高中数学讲义之集合专题

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集合

一、学习要求

1、理解集合，子集，并集，交集，补集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义；
2、掌握集合相关的术语和符号，并会运用它们正确表示一些简单的集合；
3、掌握集合的并、交、补运算.

知识网络结构图：
概念 绝对值不等式的解法
↑ ↑
集合
?
集合的应用
↓ ↓
运算 一元二次不等式或绝对值不等式的解法

二、知识要点
1. 集合元素的三个属性：
①确定性：每一个对象都能被确定是不 是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例
如，“个子高的同学”；“很小的数”都不能构成集 合。集合的确定性主要用于判定一个总体
是否能够形成集合。
②互异性：集合中的任意两个元 素都是不同的对象。例如，写成｛1,1,2｝等同于｛1,2｝。
集合的互异性使得集合中的元素没有 重复。当两个相同的对象在同一集合中出现时，它们只
能算作是这个集合中的一个元素。
③无 序性：集合中的元素可以任意排列，没有严格的次序要求。例如，集合｛a,b,c｝与集
合｛c,b, a｝表示同一集合。
2. 常见的几种集合：
①有限集：含有有限个元素的集合；
②无限集：含有无限个元素的集合；
③单点集：仅含有一个元素的集合；
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④空集：不含有任何元素的集合。
注：单点集又称单元素集，其元素个数为1；空集又称虚无集，其元素个数为0.单点集和空
集 都是有限集。
3. 集合的表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
列举法的表述形式有以下三种：
① 集合是有限集且元素个数较少。例如，由0,2,3,5组成的集合可表示为｛0,2,3,5｝
② 集合是有限集但元素个数较多。例如，由从50到100的所有整数组成的集合可表示为
｛50,51, 52,…，98,99,100｝
③ 集合是无限集而元素离散。例如，由所有的正偶数组成的集合可表示为｛2,4,6,8，…｝
（2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法 。
描述法的表述形式有以下两种：
① 数式形式：例如，由不等式
x?
3?
2
的所有解组成的集合可表示为
?
xx?3?2
?
； 由直
线
y?x?1
上所有点的坐标组成的集合可表示为
?
?
x,y
?
y?x?1
?
。
② 语言形式：例如，由所有直角三角形 组成的集合可表示为｛直角三角形｝；由所有小于6
的正整数组成的集合可表示为｛小于6的正整数｝。
4. 元素与集合之间的关系：
元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。 设A是一个集合，a是一个元素,若a是A的元素，则称a属于A，记作
a
?
A< br>;若a不是A
的元素，则称a不属于A，记作
a
?
A
。 注：对于任意给定的集合A及任意给定的元素a来说，a是否是A的元素必定是完全确定的。
也就是 说，
a
?
A
与
a
?
A
这两者之中必定有且 只有一个是成立的。
5. 集合与集合之间的关系：
集合与集合之间的关系有“包含”，“不包含”及“相等”三种。
（1）子集的定义： 设A,B是两个集合，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A包含于集合
B，或 称集合B包含集合A，记作
A?B
(
B?A
)，此时我们也称集合A是集合B 的子集。
也就是说，对于任意两个集合A,B，若
A?B
，则称集合A是集合B的子集 。若集合A不包
含于集合B，则记作
A
?
B
，此时集合A显然不会是 集合B的子集。
2

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（2）集合相等的定义：
设A,B是两个集合，若
A?B
，同时
B ?A
，则称集合A与集合B相等，记作
A = B。
注：这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。
（3）真子集的定义：
设A,B是两个集合，若
A?B
且
A?B
，则称集合A是集合B的真子集。
规定：空集
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6. 集合的基本运算：
集合有三种基本运算：并、交，补。
（1）并集的定义：
设A ,B是两个集合，我们把A中一切元素与B中一切元素所组成的集合称为A与B的并集或
并，记作
A?B
，即
A?B?
?
xx?A或x?B
?

（2）交集的定义：
设A,B是两个集合，我们把A与B中公共的元素所组成的集合称为A与 B的交集或交，记作
A?B
，即
A?B?
?
xx?A且x?B
?

（3）补集的定义：
设S是一个集合，A是S的一个子集（即
A?S
），则称所有属于S但不属于A的元素组成
的集合为S中集合A的补集（或余集），记作
C
S
A
，即
C
s
A?
?
xx?S但x? A
?

关于集合的并、交、补这三种运算，我们有以下基本规律：
定理：设A，B是两个集合，则以下三个条件等价：
①
A?B
;
②
A?B?B
;
③
A?B?A
.
注：定理1即是说：对于任意两个集合A，B，

A?B
?
A?B?B
；
A?B
?
A?B?A
;
A?B?B
?
A?B?A
.
7. 全集的定义：
若集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则我们可把这个集合看作一个全集，记
作U.

