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高中数学 集合与常用逻辑用语 测试题(精选.)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 13:36
tags:高中数学集合

高中数学竞赛整除真题-汤彩仙高中数学必修四


集合与常用逻辑用语测试题
学校:___________姓名:_________ __班级:___________考号:___________


一、单选题
1.(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,若綈q 的一
个充分不必要条件是綈p,则实数a的取值范围是( )
A. [1,+∞) B. (-∞,1]
C. [-1,+∞) D. (-∞,-3]
2.若
x
2
?x?2?0

?2?x?a
的充分不必要条件,则
a
的取值范围是( )
A.
0?a?2
B.
a?2
C.
0?a?2
D.
a?2

3.已知集合
A?x|y?9?x
2


B?
?
x|x?a
?
,若
A?B?A
,则实数
a
的取值
范围是( )
A.
?
??,?3
B.
?
??,?3
?
C.
?
??,0
D.
3,??
?

4.已知
a?R
,则“
a?0
”是“
f
?
x
?
?x?ax
是偶函数”的( )
2
??
???
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.全集
U?
?
?2,?1,0,1,2
?
,集合
A?
?
?2,2
?
,集合
B?xx
2
?1?0
,则图中阴影
部分所表示的集 合为( )
??

A.
?
?1,0,1
?
B.
?
?1,0
?
C.
?
?1,1
?
D.
?
0
?

6.命题“
?x?R

x
3
?x
2
?1?0
”的否定是( )
A.
?x?R

x
3
?x
2
?1?0
B.
?x?R

x
3
?x
2
?1?0

C.
?x?R

x
3
?x
2
?1?0
D. 不存在
x?R

x
3
?x
2
?1?0

7.已知命题
p:

?

?

a

?
,则
a

?
;命题
q:

a

?

a

word.


?

?
?
?
?b
,则
a

b
,下列是真命题的是( )
A.
p?q
B.
p?
?
?q
?

C.
p?
?
?q
?
D.
?
?p
?
?q

8.已知集合
A?
?0,1,2,3
?
,B?
?
x|?1?x?3
?
,则< br>A?B
=( )
A.
?
1,2
?
B.
?
0,1,2
?

C.
?
0,1,2,3
?
D.
?

9.下列选项中,说法正确的是( )
A. 若
a

b
>0,则ln
a
<ln
b

B. 向量
a
=(1,
m
)与
b
=(
m,
2
m
-1)(
m
∈R)垂直的充要条件是
m
=1
C. 命题“?
n
∈N3>(
n
+2)·2
*,
n n
-1
”的否定是“?
n
∈N3≥(
n
+2)·2
*,
nn
-1

D. 已知函数
f
(
x
)在区间[
a

b
]上的图象是连续不断的,则命题“若
f
(
a

f
(
b
)<0,

f
(
x
)在区间(
a

b
)内至少有一个零点”的逆命题为假命 题
10.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,
意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设
A

B< br>为
两个同高的几何体,
p

A

B
的体积不 相等,
q

A

B
在等高处的截面积不恒相等,根
据祖暅原理可知,
p

q
的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


二、填空题
11.已知集合
A
=
?
x|
?
?
1
?
?2
x
?8,x?R
?

B={
x
|-1<
x
<
m
+1,
x
∈R },若
x

B
成立的一
2
?
个充分不必要的条件是
x

A
,则实数
m
的取值范围是________.
12.已知非空集合
A

B
满足下列四个条件:

A

B
={1,2,3,4,5,6,7};

A

B
=?;

A
中的元素个数不是
A
中的元素;

B
中的元素个数不是
B
中的元素.
(1)如果集合
A
中只有1个元素,那么
A
=________;
(2)有序集合对(
A

B
)的个数是________.
word.


