高中数学 集合知识讲解

集合
一、章节结构图

二、复习指导
1．新课标知识点梳理
在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着 密切联系，它们是学习、掌握和使
用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．
集合知识点及其要求如下：
1．集合的含义与表示
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受
集合语言的意义和作用．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
- 1 - 1

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
常用逻辑用语知识点及其要求如下：
(1)命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．
(2)简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(3)全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．方法观点阐述
集合的初步知识重 点是有关集合的基本概念，难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念相互间的区别
与联系．
常用逻辑用语知识重点是四种命题的相互关系和充要条件，难点是对一些含一个量词命题的否定． 这一章概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强，要在理解要领基础上熟记集合符号，反复地通过对概念的分析，结合适当例题、习题加深理解基本概念，提高使用数学符号、数学语言、数学方法进行
推理判断的能力．避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表．
1．1 集合的概念及其运算(一)
(一)复习指导
本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、 补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、
相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表 示一些简单的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放
在一起考查．因此，复习中要把重点放在准 确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．
1．集合的基本概念
(1)某些 指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定
的、互 异的，又是无序的．
(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．
(3)集合可分为有限集与无限集．
(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．
(5)元素与集 合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“
?
”
．

2．集合与集合的关系
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 就说集合B包含集合A，记作A
?
B(读
作A包含于B)，这时也说集合A是集合B的 子集．也可以记作B
?
A(读作B包含A)
①子集有传递性，若A
?
B，B
?
C，则有A
?
C.
②空集是任何集合的子集，即
?
A
③真子集：若A
?
B， 且至少有一个元素b∈B，而b
?
A，称A是B的真子集．记作AB(或B
?
A)．
④若A
?
B且B
?
A，那么A=B
012n⑤含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：
C
n
?C
n< br>?C
n
???C
n
?2
n
个．
(二)解题方法指导
例1．选择题：
(1)不能形成集合的是( )
(A)大于2的全体实数
(B)不等式3x－5＜6的所有解
(C)方程y=3x+1所对应的直线上的所有点
(D)x轴附近的所有点
(2)设集合
A?{x|x?32},x?26
，则下列关系中正确的是( )
- 2 - 2

(A)xA
(3)设集合
M?{x|x?
(A)M=N
(C)MN
(B)x
?
A (C){x}∈A (D){x}A
k1k1
?,k?Z},N?{x|x??,k?Z}
，则( )
2442


(B)MN
(D)M∩N=
例2．已知集合
A?{x?N
8
?N}
，试求集合A的所有子集．
6?x



例3．已知A={x｜－2＜x＜5}，B={x｜m +1≤x≤2m－1}，B≠，且B
?
A，求m的取值范围．



例4*．已知集合A={x｜－1≤x≤a}，B={y｜y=3x－2，x∈A}，C={z｜z=x
2
，x∈A}，若C
?
B，求实数a
的取值范围．




1．2集合的概念及其运算(二)
(一)复习指导
(1)补集：如果A
?
S，那么A在S中的补集
s
A={x｜x∈S，且x ≠A}．
(2)交集：A∩B={x｜x∈A，且x ∈B}
(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：
①x∈A，且x ∈B；②x∈A，但x
?
B；③x∈B，但x
?
A；这三部分元素构成了A∪ B
(4)交、并、补有如下运算法则
全集通常用U表示．
U
(A∩B) =(
U
A)∪(
U
B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
U
(A∪B)=(
U
A)∩(
U
B)；A∪(B∩C)=(A∪B )∩(A∪C)
(5)集合间元素的个数：
card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)
集合关系运算 常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合
语言、集合思 想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．
(二)解题方法指导 例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那 么(
U
M)∩(
U
N)是( )
(A) (B){d} (C){a，c} (D){b，e}
(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d， e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( )
(A)M∩N (B)(
U
M)∩N (C)M∩(
U
N) (D)(
U
M)∩(
U
N)
例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
(A)(M∩P)∩S (B)(M∩P)∪S
(C)(M∩P)∩(
U
S) (D)(M∩P)∪(
U
S)

- 3 - 3

例3．(1)设A={x｜x2
－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；
(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值 集合为____．
例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x
?
B}．
(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( )
(A)M (B)N (C)｛1，4，5 } (D){6}
(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( )
(A)P (B)M∩P (C)M∪P (D)M
例5．全集S={1，3，x
3
+3x2
+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在， 求出x；
若不存在，请说明理由．







例 题 解 析
1．1 集合的概念及其运算(1)
例1分析：(1 )集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“
?
”以及x与{x}的 区别；(3)
可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．
解：(1)选D．“附近”不具有确定性．(2)选D．(3)选B．
11
33?M,?N
故排除(A)、(C)，又
?M,?N
，故排除(D)．
4 4
22
k1
k11
方法二：集合M的元素
x???(2k?1),k ?Z.
集合N的元素
x???

