高中数学必修一集合经典题型总结材料(高分必备)

实用标准
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义
必修一第一章复习


知识点一 集合的概念
1．集合
一般地，把一些能够___ _____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集
合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．
2．元素
构成集合的_____ _______叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．
3．空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
知识点二 集合与元素的关系
1．属于
如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.
2．不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三 集合的特性及分类
1．集合元素的特性
________、________、________.
2．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合．
(2)无限集：含有________元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称
符号
知识点四 集合的表示方法
1．列举法
把集合的元素______ __________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

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非负整数集(自然数集)
N

N
*
或N
＋

整数集
Z

Q
实数集
R

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2．描述法
用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．
知识点五 集合与集合的关系
1．子集与真子集


定义
如果集合A中的________元素
子集
都是集合B中的元素，我们就
说这两个集合有包含关系，称
集合A为集合B的子集
如果集合A?B，但存在元素
真子集 ________，且________，我们
称集合A是集合B的真子集

2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集 合A，都有________．
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．
(3)如果A?B，B?C，则________．
(4)如果A
?
B，B
?
C，则________．
3．集合相等


定义
如果集合A是集合B的子集
(A?B)，且
集合相等
__________ ______，此时，
集合A与集合B中的元素是
一样的，因此，集合A与集
合B相等
4.集合相等的性质
如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.


A＝B
符号语言
图形图言
(Venn图)
________(或
________)

________(或
________)

符号语言
图形语言
(Venn图)

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知识点六 集合的运算
1．交集
自然语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B
的交集
2．并集
自然语言
由_________________
_________________组
成的集合，称为A与B
的并集

3.交集与并集的性质
交集的运算性质
A∩B＝________
A∩A＝________
A∩?＝________
A?B?A∩B＝________

4.全集
在研究集合与集合之间的 关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集
合为全集，通常 记作________．
5．补集
文字语言
符号语言
图形语言





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符号语言 图形语言
A∩B＝_________

符号语言 图形语言
A∪B＝_______________

并集的运算性质
A∪B＝________
A∪A＝________
A∪?＝________
A?B?A∪B＝________
对于一个集合A，由全集U中__________的所 有元素组成的集
合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
?
U
A＝________________

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典例精讲
题型一 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正 三角形；③方程x
2
－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。

题型二 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合
A?xx?m
2
?n
2
,m?Z,n?Z
.
求证：（1）3
?
A；
（2）偶数4k-2(k
?
Z)不属于A.








2、集合A是由形如
m?3 n
?
m?Z,n?Z
?
的数构成的，判断





??
1
是不是集合A中的元素.
2?3
题型三 求集合
?
3x＋y＝2
?
1．方程组
?
的解集是( )
?
2x－3y＝27
?
?
?
x＝3
A.
?
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
?
y＝－7
?


C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x， y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
?
?
2x＋y＝0，
能表示方程组
?
的解集的是( )
?
x－y＋3＝0
?

A．①②③④⑤⑥
C．②⑤
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B．②③④⑤
D．②⑤⑥

实用标准
1＋a
1
3.数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素.
3
1－a




xyz|xyz|
4． 已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为 。
|x||y||z|xyz

题型四 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
??
B．直角三角形
D．等腰三角形
b
??
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?
0，
a
，b
?
，则b－a＝________.
3 .已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_____ ___.
4.已知集合A＝{x|ax
2
－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．




5.已知集合A是由0，m，m
2
－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
C．0或3
B．3
D．0或2或3
6．(2016·浙江镇海检测)已知集合A是由0，m， m
2
－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝
________.

题型五 判断集合间的关系
1、设
M?
?
xx??
?
???
k1k1
?,k?Z
?
,
N??
xx??,k?Z
?
，则M与N的关系正确的是（ ）
2442
???
?
A. M=N B.
M?N

C.
M?N
D.以上都不对
?


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2．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．



1n1p1
3．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈ Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，
62326
P之间的关系.