13.下列说法中不正确的是________.(填序号)
①若
a
∈R,则“<1”是“
a
>1”的必要不充分条件;
②“
p

q
为真命题”是“
p

q
为真 命题”的必要不充分条件;
③若命题
p
:“?
x
∈R,sin
x
+cos
x
≤”,则
p
是真命题;
2
④命题“?
x
0
∈R,+2
x
0
+3<0”的否定是“?
x
∈R,
x
+2
x
+3>0”.
14.命题:“ ?
x
∈R,cos2
x
≤cos
x
”的否定是______ __.
15.给出下列四个命题:
①命题“?
x
∈R,cos
x
>0”的否定是“?
x
0
∈R,cos
x
0
≤0” ;
②若0<
a
<1,则函数
f
(
x
)=
x

a
-3只有一个零点;
③函数
y
=2
2sin
x
cos
x

?
?
2
2
x
?
??
?
,
?
上是单调递减函数;
44??
④若lg
a
+lg
b
=lg(
a

b
),则
a

b
的最小值为4.
其中真命题的序号是________.
16.已知集合
A
={
x
|
x
≤2},
B
={
x
|
x
≥< br>a
},且
A

B
=R,则实数
a
的取值范围 是________.
17.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________.
18.若
a,b
为非零实数,则下列四个命题都成立:

a?
1
2
?0

?
a?b
?
?a
2
?2ab?b
2
③若
a?b
,则
a??b

a
④若
a
2< br>?ab
,则
a?b
则对于任意非零复数
a,b
,上述命题仍然 成立的序号是
_____

19.设p ,q均为实数,则“ q<0 ”是“方程 x+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”
的________条件.
(选填:充要、必要不充分、充分不必要、既不充分也不必要)
20.
以下说法正确的是
________
(填序号).

2
①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角
形,但不能用余弦定理去解;< br>
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应
于任何三角形;

③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题;

④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.

word.



三、解答题
21.若集合P满足P∩{4,6}={4},P∩{ 8,10}={10},且P?{4,6,8,10},求集
合P.
22.已知集合A={x|x+3≤0},B={x|x-a<0}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求a的取值范围.
23.(2016·广东揭阳三中高一段考)已知全集为R,集合A={x|2≤x≤6},B={x|3x-7 ≥8-2x}.
(1)求A∪B;
(2)求?
R
(A∩B);
(3)若C={x|a-4≤x≤a+4},且A??
R
C,求a的取值范围.
24.已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.
(1)若A∩B=A,求a的取值范围;
(2)若全集U=R,且A??
U
B,求a的取值范围.
25.已知全集U =R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?
R
A)=R,B∩(?
R
A )={x|0word.



参考答案
1.A
【解析】将x
2
+2x-3>0化为(x-1) (x+3)>0,所以命题p:x>1或x<-3.因为非q的一个充
分不必要条件是非p,所以p的一 个充分不必要条件是q,所以(a,+∞)是
(-∞,-3)∪(1,+∞)的真子集,所以a≥1.故 选A.
2.D
【解析】求解不等式
x
2
?x?2?0
可得:
?1?x?2


?1?x?2

?2?x?a
的充分不必要条件,
据此可知:
a
的取值范围是
a?2
.
本题选择D选项.
3.A
【解析】由已知得
A??3,3
,由
A?B?A
, 则
A?B
,又
B?a,??
?
,所以
a??3
.< br>故选A.
4.C
【解析】因为
???
f
?
x?
?x
2
?ax
是偶函数,所以
f
?
?x?
?x
2
?ax?f
?
x
?
?x
2< br>?ax?2ax?0

所以
a?0
.所以“
a?0
” 是“
f
?
x
?
?x?ax
是偶函数”的充要条件.故选C.
2
5.D
【解析】集合
B?xx
2
?1?0
< br>?
?
x|x??1
?
,阴影部分所表示的集合为
C
u
?
A?B
?

??
A?B?
?
x|?1,?2
?

C
u
?
A?B
?
?
?
x|x?0
?

故答案为:D.
6.B
【解析】分析:根据全称命题与存在性命题关系,可得到命题的否定.
详解:根据命题的否定知:“
?x?R

x
3
?x
2
?1?0
”的否定为“
?x?R

x
3
?x
2
?1?0
”,
故选B.
点睛:本题考查了含有量词的否定,其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键.
7.D
word.



【解析】分析:先判断命题
p
与命题
q
的真假,再得到
?p

?q
的真假,结 合选项即可得
结果.
详解:若
?

?

a

?
,则
a

?

?
?
?
,故
p
假,
?p
真;

b
,正确,故
q
为真,
?q
为假,
a

?

a

?

?
?
?
?b
,则
a

?
?
?p
?
?q
为真命题,故选D.
点睛:本题 主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及的判定,非、且、或的定义,
属于中档题.空间直线 、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其是
画长方体)、现实实物判断法(如墙 角、桌面等)、排除筛选法等;另外,若原命题不太容易
判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆 否命题真假,原命题与逆否命题等价.
8.B
【解析】分析:直接根据交集的定义求解即可.
详解:因为
A?
?
0,1,2,3
?
,B?
?
x|?1?x?3
?