3

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8. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即
A?A
；
②空集
?
是任何集合的子集，即
??A
；
③空集
?
是任何非空集合的真子集；
④空集的补集是全集；
⑤若集合
A
=集合
B
，则C
B
A
=
?
， C
A
B
=
?
；
⑥若
A?B
，
B?C
，则
A?C
.
9. 集合元素的个数：
设集合A含有
n
个元素，则
①
A
的子集有2个.
②
A
的真子集有2 －1个.
③
A
的非空真子集有2－2个.
10. De Morgan（德摩根）公式：
①
C
U
(A
②
C
U
(A
B)?(C
U
A)
B)?(C
U
A)
n
n
n

(C
U
B)

(C
U
B)

③
C
U
??U

④
C
U
U??


三、例题精讲

例1、下列各组对象中不能形成集合的是（）
A. 正三角形的全体 B. 大于2的所有整数
C．所有的无理数 D. 高一数学书中的所有难题
例2、用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.
2
（1）方程
x?x?1?0
的实数解组成的集合
（2）方程
2x?3y?13
与
3x?2y?0
的公共解组成的集合
（3）
2
与
3
的正公倍数组成的集合
（4）平面上到两定点A,B的距离相等的点的集合
4

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例3、设
M?xx?
?
13
，
a?2
?
3
。则下列关系正确的是（）
A.
a?M
B.
?
a
?
?M
C.
a
?
M
D.
a
?
M

?
?
?
?
?N
?
的所有子集.
x?1< br>?
例4、写出集合
S?
?
x?Z
2
6
例5、 已知
A?
?
x?Rx?3x?2?0
?
，
B?
?< br>x?R(x?9)(x?3x?2)?0
?
。
22
求满足条件
A?P?B
的集合
P
.

四、课堂练习

1、设A=｛三角形｝，B=｛等腰三角形｝，C=｛等边三角形｝， D=｛直角三角形｝.则下列关系
正确的是（ ）
A．
A?D?D
B.
C
?
B
?
B
C.
C
?
B
?
C
D.
B?D?B

2、设A=｛1,3,
x
｝，B=｛
x
，1｝，且
A?B?
?
1,3,x
?
. 则这样不同的
x
有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2
3、设M=｛1,-3,0｝，N=｛
t?t?1
｝，若
M
?N
?
M
，则
t
=_______.
2
4、设
A?
?
xx??2
?
，
B?
?
xx?3< br>?
. 则
A?B?
_______.
5、设
A?
?
xx是平行四边形
?
，
B?
?
xx是矩形
?
.则
A?B?
_______，
A?B?
_______.
6、 设
A?
?
1,2,3
?
，
B?
?
x?Rx ?ax?1?0,a?R
，则当
A
2
?
（ ）
B?B
时，
a
的值是
A. 2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或2
7、 若集合
A?
?
xx?ax?1?0,a?R
?
，集合
B?< br>?
1,2
?
，且
A
2
B?B
，则实数
a
的取
值范围是_______.







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课后作业

1、集合
S?
?
a,b,c,d,e
?
中包含
?
a,b
?
的
S
的子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 8个
2、设全集
U=
?
1,2,3,4,5
?
，集 合
M?
?
1，4
?
，
N?
?
1，3，5< br>?
，则
N(C
U
M)?
（ ）
A.
?
1，
5
?
D.
?
4，3
?
B.
?
1，5
?
C.
?
3，
5
?

?
?
2x?2??1
?
，
B?
x?2
?
3、设
U
=< br>R
，集合
A?
?
x
?
xx?4x?5?0
， 则
C
R
(A
2
?

B)?
（ ）
A.
[?5,?4)
B.
(?5,?4)
C.
(?5,?4]
D.
[?5,?4]
2
[1,2)

4、已知
U
=
R
，集合
A?
?
yy?x?2x?3
?
，
B?
?
xy?log
2
(x?3)
?
，则
(C< br>U
A)
（ ）
A.
(?2,3)
B.
(2,??)
C.
[?3,2)
D.
(?3,2)

?
?
1?
?1
?
，
N?
?
B?
5、设集合
M?
?
x()
2< br>1?x
?
xx?1?2
，则
N
?
M?
（ ）
A.
(1,??)
B.
(1,3]
C.
[?1,1]
D.
[?1,3)

6、设
A?
?
a,a?1,?3?
，
B?
?
a?3,2a?1,a?1
?
，若
A
22
22
B?
?
?3
?
，则
a?
_______.
7、设集合
A?
?
(x,y)x,y为实数，且x?y ?1
?
，
B?
?
(x,y)x,y为实数，且y?x
?，
则
AB
的元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8、设 集合
A?
?
xx?9?0
?
，
B?
?
x2 x?N
?
，则
A
2
B
的元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6