题型六 求子集个数
1．已知集合A＝{x| ax
2
＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为__ ______．



题型七 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A＝{1,2，m
3
}，B＝{1，m}，B?A，则m＝________.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，则a的值不可能是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
3．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．








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题型八 集合间的基本运算
1．下面四个结论：①若a ∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，
则a∈( A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝( )
A．{x|x>－3}
C．{x|3B．{x|－3D．{x|x≤5}
3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4
4．(2016·全国卷Ⅲ理， 1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3]
C．[3，＋∞)
5．下列关系式中，正确的个数为( )
①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；
③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.
A．4
C．2
B．3
D．1
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
D．(0,2]∪[3，＋∞)
6．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x
2
＋mx＝0}，若?
U
A＝{1,2}，则实数m＝________.
7．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2(?U
A)∪B，A∩(?
U
B).



8． 设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(?
U
S)∩T＝{4}，(?
U
S)∩(?
U
T)＝{1,5}
则有( )
A．3∈S,3∈T
C．3∈?
U
S,3∈T


B．3∈S,3∈?
U
T
D．3∈?
U
S,3∈?
U
T
题型九 根据集合运算的结果求参数
1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x
2
}，且 A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

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2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．



3．设A＝{x|x
2
＋8x＝0}，B＝{x|x
2
＋2(a＋2)x＋a
2
－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值 范围.




4．已知集合A＝{x|x
2
＋ ax＋12b＝0}和B＝{x|x
2
－ax＋b＝0}，满足(?
U
A)∩ B＝{2}，A∩(?
U
B)＝{4}，U＝R，
求实数a，b的值.




5．U＝{1,2}，A＝{x|x
2
＋px＋q＝ 0}，?
U
A＝{1}，则p＋q＝________.
4．设全集U＝R，集合A ＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(?
U
A)≠ ?，则( )
A．k＜0
C．0＜k＜2
B．k＜2
D．－1＜k＜2
6．已知集合A＝{x|x
2
－ax＋a
2－19＝0}，B＝{x|x
2
－5x＋6＝0}，C＝{x|x
2
＋2 x－8＝0}，试探求a取何实数
时，(A∩B)
?
?与A∩C＝?同时成立.






题型十 交集、并集、补集思想的应用
1．若三个方程x
2
＋4ax－4a＋3＝0，x2
＋(a－1)x＋a
2
＝0，x
2
＋2ax－2a＝0至少有 一个方程有
实数解，试求实数a的取值范围．




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题型十一 集合中的新定义问题
1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．



2．集合P＝{ 3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为( )
A．7
C．32
B．12
D．64
3．当x∈A时，若 x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的
集合称为A的 “孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝( )
A．{0,1,3,4}
C．{1,3}
B．{1,4}
D．{0,3}
4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝?
U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( )
A．(X∪Y)∩?
U
Z
C．(?
U
X∪?
U
Y)∩Z
B．(X∩Y)∪?
U
Z
D．(?
U
X∩?
U
Y)∪Z
31
5．设数集M ＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b －a
43
叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是__ ______.
6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}.
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6









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知识点一 函数的有关概念



知识点二 两个函数相等的条件
1．定义域________．
2．________完全一致．
知识点三 区间的概念及表示
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a
名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
符号




数轴表示




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2.特殊区间的表示

定义
符号

知识点四 函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
知识点五 分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围， 有着不同的________，那么称这样的函数
为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域 是各段定义域的________，值域是各段值域的
________．
知识点六 映射的概念
设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使 对于集合A中的________________，
在集合B中都有________确定的元素y与 之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
知识点七 函数的单调性
1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x
1
，x
2
，当x
1
2
时， 都有f(x
1
)2
)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数； 当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2)，
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f(x)在 区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，
区间D叫做f(x) 的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g (x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)
1
函数，则－f(x)为减(增)函数； 若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数．
f?x?
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值 最小值
R
(－∞，＋∞)
{x|x≥a}
a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有__________ (1)对于任意的x∈I，都有________
(2)存在x
0
∈I，使得______________
结论

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念
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(2)存在x
0
∈I，使得________
M是函数y＝f(x)的最小值 M是函数y＝f(x)的最大值

