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高中数学专题-集合的概念及其基本运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 13:47
tags:高中数学集合

上海高中数学知识点归纳-高中数学计算银行利息


高中数学专题-集合的概念及其基本运算
【考纲考点剖析】
考 点 考纲内容
1.了解集合、元素的含义及其关系。
2.理解全集、空集、子集的含 义,
1
.
集合间的
及集合之间的包含、相等关系。
基本关系
3.掌握集合的表示法 (列举法、描
述法、Venn 图)。


1.会求简单集合的并集、交集。
2
.
集合的基
2.理解补集的含义,且会求补集。
本运算

关系;
(3) 简单不等式的
解法.
【知识清单】
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)集合与 元素的关系:若
a
属于集合
A
,记作
a?A
;若
b
不属于集合
A
,记作
b?A


(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集及其符号表示
自然数
数集
集 集
N
*

符号 N
N


2.集合间的基本关系
(1)子集:对于两个集合A与B, 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合
Z Q R
正整数
整数集

有理数
实数集
载体考查集合之间的
(2) 以其他知识为
很少涉及;
3.题型:选择题
4.备考重点:
(1) 集合的交并补
的混合运算;
2.集合间的基本关系
5年统计 分析预测
1.集合交、并、补的
运算是考查的热点;
- 1 -


A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集。记为
A?B

B?A

(2)真子集:对于两个集合A与B,如果
A?B
,且集合B中至 少有一个元素不属于集合A,则
称集合A是集合B的真子集。记为
A
?
?B

(3)空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
(4) 若一个集合含有n个元素,则子集个数为
2
n
个,真子集个数为
2
n
?1

3.集合的运算
(1)三种基本运算的概念及表示
名称 交集 并集 补集
A∩B={x|xA∪B={x|x
数学 C
U
A={x|x∈
∈A,且x∈∈A,或x∈
语言 U,且x
?
A}
B} B}
图形
语言
(2)三种运算的常见性质


AIA ? A

AI?? ?

AIB ? BIA

AUA ? A

AU?? A

AUB ? BUA

C
U
(C
U
A)?A

C
U
U??

C
U
??U

AIB?A?A?B
,
AUB?A?B?A
,
C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
,
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B

【重点难点突破】
考点1 集合的概念
【1-1】【全国卷II理】已知集合
个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
,则中元素的
- 2 -



【1-2】若集合
A?xx?1
,则( )
A.
?3?A
B.
?2?A
C.
?1?A
D.
0?A

【答案】D
【解析】
QA?xx?1

??
??
?
集合
A
就是由全体大于
?1
的数构成的集合,显然
0??1
,故
0?A

故选
D

【领悟技法】
与集合元素有关问题的思路:
(1)确定集合的元素是什么,即确定这个集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的 个数,但要注意检验集合是否满足元素的互
异性.
【触类旁通】
【变式一】【浙江 嘉兴一中模拟】若集合
A?
?
1,2,3
?

B?

B
中的元素个数为( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
x,y?A
的数对共9对 ,其中
?
2,3
?
,
?
3,2
?
,
?
3,3
?
满足
x?y?4?0
,所以集合
B
中 的元
?
?
x,y
?
x?y?40,x,y?A
?
, 则集
- 3 -


素个数共3个.
【变式二】设
关系是( )
A.
C.
【答案】B
【解析】
,即
a
=3,
b
=
π


x

M

y
故选:B.
考点2 集合间的基本关系
【2-1】【浙江省杭州市第二中学5月仿真】若集合
A?x|x ?

A?B
,则
m
的值为( )
A. 2 B. -2 C. -1或2 D. 2或
2

【答案】A
【解析】
A?
?
2
?
,由
A?B
可知,
m?2
,故选A。
【2-2】【浙江省教育绿色评价联盟5月适应性】已知集合
,若
A. B. C.
【答案】B
D.
,则( )

,即,
B.
D.


,,集合,那么与集合的
M

?
x
2
?2,x?R

B?
?
1,m
?

?
【领悟技法】
1. 判断两集合的关系常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列
- 4 -


举法表示各集合,从元素中寻找关系.
2.已知两集合间的关系求参数时 ,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为
参数满足的关系,解决这类问题常常运用数 轴、Venn图帮助分析.
【触类旁通】
【变式1】设集合
P={m|-1?m? 0}

Q={m|mx+4mx-4?0
对任意实数x恒成立,且
2
m?R}
,则下列关系中成立的是( )
?
A.
P
?
?
Q
B.
Q
?
P
C.
P=Q
D.
PIQ=?

