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高中数学集合总结+题型分类+完美解析资料

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 13:33
tags:高中数学集合

高中数学电子pdf-高中数学教育教学调查与研究报告


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集合


【知识清单】
1.性质:确定性、互易性、无序性.
2.元素和集合的关系:属于“
?
”、不属于“
?
”.
3 .集合和集合的关系:子集(包含于“
?
”)、真子集(真包含于“
?
”).
?
4.集合子集个数=
2
;真子集个数=
2?1
.
5.交集:
A?B?
?
x|x?A且x?B
?

并集:
A?B?
?
x|x?A或x?B
?

补集:
C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?

6.空集是任何非空集合的真子集;是任何集合的子集.
nn

题型一、集合概念


解决此类型题要注意以下两点:
①要时刻不忘运用集合的性质,用的最多的就是互易性;
②元素与集合的对应,如数对应数集,点对应点集.

【No.1 定义&性质】
1.下列命题中正确的个数是( )
①方程
x?2?y?2?0
的解集为
?
2,?2
?

2
②集合
y|y?x?1,x?R

?
y|y?x?1,x ?R
?
的公共元素所组成的集合是
?
0,1
?

? ?
③集合
?
x|x?1?0
?
与集合
?
x|x?a ,a?R
?
没有公共元素
A.0 B.1 C.2 D.3
分析:①中的式子是方程但不是一个函数,所以我们要求的解集 不是
x
的值所构
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成的集合,而是
x

y
的值的集合,也就是一个点.

答案
:A
?
x?2
?
x?2?0
详解
: 在①中方程
x?2?y?2?0
等价于
?
,即
?
。因此解集 应为
y??2
y?2?0
?
?
??
2,?2
??< br>,错误;
2
2
在②中,由于集合
y|y?x?1,x?R
的 元素是
y
,所以当
x?R
时,
y?x?1??1
.同
??
理,
?
y|y?x?1,x?R
?

y?R
,错误;
在③中,集合
?
x|x?1?0
?

x?1,而
?
x|x?a,a?R
?
,画出数轴便可知这两个集合可能
有公共的元素,错误.故选A.

2.下列命题中,
(1)如果集合
A< br>是集合
B
的真子集,则集合
B
中至少有一个元素;
(2) 如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A
的元素少于集合B
的元素;
(3)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集 合
A
的元素不多于集合
B
的元素;
(4)如果集合
A是集合
B
的子集,则集合
A

B
不可能相等.
错误的命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
分析:首先大家要理解子集和真子集的概念,如果集合
M
是集合
N< br>的子集,那

M
中的元素个数要小于或等于
N
中元素的个数; 如果集合
M
是集合
N
的真子
集,那么
M
中的元素个 数要小于
N
中元素的个数.

答案

C

详解
:(1)如果集合
A
是集合
B
的真子集,则集合
B< br>中至少有一个元素,故(1)正确;
(2)如果集合
A
是集合
B的子集,则集合
A
的元素少于或等于集合的
B
元素,故(2)不
正确;
(3)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A
的元素不多于集合
B
的元素,故(3)正确;
(4)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A

B
可能相等,故( 4)不正确.故选
C


3.设
P

Q
为两个非空实数集,P中含有0,2,5三个元素,
Q
中含有1,2,6三个元素,
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定义集合
P?Q
中的元素是
a? b
,其中
a?P
,
b?Q
,则
P?Q
中元素的个数 是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
分析:因为
a?P

b?Q< br>,所以
P?Q
中的元素
a?b

P
中的元素和
Q
中元素两
两相加而得出的,最后得出的集合还要考虑集合的互易性.

答案
:B
详解
:当
a?0
时,
b
依次取 1,2,6,得
a?b
的值分别为1,2,6;

a?2
时,b
依次取1,2,6,得
a?b
的值分别3,4,8;

a? 5
时,
b
依次取1,2,6,得
a?b
的值分别6,7,11; < br>由集合的互异性得
P?Q
中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个,故选 B.