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偶函数 奇函数
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
函数f(x)是奇函数 结论

2.性质
函数f(x)是偶函数
(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义 域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函
数的 和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．

例1 (2016年10月学考)函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( )
A．{x|x>－3}
C．{x|x>3}
B．{x|x>0}
D．{x|x≥3}
例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)图象的是( )


1
?
?
log
3
x，x>1，
例3 已知函数f( x)＝
?
则f(f(3))＝________，f(x)的单调递减区间是________ ．
2
?
?
－x－2x＋4，x≤1，
x＋a＋|x－a|
例4 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝，g(x)＝ax＋1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图 象有两个
2
不同的交点，则a的取值范围是________．
x
?
?
a?x<0?，
例5 已知函数f(x)＝
?
满足对任意的x
1
2
都有f(x
1
)>f(x
2
)，求a的取值范围．
?
?a－3?x＋4a?x≥0?
?



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11
例6 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝－.
x－1x－3
(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数．










11
例7 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝ax＋＋，a∈R.
x＋1x－1
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减．










1
例8 (2016年10月学考)设函数f(x)＝的定义域为D，其中a<1.
?|x－1|－a?
2
(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；
(2)若对于任意 的x∈0,2]∩D，均有f(x)≥kx
2
成立，求实数k的取值范围．

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一、选择题
1．函数f(x)＝1－2
x
＋
1
x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝－2x
3
与y＝x－2x
B．y＝(x)
2
与y＝|x|
C．y＝x＋1·x－1与y＝?x＋1??x－1?
D．f(x)＝x
2
－2x－1与g(t)＝t
2
－2t－1 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是(


4．已知f(x)是一次函数，且ff(x)]＝x＋2，则f(x)等于( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是( )
A．f：x→y＝
1
2
x B．f：x→y＝
1
3
x
C．f：x→y＝
1
4
x D．f：x→y＝
1
6
x
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
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)

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A．4B．3C．2D．1
7．若函数y＝ax＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．2B．－2C．2或－2D．0
8．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(4)＝f(1 )＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x·f(x)<0
的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(－1,0)
C．(－4，－1)∪(1,4)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
二、填空题
?
1－
2
x，x≥0，
9．已知函数f(x) ＝
?
1
?
x
，x<0，
1

若f(a)＝a，则实数a＝________.
10．设f(x)＝ax
2
＋bx＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为________．
11． 若关于x的不等式x
2
－4x－a≥0在1,3]上恒成立，则实数a的取值范围为_____ ___．
三、解答题
1＋ax
2
12．已知函数f(x)＝的图象经过点 (1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数．
x＋b
(1)求函数中a、b的值；
(2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．









13．已知二次函 数f(x)＝ax
2
－2ax＋2＋b在区间2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若b>1，g(x)＝f(x)＋mx在2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．