244
42
方法一：
1
(k?2),k?Z
．而2k＋1为奇数，k＋2为全体整数，因此MN．
4< br>小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转< br>化．
例2分析：本题是用{x｜x∈P}形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x∈N．
解：由题意可知(6－x)是8的正约数，所以(6－x)可以是1，2，4，8；
可以的x为2，4，5，即A={2，4，5}．
∴A的所有子集为，{2}，{4}，{5 }，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．
小结：一方面，用{x｜x∈P}形式 给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；
n
另一方面，含n(n ∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：
C
n
?C
n
?Cn
?
??C
n
?2
n
个．
012
例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．
?
m?1?2m?1
?
解：由题设知
?
m?1??2
，
?
2m?1?5
?
解之得，2≤m＜3．
小结：(1)要善 于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”
问 题避免犯错．(3)若去掉条件“B≠”，则不要漏掉
?
A的情况．
- 4 - 4

例4*分析：要首先明确集合B、C的意义，并将其化简，再利用C< br>?
B建立关于a的不等式．
解：∵A＝[－1，a]，
∴B={y｜y=3x－2，x∈A}，
B=[－5，3a－2]
?
[a
2
,1],?1?a?0
?
?C?{z|z?x
2
,x?A }.C?
?
[0,1],0?a?1

?
[0,a
2
],a?1
?
(1)当－1≤a＜0时，由C
?
B，得a
2
≤1≤3a－2无解；
(2)当0≤a＜1时，1≤3a－2，得a=1；
(3)当a≥1时，a
2
≤3a－2得1≤a≤2
综上所述，实数a的取值范围是[1，2]．
小结：准确理解集合B和C的含义(分别表示函 数y=3x－2，y=x
2
的值域，其中定义域为A)是解本题的关键．分
类讨论二次 函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．
1．2 集合的概念及其运算(2)
例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．
解：(1)方法一：∵
U
M={b，c}，
U
N={a，c}
∴(
U
M)∩(
U
N)=，答案选A
方法二：(
U
M)∩(
U
N)=
U
(M∪N)=
∴答案选A
方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．
∴答案选A
(2)同理可得答案选B
小结：交、并、补有如下运算法则
U
(A∩B) =(
U
A)∪(
U
B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
U
(A∪B)=(
U
A)∩(
U
B)；A∪(B∩C)=(A∪B )∩(A∪C)
例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．
解： ∵阴影中任一元素x有x∈M，且x∈P，但x
?
S，∴x∈
U
S．
由交集、并集、补集的意义．
∴x∈(M∩P)∩(
U
S)答案选D．
小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．
例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，
a?0
?
?
?

B?
?
1
{}a ?0
?
?
?
a
∵A∪B=A得B
?
A
1
∴分B=和
B?{}
两种情况．
a
当B＝时，解得a=0；
1
1
当
B?{}
时，解得a的取值
{?1,}
< br>a
3
1
3
?a?0
?
?
1
(2)由 已知，
M?{a},N?
?

{}a?0
?
?
?< br>a
综上可知a的取值集合为
{0,?1,}?

∵M∩N=M
?
M
?
N
当N=时，解得a=0；M={0} 即M∩N≠M ∴a=0舍去
- 5 - 5

当
N?{}
时，解得
a?
1
a
1
?a??1

a
综上可知a的取值集合为{1，－1}．
小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A∩B)
?
A，(A∩ B)
?
B；(A∪B)
?
A，
(A∪B)
?
B；A ∩
U
A=，A∪
U
A=U；A∩B=A
?
A
?< br>B，A∪B=B
?
A
?
B等．
(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．
例4解：(1 )方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且x
?
M}={6}，∴选D
方法二：依已知画出图示

∴选D．
(2)方法一：M－P即为M中除去 M∩P的元素组成的集合，故M－(M－P)则为M中除去不为M∩P的元素
的集合，所以选B．
方法二：由图示可知M=(M∩P)∪(M－P)
选B．

方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．
小结：此题目的检测 学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能
力．事实证明，虽然 这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试
解题．
例5
*
解：假设这样的x存在，∵
S
A={0}，∴0∈S，且｜2x－1 ｜∈S．
易知x
3
＋3x
2
＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，
解之得，x=－1．
当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．
∴存在实数x=－1满足
S
A={0}．

- 6 - 6