4.设数集
M
同时满足条件

M
中不含 元素
?1,0,1
,②若
a?M
,则
则下列结论正确的是 ( )
A.集合
M
中至多有2个元素;
B.集合
M
中至多有3个元素;
C.集合
M
中有且仅有4个元素;
D.集合
M
中有无穷多个元素.
1?a
?M
.
1?a
分析:已知
a?M
时,
1?a
?M
.那么我们可以根 据条件多求出几个
M
集合的元
1?a
素,找出规律并且判断元素之间是否有可 能相等,从而判断集合中元素的个数.

答案

C

1? a1
1?
1?a
1
a
?
a?1
?M
?M
,则
1?a
???M

详解
:由题意,若
a?M
,则
1?a1
a?1
1?a
a
1?1?
1? aa
a?1
1?
a?1
?
2a
?a?M
,若
a?
1?a
,则
a
2
??1
,无解,同理可证明这四个元 素中,则
a?1
2
1?a
1?
a?1
任意两个元素不相等, 故集合
M
中有且仅有4个元素.
1?

------------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------
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【No2. 表达方式】
5.下列集合表示空集的是( )
A.
?
x?R|x?5?5
?

B.
?
x?R|x?5?5
?

2
C.
x?R|x?0

??
2
D.
x?R|x?x?1?0

??
分析:本题考查空集的概念,空集是指没有任何元素的集合.

答案
:D
详解

x
2
?x?1?0

???1?4?1?1??3?0

?
方程无实数解,故选D.

6.用描述法表示下列集合:
(1)
?
0,2,4,6,8
?

(2)
?
3,9,27,81,?
?

(3)
?
,
?
1357
?
,,
,?
?

?
2468
?
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合.
分析:描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的
范围

详解
:(1)
?
x?N|0?x?10,且x是偶数
?

(2)
?
x|x?3n,n?N
?
?

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(3)
?
x|x?
?
?
2n?1
?
,n?N
?
?

2n
?
(4)
?
x|x?5n?2,n?Z
?


========================================= =============================

题型二、不含参数



⑴中的参数是指方程的非最高次项系数

解决此类型题应注意:
①区分
?

?

?
的区别;
?
②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数;

A?B?A?A?B


A?B?A?B?A


A?B???从A??和B??两方面讨论
.

【No.1 判断元素集合与集合之间的关系】
1.给出下列各种关系
①0
?
?
0
?
;②0
?
?
0
?
;③
??
?
?
?
;④
a?
?
a
?
;⑤
??
?
0
?
;⑥
?
0
?
??
;⑦??
?
0
?

?

?
?
?< br>0
?

?
其中正确的是( )
A.②③④⑧ B.①②④⑤ C.②③④⑥ D.②③④⑦
分析:本题需要大家分清
?
?

?
?
三个符号的意义和区别:
?
--“ 属于”,用于
表示元素和集合的关系;
?

?
?
--“包含 于和真包含于”,用于表示集合和集合之
间的关系.

答案
:A
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详解
:①错误,应为
0??
0
?
;②③④⑧正确;⑤⑥⑦应为
?
?
?
?
0
?


2.若
U
为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )
(1)若< br>A?B??,则
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
?U

(2)若
A
?
B?U
,则
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
??

(3)若
A?B??,则A?B??

A.
0
个 B.
1
个 C.
2
个 D.
3

分析:本题应先简化后面的式子,然后再和前面的条件对比.

答案
:D
详解
:(1)
?
C
U
A
?
?
?< br>C
U
B
?
?C
U
?
A?B
?
?C
U
??U

(2)
?
C
U< br>A
?
?
?
C
U
B
?
?C
U
?
A
?
B
?
?C
U
U??

(3)证明:∵
A?
?
A?B
?
,即
A??
,而
??A
,∴
A??

同理
B??
, ∴
A?B??


---------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------

【No.2 子集、真子集】

3.从集合
U ?
?
a,b,c,d
?
的子集中选出4个不同的子集,须同时满足以下两个条 件:

?

U
都要选出;
②对选出的任意两个子集A

B
,必有
A?B

B?A
.
那么共有 种不同的选法.
分析:由①可以知道选出的子集中一定有
?