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实用标准

答案精析
知识条目排查
知识点一
1．确定的不同的 全体
2．每个对象
知识点二
1．属于 ∈
2．不属于 ?
知识点三
1．确定性 互异性 无序性
2．(1)有限个 (2)无限个
3．正整数集 有理数集
知识点四
1．一一列举出来
2．共同特征
知识点五
1．任意一个 A?B B?A x∈B x?A
AB BA
2．(1)任何集合 ??A (2)A?A
(3)A?C (4)AC
3．集合B是集合A的子集(B?A)
4．如果A＝B, 则A?B，且B?A
知识点六
1．属于集合A且属于集合B的所有元素 {x|x∈A，且x∈B}
2．所有属于集合A或属于集合B的元素 {x|x∈A，或x∈B}
3．B∩A B∪A A A ? A A B
4．所有元素 U
5．不属于集合A ?
U
A {x|x∈U，且x?A}
题型分类示例
例1 D
例2 A ∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]
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实用标准
例3 {4}
解析 ∵全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，∴?
U
A＝{4}．
例4 A ∵A∩B＝A，∴A?B.
∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，
∴m＝2，故选A.]
例5 B 由B中不等式变形得
(x－2)(x＋4)>0，
解得x<－4或x>2，
即B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
∵A＝－2,3]，
∴A∪B＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)．
故选B.]
例6 C 图中的阴影部分是M∩P的子集，
不属于集合S，属于集合S的补集，即是?
I
S的 子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩?
I
S，故选C.]
例7 A A＝{x|1≤3
x
≤81}
＝{x|0≤x≤4}，
B＝{x|log
2
(x
2
－x)>1}＝{x|x
2
－x>2}
＝{x|x<－1或x>2}，
∴A∩B＝{x|2考点专项训练
1．B ∵集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，
则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}．
∴集合A∩Z中元素的个数是5，
故选B.]
2．C 由x
2
－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.
又集合A＝{x|－1≤x≤1}，∴A?B，
故选C.]
3．D 4.C
5．A ?
U
B＝{2,4,5,7}，A∩(?
U
B)＝{3,4 ,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A.]
6．A 因为全集U＝{－1,1,3}，
集合A＝{a＋2，a
2
＋2}，且?
U
A＝{－1}，
所以1,3是集合A中的元素，
??
?
a＋2＝1，
?
a ＋2＝3，
所以
?
2
或
?
2

?
a＋2＝3
?
??
a＋2＝1，

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实用标准
?
?
a＋2＝1，
由
?
2
得a＝－1.
?
a＋2＝3，
?
?
?
a＋2＝3，
由
?
2
得a无解，
?
a＋2＝1，
?


所以a＝－1，故选A.]
7．D A＝{x|x
2
－8x＋15＝0}＝{3,5}，
∵B?A，∴B＝?或{3}或{5}，
若B＝?时，a＝0；
1
若B＝{3}，则a＝；
3
1
若B＝{5}，则a＝.
5
11
故a＝或或0，故选D.]
35
8．D ∵集合A＝{x|x
2
≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}，
B＝{m}，且A∪B＝A，∴B?A，
∴m≤－4或m≥4，
∴实数m的取值范围是
(－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.]
9．{1,2}
10．0 1
解析 A＝{1，a}，∵x(x－a)(x－b)＝0，
解得x＝0或a或b，
若A＝B，则a＝0，b＝1.
11．4
解析 全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}， ?
U
A＝{－2,4}，
∵B??
U
A，则集合B＝?，{－2}，{4}，{－2,4}，
因此满足条件的集合B的个数是4.
12．1，＋∞)
解析 由x
2
－x<0，解得0∴A＝(0,1)．
∵B＝(0，a)(a>0)，A?B，
∴a≥1.
13．3，＋∞)
解析 由|x－2|0)，
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实用标准
∴A＝(2－a,2＋a)(a>0)．
由x
2
－2x－3<0，解得－1B＝(－1,3)．
?
?
2－a≤－1，
∵B?A，则
?
解得a≥3.
?
2＋a≥3
?




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实用标准
答案精析
知识条目排查
知识点一
非空数集 唯一确定 从集合A到集合B {f(x)|x∈A}
知识点二
1．相同
2．对应关系
知识点三
1．a，b] (a，b) a，b) (a，b]
知识点五
对应关系 并集 并集
知识点六
非空的集合 任意一个元素x 唯一
知识点八
f(x)≤M f(x
0
)＝M f(x)≥M f(x
0
)＝M
题型分类示例
例1 C
例2 A 当x＝0时，有两个y值对应，故A不可能是函数y＝f(x)的图象．]
例3 5 －1，＋∞)
1
解析 f(3)＝log3＝－1，
3
∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5，
当x≤1时，f(x)＝－x
2
－2x＋4
＝－(x＋1)
2
＋5，
对称轴x＝－1，
f(x)在－1，1]上递减，当x>1时，f(x)递减，
∴f(x)在－1，＋∞)上递减．
例4 (0,1)
?
x，x>a，
?
解析 由题意得f(x)＝
?
在平面直角 坐标系内分别画出01时，函数f(x)，g(x)的
?
a，x≤a，
?