所以,根据交集的定义可得
A?B?
?
0,1,2
?
,故选B.
点睛:本题主要考查集合的交集的基本概念,意在考查基础知识掌握的熟练程度.
9.D
【解析】A中,因为函数y=ln x(x>0)是增函数,所以若a>b>0,则ln a>ln b,故A错;
B中,若a⊥b,则m+m(2m-1)=0,解得m=0,故B错;
C中, 命题“?n∈N
*,
3
n
>(n+2)·2
n
1
” 的否定是“?n
0
∈N
*
,3n
0
≤(n
0
+2)·2n
0
-1”,故C错;
D中,原命题的逆命题是“若f(x)在区间( a,b)内至少有一个零点,则f(a)·f(b)<0”,是假命
题,如函数f(x)=x
2
-2x-3在区间[-2,4]上的图象是连续不断的,且在区间(-2,4)内有两个
零点, 但f(-2)·f(4)>0,故D正确.
故答案为;D .
点睛:本题考查命题的否定, 充要条件及四种命题,解题的关键是掌握并理解命题否定的书
写方法规则,全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的
变化.在判断命题的充要条件时,可以先找命题的逆否命 题,判断逆否命题的充要条件即可.
10.B
【解析】的体积相等,在同高处的截面积相等 ,由于A、B体积相等,A、B在

同高处的截面积不恒相等,譬如一个为柱体另一个为椎体, 所以条件不充分;反之成立,条
word.



件是必要的,因此是
11.(2,+∞)
【解析】A=
?
x|
的必要不充分条件.选B.
?
?
1
?
?2
x
?8,x?R
?
={x|-12
?
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴AB,∴m+1>3,即m>2.
故答案:(2,+∞)
12. {6} 32
【解析】(1)若集合A中只有1个元素,则集合B中有6个元素,6?B,故A={6}. < br>(2)当集合A中有1个元素时,A={6},B={1,2,3,4,5,7},此时有序集合对(A, B)有1个;
当集合A中有2个元素时,5?B,2?A,此时有序集合对(A,B)有5个;
当集合A中有3个元素时,4?B,3?A,此时有序集合对(A,B)有10个;
当集合A中有4个元素时,3?B,4?A,此时有序集合对(A,B)有10个;
当集合A中有5个元素时,2?B,5?A,此时有序集合对(A,B)有5个;
当集合A中 有6个元素时,A={1,2,3,4,5,7},B={6},此时有序集合对(A,B)有1个.
综上可知,有序集合对(A,B)的个数是1+5+10+10+5+1=32.
答案:(1){6} (2)32
13.②④
【解析】由<1,得a<0或a>1 ,反之,由a>1,得<1,∴“<1”是“a>1”的必要不充
分条件,故①正确;
由p∧ q为真命题,知p,q均为真命题,所以p∨q为真命题,反之,由p∨q为真命题,得
p,q至少有一 个为真命题,所以p∧q不一定为真命题,所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真
命题”的充分不必要 条件,故②不正确;
∵sin x+cos x=,∴命题p为真命题,③正确;
命题“? x
0
∈R,+2x
0
+3<0”的否定是“?x∈R,x
2
+2x+3≥0”,故④不正确.
故答案:②④
点睛:本题考查命题的否定,充要条件及四 种命题,解题的关键是掌握并理解命题否定的书
写方法规则,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否 定是全称命题,书写时注意量词的
word.



变化.
14.?
x
∈R,cos2
x
>cos
x

【解析】特称命题的否定为全称命题,则命题:“?x∈R,cos2x≤cos
2
x”的否 定是
?x∈R,cos2x>cos
2
x.
15.①④
【解析】由全称命题的否定是特称命题知①为真命题.
在同一直角坐标系内作出y=3-x< br>2
,y=a
x
(0 个交点,则函数f(x)=x
2
+a
x
-3有两个零点,故②为假命题.
2

由y=2
2
sinxcosx=
2
sin2x,

x?
?
?
?
??
??
??
?
,
?
时,
2x?
?
?,
?