U
,我们要求得只剩两个集合。
根据②(以
A?B
为 例)可以从讨论
A
中有1个或2个元素有几种选法来确定
B
的选法.注意A
中不可能有3种元素,因为这样
B
中会出现
U

A< br>中的元素,与
题意和性质不符.

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答案
:36
详解
:由题意知,集合必有 子集
?

U
,只需考虑另外两个集合
如果
A
中含 有一个元素,有4种选法,相应的,
B
集合中有6中选法,共24种;
如果
A
中含有两个元素,有6种选法,相应的,
B
集合中有2中选法,共12种;
即总共有36种选择。


4.已知集合
A?x|x?2x?3?0
,那么满足
B?A
的集合
B
有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
2
?
分析:本题求的是
A
集合的子集个数

答案

D

详解
:根据题意,
x
2
?2x?3?0
,则
x??1

3

则集合
A ?
?
?1,3
?
,其中有
2
个元素,
则其子集有
2?4
个,
满足
B?A
的集合
B
有4个,
故选
D


5.若集合
A?B

A?C
,且
B?C?
?
0,2,4
?
.则满足条件的集合
A
的个数为( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 2
分析:集合
A?B

A?C
,说明
A
同时是 两个集合的子集.

答案

D

详解
:根据题意 ,集合
A?B

A?C
,且
B?C?
?
0,2,4
?
.即
A

?
0,2,4
?
的子集, < br>而
?
0,2,4
?
中有3个元素,共有
2?8
个子集 ;
3
即满足条件的
A
的个数为8;
故选
D


----------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------

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【No.3 集合间的运算】
6.设全集
U?
??
x,y
?
|x,y?R
?
,集合
M?
?
?
x,y
?
|
那么
?
C
U
M< br>?
?
?
C
U
N
?
等于__________ ______.
?
?
y?2
?
?1
?

N?
??
x,y
?
|y?x?4
?
,
x?2?
分析:首先要注意本题要求的是点集,
M
集合的含义是不含有
?
2,?2
?
的直线上的点
集,
C
U
M
表示的就是
?
2,?2
?

C
U
N
表示
y? x?4
.


答案

??
2,?2
??

详解

M:y?x?4
?
x?2
?

M
代表直线
y?x?4
上,但是
挖掉点
?
2,? 2
?

C
U
M
代表直线
y?x?4
外,但 是包含点
?
2,?2
?

N
代表直线
y?x?4
外,
C
U
N
代表直线
y?x?4
上,

?
C
U
M
?
?
?
C
U
N
?
?
??
2,?2
??
.

22
7.已知
M?x|x?px?6?0

N?x|x?6x?q?0
,则M?N?
?
2
?
,则
p?q?
????
( )
A.21 B.8 C.6 D.7
分析 :从
M?N?
?
2
?
入手得,
2
既是
M< br>的元素又是
N
的元素,那么代入便可以
求出
p

q< br>的值.

答案
:A
详解
:由已知得,
2?M,2?N

22
所以
2< br>是方程
x?px?6?0

x?6x?q?0
的根,故将
2< br>代入得,
p?5

q?0,q?16
.
所以
p?q?21
.

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1,3,5,7,9
?
,8. 已知方程
x?bx?c?0
有两个不相等的实根
x
1

x
2
.

C?
?
x
1
,x
2
?
,< br>A?
?

2
B?
?
1,4,7,10
?,若
A?C??,C?B?C
,试求
b

c
的值。 < br>分析


A?C??,C?B?C
的含义的理解是本题的关键,
C?B?C?C?B



详解
:由
C?B?C?C?B
, 那么集合C中必定含有1,4,7,10中的2个。
又因为
A?C??
,则A中的1 ,3,5,7,9都不在C中,从而只能是
C?
?
4,10
?
因此,
b??
?
x
1
?x
2
?
??1 4

c?x
1
x
2
?40
.

================================================== ====================
题型三、集合含参


解决此类型题应注意:
①遇到子集需从
?
和不是
?
两方面讨论,如
A?B?A??或B??
.
②会解各种类型的不等式.
③如果方程中的最高次项系数含有参数,要记得对参数是否为0进行讨论.