图象，
由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，
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实用标准
?
?
0有
?
解得0?
g?a?>a，
?

a的取值范围为0


例5 解 由题意知，f(x)为减函数，
∴00
≥(a－3)×0＋4a，
1
∴04
11
例6 (1)解 ∵f(x)＝－，
x－1x－3
11
∴g(x)＝f(x＋2)＝－，
x＋1x－1
11
∵g(－x)＝－
－x＋1－x－1
＝
11
－＝g(x)，
x＋1x－1
又∵g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，
∴y＝g(x)是偶函数．
(2)证明 设x
1
，x
2
∈2,3)且x
1
2
，
1111
f(x
1
)－f(x
2
)＝(－)－(－) x
1
－1x
1
－3x
2
－1x
2
－3
＝
2?x
1
－x
2
??x
1
＋x
2
－4?
，
?x
1
－1??x
1
－3??x2
－1??x
2
－3?
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实用标准 < br>∵x
1
，x
2
∈2,3)且x
1
2，
∴x
1
－x
2
<0，x
1
＋x
2
－4>0，
(x
1
－1)(x
1
－3)(x
2< br>－1)(x
2
－3)>0，
综上得f(x
1
)－f(x
2
)<0，
即f(x
1
)2
)，
∴函数f(x)在2,3)上是增函数．
例7 (1)解 因为f(－x)＝－ax＋
11
＝－(ax＋＋)
x－1x＋1
＝－f(x)，
又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明 任取x
1
，x
2
∈(0,1)，设x
1
2
，
则f(x
1
)－f(x
2
)＝a(x
1
－x
2
)＋
＝(x
1
－x
2
) a－
x
2
－x
1
x
2
－x
1
＋
?x
1
－1??x
2
－1??x
1
＋1??x2
＋1?
11
＋
－x＋1－x－1
11
－]
?x
1
－1??x
2
－1??x
1
＋1??x
2
＋1?
2?x
1
x
2
＋1?
＝(x
1－x
2
)a－
2
]．
?x
1
－1??x2
2
－1?
因为01
2
<1， 2
所以2(x
1
x
2
＋1)>2,0<(x
2
1
－1)(x
2
－1)<1，
2?x
1
x
2
＋1?
所以
2
>2>a，
?x
1
－1??x
2
2
－1?
2?x
1< br>x
2
＋1?
所以a－
2
<0.
?x
1－1??x
2
2
－1?
又因为x
1
－x
2<0，所以f(x
1
)>f(x
2
)，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减．
例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．
(2)当x＝0时，不等式f(x)≥kx
2
成立；
当x≠0时，f(x)≥kx
2
等价于
1
k≤.
[x?|x－1|－a?]
2
设h(x)＝x(|x－1|－a)
?
－x[x－?1－a?]，0＜x≤1，
?
＝
?

?
x[x－?1＋a?]，1＜x≤2.
?

①当a≤－1时，h(x)在(0,2]上单调递增，
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实用标准
所以0即0故k≤
1
.
4?1－a?2
1－a1－a
]上单调递增，在，1]上单调递减，在1，2]上单调递增，
22
②当－1?1－a?
2
1－a
因 为h(2)＝2－2a≥＝h()．
42
即0故k≤
1
.
4?1－a?
2
1－a
]上单调递增，
2
③当0≤a＜1 时，h(x)在(0，
在
1－a
，1－a)上单调递减，在(1－a,1]上单调递减 ，
2
在1,1＋a)上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增，
1－a
所以h(1)≤h(x)≤max{h(2)，h()}且h(x)≠0.
2
?1－a?
2
1－a
因为h(2)＝2－2a>＝h()，
42
所以－a≤h(x)≤2－2a且h(x)≠0.
2
当0≤a＜时，因为|2－2a|＞|－a|，
3
1
所以k≤；
4?1－a?
2
2
当≤a＜1时，因为|2－2a|≤|－a|，
3
1
所以k≤
2
，
a
21
综上所述，当a<时，k≤；
3
4?1－a?
2
21
当≤a<1时，k≤
2
.
3a
考点专项训练
1．A 要使函数有意义，
x
??
?
1－2≥0，
?
x≤0，
?
则即
?