?
44??
22
?
?
??
?
,
?
上是增函数 ,因此③为假命题.
44
??
故y=2
2
sinxcosx在?
?
④中由lga+lgb=lg(a+b)知,
ab=a+b且a>0,b>0.
?
a?b
?

ab?
??

2
??
所以令a+b=t(t>0),
则4t≤t
2
,即t≥4,因此④为真命题.
故答案为:①④.
点睛:确定函数的零点,可以画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有
几个不同的零 点.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正
——各项均为正;二定—— 积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,
就会出现错误.
16.(-∞,2]
2
word.



【解析】要使A∪B=R,则
a?A
,即实数a满足a≤2. 实数a的取值范围是(-∞,2].
17.无解或至少两解
【解析】否命题是对原命题的条 件和结论都否定,“方程
ax?b
?
a?0
?
的解是唯一的”的结论的否定是“无解或至少两解”
故答案为无解或至少两解.
18.②④
【解析】①不一定成立,如
a?i,a?
1
?i?i?0
;③不一定成立,如
a?1?i,b?1?i,

a
所以对于任意非零复数
a,b
,上述命题仍然成立的序号是②④
19.充要
【解析】∵q<0,∴Δ=p
2
-4q>0.
∴“方程x
2
+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.
∵“方程x
2
+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立,∴q<0
所以“ q<0 ”是“方程 x+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
20.
②③④

【解析】①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已 知两边及一边的对角,既可以
用正弦定理,也可以用余弦定理求解.
②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形.
③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.
④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
故答案为:②③④
21.P={4,10}.
【解析】试题分析:由P∩{4,6}={4}可得4∈P,6? P,由P∩{8,10}={10}可得10∈P,
8?P,又P?{4,6,8,10},则P={4 ,10}.
试题解析:
由条件知4∈P,6?P,10∈P,8?P,∴P={4,10}.
22.(1) a>-3;(2) a≤-3.
【解析】试题分析:(1)分别化简集合A,B, A∪B=B即A?B,可求出a的取值范围;(2) A∩B
=B即B?A,比较端点值得出a的范围.
试题解析:
word.
2



(1)∵A∪B=B,∴A?B,∴a>-3.
(2)∵A∩B=B,∴B?A,∴a≤-3. 点睛:本题考查集合的交并补运算以及集合间的基本关系,考查了转化思想,属于基础题.当集
合是 无限集时,经常把已知集合表示在数轴上,然后根据交并补的定义求解,画数轴或者韦恩
图的方法,比较 形象直观,但解答时注意端点值是否取到的问题,也就是需要检验等号是否成
立.
23.(1)
A?B?{x|x?2}
;(2)
R
?
A? B
?
?{x|x
(3)
a?2或a10

3,或x6}

【解析】解:(1)

B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},

A∪B={x|x≥2}.
(2)

A∩B={x|3≤x≤6},

?
R
(A∩B)={x|x<3,或x>6}.
(3)由题意知C≠?,
则?
R
C={x|xa+4}.

A={x|2≤x≤6},A??
R
C,

a-4>6或a+4<2,解得a>10或a<-2.
故a的取值范围为a<-2或a>10.
24.(1)
a??4
;(2)
a??2.

【解析】试题分析:根据已知及集合间的关系在数轴上表示个 集合
A,B,
观的显示出元素间的数量关系,再将显示的结果用数学式表示出来即可.
试题解析:
解:(1)

B={x|x≥a},
又A∩B=A,
U
A,
U
B
,就能直

A?B.
如图所示.


a≤-4.
(2)?
U
B={x|x
word.




A??
U
B,

a>-2.
【点睛】
根据集合间的关系求参数,关键是将其转化为元素间的关系,对于以不等式形式给出 的集合
通常借助数轴进行求解会更直观,求解后一定要进行检验.
25.
B?
?
x|0?x?3
?

【解析】试题分 析:根据已知及集合间的关系在数轴上表示个集合
A,B,
观的显示出所示结果,再将结果用数 学式表示出来即可.
试题解析:
U
A,
U
B
,就能直

A={x|1≤x≤2},

?
R
A={x|x<1,或x>2}.
又B∪(?
R
A)=R,A∪(?
R
A)=R,可得A?B.
而B∩(?
R
A)={x|0
{x|0借助于数轴

可得
B?A?{x|0?x?1,或2?x?3}?
?
x|0?x?3
?
.

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word.

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