【No.1 集合vs.集合】
2
1.设
U?
?
2,4, 1?a
?

A?2,a?a?2
,若
C
U
A??
?1
?
,则
a
的值为( )
??
A.1 B.2 C.3 D.4

分析:因为
C
U
A?
?
?1
?< br>,所以
U
中必含元素
?1

A
中必不含元素
?1
.

答案
:B
详解
:因为
C
U< br>A?
?
?1
?
,所以
?1?1?a
,解得
a ?2
.
a?2
时,
a
2
?a?2?4
,满足C
U
A?
?
?1
?
. 所以实数
a
的值为2.
4?a
2
?a?2
?
a
2
?a?2?0
?
a?2

a??1

a?2
代入
C
S
A?
?
?1
?
成立
同理
a??1
代入无解,故舍去.综上
a?2

2.已知集合
A?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
,集合
B?x|x?ax?b?0,a,b?R

2
??
(1)若
A?B
,求
a,b
的值;
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(2)若
b?3
,且
A?B?A
,求
a
的取值范围.
分析:(1)中
A?B
得 出
A

B
中不等式的解相同,那我们算出集合
A
的解集,< br>再由韦达定理求出
a,b
即可;
(2)由
A?B?A
可得
B?A
. 题目中只要看到类似
B ?A
这种子集问题,必然
要先讨论B是否为
?
,因为
?
是任 何集合的子集,所以
?
也是一种情况必须要
讨论.

详解
:(1)由
log
2
?
x?1
?
?1

0 ?x?1?2
,所以集合
A?
?
x|1?x?3
?


A?B
知,
x?ax?b?0
的解集为
?
x|1 ?x?3
?
,所以方程
x?ax?b?0
的两根分别
22
为 1和3.
由韦达定理可知,
?
?
a?1?3
,解得
a?4

b?3
,即为所求.
?
b?1?3
(3)由
A?B?A
知,
B?A

2
①当
B??
时,有
??a?12?0
,解得;
? 23?a?23

?
??a
2
?12?0
?a
?
f
?
1
?
?4?a?0
2
②当
B??
时,设函数
f
?
x
?
?x?ax?3
,其图象的对称轴为
x?

?
f
?
3
?
?12?3a?0

2
?
a
?
1??3
2
?
解得
23?a?4

综上①②可知,实数
a
的取值范围是
[?23,4]

< br>----------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------

【No.2 集合vs.不等式】
3.设集合
A?x|x?a?1,x?R
,B=
x|x?b?2,x?R
. 若
A?B
,则实数
a

b
必满
足( )
????
分析:做这种题首先要先会解绝对值不等式,然后再比较端点即可.
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答案
:D
详解

A?
?
x|?1?a?x?1?a
?
B?
?
x|x?2?b或x??2?b
?
因为
A?B
, 且
A??
则有

1?a??2?b

?1?a?2?b


b?a?3

b?a??3


b?a?3
,选D.

4.集合
A?
?
x|?2?x?5
?

B?
?
x|m?1?x?2m?1
?

(1)若
B?A
,求实数
m
的取值范围;
(2)当
x?Z
时,求
A
的非空真子集个数;
(3)当< br>x?R
时,没有元素
x
使
x?A

x?B
同 时成立,求实数
m
的取值范围.
分析

此问题解决要注意:(1)
B?A
中的分类讨论;(2)集合的非空真子集的个
数=
2
n
?1
;(3)当
x?R
时,没有元素
x
使
x?A

x?B
同时成立能得出
A

B
没有
交集,当中还 要考虑
B
是否为
?
.