?
x＋3>0，
?
??
x>－3.

故－3即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]
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实用标准
2．D 在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同；
在B选项中，前者的定义域x≥0，后者的x∈R，定义域不同；
在C选项中，前者定义域为x>1，后者为x>1或x<－1，定义域不同；
在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]
3．B
4．A f(x)是一次函数，设f(x)＝kx＋b，
ff(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，
即k
2
x＋kb＋b＝x＋2，k
2
＝1，
kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1.
则f(x)＝x＋1，故选A.]
5．A 6.B 7.C
8．D 求x·f(x)<0即等价于求函数在第二、四象限图象x的取值范围．

∵偶函数f(x)(x∈R)满足f(4)＝f(1)＝0，
∴f(4)＝f(－1)
＝f(－4)＝f(1)＝0，
且f(x)在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减与递增，
如图可知：即x∈(1,4)时，函数图象位于第四象限，
x∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限，
综上所述，x·f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)，
故选D.]
2
9．－1或
3
1
解析 当a≥0时，f(a)＝1－a＝a，
2
2
得a＝；
3
1
当a<0时，＝a，解得a＝－1或1(舍去)．
a
2
∴a＝－1或.
3
10．(－1,1)
解析 ∵f(x)为定义在1＋a,1]上的偶函数，
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实用标准
∴1＋a＝－1，∴a＝－2，
又f(－x)＝f(x)，即ax
2
－bx ＋2＝ax
2
＋bx＋2，
∴2bx＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－2x
2
＋2.
∴由f(x)>0得，－2x
2
＋2>0，
解得－10的解集为(－1,1)．
11．(－∞，－4]
解析 若关于x的不等式x
2
－4x－a≥0在1,3]上恒成立，
则a≤x
2
－4x在1,3]上恒成立，
令f(x)＝x
2
－4x＝(x－2)
2
－4，x∈1,3]，
对称轴x＝2，开口向上，
f(x)在1,2)递减，在(2,3]递增，
∴f(x)
min
＝f(2)＝－4，∴a≤－4.
x＋ax
3
12．解 (1)∵函数g(x)＝xf(x)＝是偶函数，
x＋b
则g(－x)＝g(x)．
－x－ax
3
x＋ax
3
∴＝恒成立，
－x＋bx＋b
即x－b＝x＋b恒成立，∴b＝0.
又函数f(x)的图象经过点(1,3)，
∴f(1)＝3，即1＋a＝3，
∴a＝2.
(2)由(1)知g(x)＝xf(x)＝2x
2
＋1，
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
设x
2
>x
1
>1，
2
则g(x
2)－g(x
1
)＝2x
2
2
＋1－2x
1
－1
＝2(x
2
－x
1
)(x
2
＋x
1
)．
∵x
2
>x
1
>1，∴(x
2
－x
1
)(x
2
＋x
1
)>0，
∴g(x
2
)>g(x
1
)，
∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
13．解 (1)f(x)＝a(x－1)
2
＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在2,3]上单调递增，
??
?
f?2?＝2，< br>?
2＋b＝2，
?
故即
?

?
f?3?＝5 ，
?
??
3a＋2＋b＝5，
?
?
a＝1，
所以< br>?

?
b＝0.
?
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实用标准
②当a<0时，f(x)在2,3]上单调递减，
??< br>?
f?2?＝5，
?
2＋b＝5，
故
?
即
?

??
f?3?＝2，3a＋2＋b＝2，
??
?
?
a＝－1，
所以
?

?
b＝3.
?


所以f(x)＝x
2
－2x＋2或f(x)＝－x
2
＋2x＋5.
(2)因为b>1，所以f(x)＝－x
2
＋2x＋5，
所以g(x)＝－x
2
＋(m＋2)x＋5在2,4]上为单调函数，
故
m＋2m＋2
≤2或≥4，
22
所以m≤2或m≥6.

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