2
?ax?a
2
?19?0
?
，
B?
?
x |x
2
?5x?6?0
?
，
C?
?
x|x
2
?2x?8?0
?

满足
AB?
?
,
，
AC?
?
,
求实数
a
的值












20. 本大题满分12分

全集
S?
?
1,3,x
3
?3x
2
?2x
?
，
A?
?
1,2x ?1
?
，如果
C
S
A?
?
0
?
,
则这样的

实数
x
是否存在若存在，求出
x
；若不存在，请说明理由

21.（本大题满分12分）

设
A?{x x
2
?4x?0},B?{xx
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0}
,其中
x?R
,

如果
AB?B
，求实数
a
的取值范围









22.（本大题满分14分）

已知集合
A?
?
x|?2? x?a
?
,
B?
?
y|y?2x?3,x?A
?
,
C?
?
z|z?x
2
,x?A
?
,

且
C?B
,求
a
的取值范围

高一数学试题参考答案

选择题 每小题5分 共60分 错选、空题均不得分

1-5C D A A D 6-10C A D A D 11D 12C

1 C 元素的确定性；

2 D 选项A所代表的集合是
?
0
?
并非空集，选项B 所代表的集合是
?
(0,0)
?

并非空集，选项C所代表的集合是
?
0
?
并非空集，

选项D中的方程
x
2
?x?1?0
无实数根；

3 A 阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分；

4 A （1）最小的数应该是
0
，（2）反例：
?0.5?N
，但
0.5?N

（3）当
a?0,b?1,a?b?1
,（4）元素的互异性

5 D 元素的互异性
a?b?c
；

6 C
A??
0,1,3
?
，真子集有
2
3
?1?7


7
A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，

3
2
6
4
1
?0.5
，有重复的元素，应该是
3
个元素 ，（4）本集合还包括坐标轴

2
（3）
?,?

8 D 当
m?0
时，
B?
?
,
满足
AB?A，即
m?0
；当
m?0
时，
B?
?
?
1
?
?
m
?
?
,

而
AB?A< br>，∴
1
m
?1或?1，m?1或?1
；∴
m?1,?1或0< br>；

9 A
N?（
?
0，0）
?
，
N?M
；

10 D
?
?
x?y?1
得
?
x? 5
?
x?y?9
?
?
y??4
，该方程组有一组解
(5,?4)
，解集为
?
(5,?4)
?
；

11 D 选项A应改为
R
?
?R
，选项B应改为
?
，选项C 可加上“非空”，或去掉
“真”，选项D中的
?
?
?
里面的确有个元 素“
?
”，而并非空集；

12 C 当
A?B
时，
AB?A?AB







第II卷
填空题 （与答案不符的回答 皆判为错包括缺少单位判零分）

13 每小空1分
(1)?,?,(2)?,(3)?


（1）
3?2
，
x?1,y?2
满足
y?x?1
，

（2）估算
2 ?5?1.4?2.2?3.6
，
2?3?3.7
，

或
(2?5)
2
?7?40
,
(2?3)
2
?7 ?48

（3）左边
?
?
?1,1
?
，右边
?
?
?1,0,1
?

14
a?3,b?4

A?C
U
(C
U
A)??
x|3?x?4
?
?
?
x|a?x?b
?

15
26
全班分
4
类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为
x
人；仅爱好体育

的人数为
43?x
人；仅爱好音乐的人数为
34?x
人；既不爱好体 育又不爱好音乐的

人数为
4
人 ∴
43?x?34?x?x?4?55
，∴
x?26


16
0,2,或?2
由
AB?B得B?A
，则< br>x
2
?4或x
2
?x
，且
x?1


二.问答题 要求：只写出结果，且结果正确，得分；只写出结果且结果不对，0分；有解< br>．．．．．．．．．．．．．．．．
6
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答过程，但是结果不对，7分；写出关键解答过程且结果正确得或分。所有大题分步
．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
12
．．．
14
．．．．．．． ．．．
酌情给分。）

．．．．．．
17. 解：由
A?
?
a
?
得
x
2
?ax?b?x
的两个根
x< br>1
?x
2
?a
，

即
x
2
?(a?1)x?b?0
的两个根
x
1
?x
2
?a
，…………………………………4

∴
x
1
?x
2
?1?a?2a,得a?
，
x
1
x
2
?b?
，…… …………………………8

?
11
?
?
∴
M?
?
?
?
,
?
?
………………………………………………………………….12

?
?
39< br>?
?
1
3
1
9
18 解：由
AB?B得B ?A
，而
A?
?
?4,0
?
，
??4(a?1)< br>2
?4(a
2
?1)?8a?8
………4

当
??8a?8?0
，即
a??1
时，
B?
?
，符合
B?A
；

当
??8a?8?0
，即
a??1
时 ，
B?
?
0
?
，符合
B?A
；