【答案】A
【解析】
P={m|-1?m?0}

Q:
?
?
m?0,
?
??16m?16m?0,
2

m=0



{m|-1?m?0}
.∴
P
?
1?m?0
.∴
Q=
?
Q

【变式2】【辽宁锦州质检(一)】集合
M?{x|x?3,n?N}
,集合
N?{x|x?3n,n?N}

则集合
M
与集合
N
的关系 ( )
A.
M?N
B.
N?M
C.
M?N?
?
D.
M?N

N?M

【答案】D
【解析】因为
1?M,1?N;6?N,6?M
,所以
M?N

N?M
,选D.
考点3 集合的基本运算 【3-1】【浙江卷】已知全集
U
={1,2,3,4,5},
A
={1 ,3},则
A. B. {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】分析:根据补集的定义可得结果.
详解:因为全集
故选C.
【3-2】【浙江卷】已知
P?{x|?1?x? 1}

Q?{0?x?2}
,则
P?Q?

,,所以根据补集的定义得,
( )
n
A

(?1,2)

【答案】
A


B

(0,1)

C

(?1,0)

D

(1,2)

【解析】利用数轴,取
P,Q
所 有元素,得
P?Q?
(?1,2)

- 5 -


【3-3】【新课标1】已知集合
A
=
?
x|x?2
?

B
=
?
x|3?2x?0
?
,则( )
A

A
I
B
=
?
x|x?
?
?
?
3
?
2
?
?
?
3
?2
?

B

A
I
B
??

D

A
U
B=
R
C

A
U
B
?
?
x|x?
?

【答案】
A


【解析】由
3?2x?0

x?
【领悟技法】
333,所以
A?B?{x|x?2}?{x|x?}?{x|x?}
,选
A

222
1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,一般情况下,有限集的运算用维恩图分 析,无限
集的运算用数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。
2. 涉及集合(交、并 、补)运算,不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集,
是任何非空集合的真子集。
3. 有些集合是可以化简的,如果先化简再研究 其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易
于解决.
【触类旁通】
【变式一】【天津卷理】设全集为R,集合
A.
【答案】B
B. C.

D.
,则



【变式2】【 浙江杭州二模】设
U?
?
?1,0,1,2
?
,集合
A?{ x|x?1,x?U}
,则
C
U
A?
( )
2
A.
?
0,1,2
?
B.
?
?1,1,2
?
C.
?
?1,0,2
?
D.
?
?1,0,1
?

【答案】B
2
【解析】由
x?1
得:
?1?x?1
,所以
A?
?
0
?
,因此
?,1,2
?
,故选择B.
U
A?
?
?1
【易错试题常警惕】
- 6 -


易错典例1:设集合
A={x||x-a|?1,x?R}

B={x|1?x?5,x?R}
,若
A
?
?
B
, 则
a

取值范围为________.
易错分析:忽视端点.
?
a?1?1
?
正确解析:由
|x-a|?1


, ∴
1?x-a?1
,∴
a-1?x?a+1
,由
A
?
B

?
a?1?5
?
2?a?4

又当
a=2
时,

?
x|1?x?3
?
满足
A
?

?
x|3?x?5
?
也满足
A
?
?
B

a=4
时,
A
?
B
,∴
2? a?4
.
温馨提示:利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时,要注意端点是实心还是空 心,在含有
参数时,要注意验证区间端点是否符合题意.
易错典例2:设集合
A?x |x
2
?a,B?
?
x|x?2
?
,若
AIB?A
,则实数
a
的取值范围是
_______.
易错分析:遗忘空集.
正确解析:由
A?B?A?
A?B
,所以当
A?
?
时,满足
A?B
,此时不等式
x
2
?a
无解,
所以
a?0
,当
A?
?

a?0
时,
A?x| ?a?x?
??
?
a,a?0
,由
A?B
可知
?< br>a?2?0?a?4
,综上可知实数
a
的取值范围是
a?4
.
温馨提示:在
A?B,AUB=B,AIB=A,AIB=?
中容易忽视集合
A?
?
这一情况,预防
出现错误的方法是要注意分类讨论.
【学科素养提升之思想方法篇】
化抽象为具体——数形结合思想
数形结合思想,其 实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维
相结合,使问题化难为易、化抽 象为具体.数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方
面:
(1)利用Venn图,直观地判断集合的包含或相等关系.
(2)利用Venn图,求解有限集合的交、并、补运算.
(3)借助数轴,分析无限集合的 包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参
变量的取值范围问题.
={x?R ||x+2|<3}
,集合
B={x?R|(x-m)(x-2)<0}
,且【典例】 已知集合
A
AIB=-,(1n)
,则
m
=________,n
=________.
- 7 -


【答案】 -1,1.
【解析】 由题意,知
A={x|-5<x<1}
.因为
AIB=-,(1n)

B={x?R|(x-m)(x-2)<0}
,结合数轴,如图.
所以
m=-,1n=1
.


- 8 -

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