详解
:(1)当
m?1?2m?1

m?2
时,
B??
满足
B?A
.

m?1?2m?1

m?2
时,要使
B?A
成立,

?
?
m?1?2m?1,
可得
2?m?3
.综上所得实数
m
的取值范围
m?3
.
m?1?5
?< br>(2)当
x?Z
时,
A?
?
?2,?1,0,1,2,3,4 ,5
?
,
所以,
A
的非空真子集个数为
2
8?2
?254
.
(3)∵
x?R
,且
A?
?
x|?2?x?5
?< br>,
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
,又没有元素
x
使
x?A

x?B
同时成立
则①若
B??
m?1?2m?1
,得
m?2
时满足条件;
②若
B ??
,则要满足条件有:
?
综上有
m?2

m?4
.
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?
m?1?2m?1,
?
m?1?2m?1,

?
解之,得
m?4
.
m?1?52m?1??2
??


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--- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------

【No.3 集合vs.方程】
2
5 .已知集合
P?x|x?x?6?0
,
Q?
?
x|ax?1?0?
满足
Q
?
P
,求
a
所取的一切值.
??
?
分析:这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从a?0

a?0
两个方面进行解题.

详解
:因P?
?
x|x
2
?x?6?0
?
?
?
2,?3
?
,

a?0
时,
Q?
?
x| ax?1?0
?
??
,
Q
?
P
成立.
?
又当
a?0
时,
Q?
?
x|ax?1?0
?
?
?
?
1
1
?
1
?
成立,则有
??2

???3
,
P
?
,要
Q
??
a
a
?
a
?
11
a??

a?
.
23
综上所述,
a?0

a??

6.已知集合
A?x|ax?3x?4?0,x?R

(1)若
A
中有两个元素,求实数
a
的取值范围;
(2)若
A
中至多有一个元素,求实数
a
的取值范围.
11

a?
.
23
?
2
?
分析 :
A
中元素的个数代表方程
ax
2
?3x?4?0
的根的个 数,不过首先要讨论
a

否为0.

详解

(1)∵
A
中有两个元素,
∴方程
ax?3x?4?0
有两个不等的实数根,

?
2
?
a?0
9
,即
a??

16
?
??9?16a
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a??
9
,且
a?0
.
16
?
4
?
?
3
?
(2)当
a?0
时,
A?< br>?
?
?


a?0
时,若关于
x
的方程
ax?3x?4?0
有两个相等的实数根,
??9?16a
,即
2
9

16
若关于
x
的方程无实数根,则
??9?16a?0

9

a??

16
9
故所求的a的取值范围是
a??

a?0
.
16
a??

7.已知集合
A?x|2x?3x?1?0

B?x|mx?
?
m?2
?
x?1?0
,若
A?B ?A
,求
222
??
??
实数
m
的取值范围. < br>分析:与第7题类似,第7题是先讨论
a
是否为0,而本题的答案中先讨论的是
B
是否为
?
,在这种类型题中,两种方法兼可.

1
??
详解

A?
?
x|2x
2
?3x?1?0
?
?
?
?1,?
?

2
??

A?B?A
,∴
B?A

①当
B??


m?0
,不成立;

m?0
,则
??0

m??
②当
B?
?
? 1
?

?
?
?


m?0

x??
2

m?2

3
?
1
?
?
2
?
1
,成立;
2
2

m?2

3

m?0
, 则
??0

m??
经检验,
m?2
成立;
③当
B?
?
?1,?
?

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?
?
1
?
2
?


精品文档
?
m?2
?
1
?
??
???1?
?
??
?
?
m
2
?
2
?
,无解,不成立. 则
?
1
?
?
1
?
?
?1
?
?
?
?
??
2
?
m2
??
?
综 上:
m??
2

m?2

m?0

3

==================================== ==================================
题型四、韦恩图像

解决此类型题应注意:会用韦恩图表示集合关系与运算

1.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已
知 参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,
同时参 加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?
分析:解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.

解析

设单独加数学的同学为x人,参加数学化学的为y人,单独参加化学的为z人.
?
x?y?z ?26
?
x?12
??
依题意
?
y?4?z?13
,解得
?
y?8

?
x?y?z?21
?
z?1< br>??
∴同时参加数学化学的同学有8人,

答:同时参加数学和化学小组的有8人.

2.设全集
U
是实数集
R
,函数
y?
1
x?4
2
的定义域为
M< br>,
N?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
,则如
图所示阴影部分所表示的集合是( )

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