高中数学-集合与集合的表示方法练习

高中数学-集合与集合的表示方法练习
1.1.1 集合的概念
1.1.2 集合的表示方法
5分钟训练
1.下列对象能构成集合的是( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员 ②所有的钝角三角形 ③2006年诺贝尔经济学奖得
主 ④大于等于0的整数 ⑤北京大学的所有聪明学生
A.①②④ B.②⑤
C.③④⑤ D.②③④
答案：D
解析：由集合中元素的确定性知,①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明学生”不 确定,
所以不能构成集合.
2.下列命题正确的是( )
2
A.1是集合N中最小的数 B.x-4x+4=0的解集为{2,2}
C.{0}不是空集 D.太湖中的鱼所组成的集合是无限集
答案：C
解析：A中N包含元素0;B不满足集合元素的互异性;D太湖中鱼是有限的而不是无穷多的.
3.给出下列5个关系:①
1
∈R,②
3
∈Q,③0∈{0},④0∈N, ⑤π∈Q,其中正确命题的个数
2
为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
提示：
3
∈Q,π∈Q不正确.
4.(1)用列举法表示集合{x∈R|( x-1)(x+1)=0}为______________;
2
6
∈N}为______________;
6?x
1
1
1
(3)用描述法表示集合{1,,,}为______________;
2< br>3
4
(2)用列举法表示集合{x∈N|
(4)用列举法表示集合{(x,y) |y=-x+6,x∈N,y∈N}为______________.
答案：(1){-1,1} (2){0,3,4,5} (3){x|x=
10分钟训练
1.已知集合A={x∈N|
?3
≤x≤
3
},则必有( )
A.-1∈A B.0∈A C.
3
∈A D.2∈A
答案：B
解析：依题意得A={0,1},所以0∈A.
2.下列各组对象：①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距
离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤
2
的近似值的全体.其中能构成集合的有
( )
1
2
1
*
,n≤4且n∈N} (4){(0,6),(1,5),(2,2)}
n

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：A
解析：集合是一组确定对象的全体，元素具有确定性.“接近于0的数”“比较小的正整数”
标 准不明确，所以①②不是集合，同样，2的近似值也不明确精确到什么程度，因此很难判
定一个数，比如 2是不是它的近似值，所以也不是一个集合，③④能构成集合.
3.已知集合S={a、b、c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案：D
解析：集合中的元素具有互异性，所以a、b、c三个数一定互不 相同，因此不可能是等腰三
角形的三边.
?
x?y?3,
?
4.方 程组
?
y?z?4,
的解集为①{2，1，3}；②（2，1，3）；③{（2，1， 3）}，其中正确
?
z?x?5
?
的表示方法是( )
A.①② B.①③ C.③ D.①②③
答案：C
解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首 先应为集合的形式，
其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组.
22
5.若方 程x-5x+6=0和方程x-x-2=0的所有解构成的集合为M,则M中元素的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
2
解析：方程x-5x+6=0的解为x
1
=2 或x
2
=3;
2
方程x-x-2=0的解为x
3
=2或x
4
=-1.
依据集合中元素的互异性,知M={-1,2,3}.
22
6.已知集合A={x| x-px+q=0}，B={y|y+（p-1）y+q-3=0}，且A={3}，求B.
2
解：由根与系数关系知p=3+3=6，q=3×3=9，而集合B是由一元二次方程y+（p-1）y+q- 3=0
2
的根构成的集合，即由方程y+5y+6=0的解为元素的集合,即B={-2，-3 }.
30分钟训练
1.已知集合M={x∈N|x=8-m,m∈N},则集合M中元素的个数为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案：C
2.小华在《高中同步测控优化训练》中遇到这样一道习题,无法确定答 案,请你帮他解决.题
目为:
下列结论中正确的个数是( )
①方程
x?2
+|y+2|=0的解集为{2,-2} ②集合{y|y=x
2
-1,x∈R}与{y|y=x-1,x∈R}的公
2
共元素所组成的集合为{0 ,1} ③实数集{1,a,a-a}中元素a所满足的条件为a≠0且a≠1
3
且a≠2 ④方程(x-1)(x+2)(x-5)=0的解集含有3个元素 ⑤0∈
?
⑥满足1+x>x的实数
的全体形成集合
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：①中方程的解集应为{x=2,y=-2};②中两个集合的公共元素所组成的集合为
2

{y|y≥-1};③中a-a≠1,即a≠
2
1?5
; ⑤中空集不含有任何元素.只有④⑥正确.
2
3.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy( x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1}, B={2,3},则集合A⊙B
的所有元素之和为( )
A.0 B.6 C.12 D.18
答案：D
解析：∵A={0,1},B={2,3},∴A⊙B={0,6,12},故所有元素之和为0+6+12= 18.
4.（2007山东考试说明卷,1）设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+ b|a∈P,b∈Q},
若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案：B
解析：当a=0,b=1,2,6时,a+b=1,2,6;
当a=2,b=1,2,6时,a+b=3,4,8;
当a=5,b=1,2,6时,a+b=6,7,11.
由集合中元素的互异性,知P+Q含8个元素.
5.“被9除余2的数”组成的集合可表示为____________.
答案：{x|x=9n+2,n∈Z}
6.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________.

答案：{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}
提示：阴影部分为一矩形区域,直接表示出横、纵坐标的范围即可.
2
7.已知集合 A={x｜ax+2x+1=0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素.
解：对a分类讨论：①a=0时，x=
?
1
；
2
②a≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1.此时x=-1.
222
8 .(探究题)下面三个集合：①{x|y=x+1};②{y|y=x+1};③{(x,y)|y=x+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义是什么?
解：(1)不是相同的集合.
2
(2)集合①是函数y=x+1的自变量x所允许取 到的值组成的集合,因为x可以取任意实数,所
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以{x|y=x+1}=R;集合②是函数 y=x+1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合,由二次函
22
数图象,知y≥1,所以 {y|y=x+1}={y|y≥1};集合③是函数y=x+1图象上的所有点的坐标组
成的集合.如 图所示：
3

9.设S是满足下列两个条件所构成的集合.
1
∈S.
1?a
1
（1）求证：若a∈S，则
1?
∈S；
a
①1
?
S；②若a∈S，则
（2）若2∈S，则S中必有两个其他数，试写出这两个 数.
答案：(1)证明：∵a∈S
?
1
∈S，
1?a
∴
1
1
1?
1?a
1
1?
1
1?a
∈S.
又
?
1?a1
?1?
，
1?a?1a
∴
1?
1
∈S.
a
1
∈S.
a
1
1
1
∈S，即-1∈S ；由-1∈S
?
∈S，即∈S.
1?(?1)
1?2
2
故a ∈S时，有
1?
（2）解：两次应用条件②，由2∈S
?
故当2∈S时，S中 必有-1,
1
.
2
10.(创新题)已知集合A中的元素由部分实数组成, 试求满足以下条件的所有有限集合A:
①集合A中的任两元素之和还是集合A中的元素;
②集合A中的任两元素之积还是集合A中的元素;
*
③集合A中的任一元素的n(n ∈N)次幂还是集合A中的元素.(直接写出答案即可,无需写推
理过程)
答案：A={0,1}或{0,-1,1}.
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