高中数学专题讲义-集合之间的关系

板块二.集合之间的关系
典例分析


题型一 子集与真子集


【例1】下列四个命题：①＝
?
｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两
个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集． 其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例2】用适当的符号填空
⑴
{1}
___
{x|x
2
?3x?2?0}

⑵
{1,2}
___
{x|x
2
?3x?2?0}

⑶
{x|x?2k,k?N}
___
{x|x?6
?
,< br>?
?N}

⑷
?
___
{x?R|x
2
?2?0}


【例3】用适当的符号填空：
⑴
?___{0}

⑵
2
___
{(1,2)}

⑶
0
___
{x|x
2
?2x?5?0}

⑷
⑸
⑹
⑺

{3,5}
____
{x|x
2
?8x?15?0}

{3,5}
___
N

{x|x?2n?1,n?Z}___{x|x?4k?1,k?Z}

{(2,3)}___{(3,2)}

【例4】若集合
X?{x|x??1}
，下列关系式中成立的为（ ）
A．
0?X
B．
?
0
?
?X
C．
??X
D．
?
0
?
?X


【例5】用适当的符号填空
⑴
3______
?
x|x≤2
?
,
?
1,2
?
____
?
?
x,y< br>?
|y?x?1
?

⑵
2?5_______x|x?2?3
，
?
1
?
⑶
?
x|?x,x?R
?
_______
?
x|x
3
?x?0
?

?
x
?
??

【例6】下列说法中，正确的是（ ）
A．任何一个集合必有两个子集；
B．若
AIB??,
则
A,B
中至少有一个为
?

C．任何集合必有一个真子集；
D．若
S
为全集，且
AIB?S,
则
A?B?S


【例7】已知集合
A?{a,a?d,a?2d},B?{a,aq,aq
2
}
，其中
a?0
，且
A?B
，则
q
等于
___．

【例8】设
A?{x|?1?x?3},B?{x|x?a}
，若
A


B
，则
a
的取值范围是______
【例9】已知A?{x?2?x?5}
，
B?{xm?1?x?2m?1}
，
B?A< br>，求
m
的取值范围．


n1
【例10】设集合< br>A?{x|x
?,n?Z}
,B?{x|
x?n?,n?Z}
，则下列 图形能表示A与B
22
关系的是（ ）.

A
B

B
A
A
B
A
B

A． B． C． D．

【 例11】若集合
M?{x|x
2
?x?2?0}
，
T?{x|mx? 1?0}
，且
M?T
．求实数
m
的取值
范围．



【例12】
若集合
M?
?
x|x
2< br>?x?6?0
?
,N?
?
x|ax?1?0
?
，且< br>N?M
，求实数
a
的值.


【例13】已知集合 A＝{x|x
2
－2x－8≤0，x∈R}，B＝{x|x
2
－(2m－3) x＋m
2
－3m≤0，x∈
R，m∈R }，全集为R，若A??
R
B，则实数m的取值范围是


【例14】已知集合A＝
xx
2
?ax?a?0,x? R,a?R
，Z＝
?
整数
?
，全集为R，若
??
A ?Z?R?
?
0
?
，则实数a的取值范围是 ．

【例15】已知
a,b
均为实数，设数集
A?
?
xa?x?a?
?
,B?
?xb?
?
?
4?
5
?
?
?
1?
且A、
?x?b
?
，
3
?
B都是集合
x0?x? 1
的子集.如果把
n?m
叫做集合
xm?x?n
的“长度”，
那么集合
A?B
的“长度”的最小值是 .




??
??
【例16】已知集合A={a,a+b,a+2b}， B={a,ax,ax
2
}. 若A=B，求实数x的值.






题型二 子集的列举与个数


【例17】集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

【例18】已知集合
A?{x|x?sin
为 ．
n
?
,n?Z}
，则集合A的真子集的个数
3

【 例19】已知集合
A
＝｛
x
｜
ax
2
＋2
x
＋1＝0，
a
∈
R
，
x
∈
R
｝ ．
（1）若
A
中只有一个元素，求
a
的值，并求出这个元素；
（2）若
A
中至多只有一个元素，求
a
的取值范围．
< br>【例20】求满足条件
{1,2}?A{1,2,3,4,5}
的集合
A
的个数

【例21】
{a,b,c}
A
{a,b,c,d,e, f}
，求满足条件的
A
的个数．

【例22】集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是

【例23】同时满足{1}
A{
1,2,3,4,5
}，
且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
n
i?1
【例24】3、设有限集合
A?{x|x?a
i
,i?n,i?N
?
,n?N
+
}
，则
?
a
i
叫做集合A的和，记
作
S
A
.
若集合
P?{x|x?2n?1,n?N
?
,n?4}
，集合P的含有3个元素的全体子< br>

k
集分别为
P
1
、P
2
L、P
k
，则
?
S
p
= ．
i?1
i


【例25】求集合
{a,b}
的子集 的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出
{1,2,3,4,5,L,100}
的 子集和真子集的个数．

【例26】（湖南文数）15.若规定E=
a
1,
a
2
...a
10
的子集
a
k
1
a
k
2
...,a
k
n
为E的第k个子集，
其中k =
2
k
1
?2
k
2
?1
??
??
?L?2
k
n
?1
，则
（1）
a
1,
,a
3
是E的第 个子集；
（2）E的第211个子集是_______


??
【例27】 求集合
M?{1,2,3,L,100}
的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）．
【例28】（2006上海模拟）
设
S
为满足下列两个条件的 实数所构成的集合：①
1?S
，②若
a?S，
则
1
?S．求解下列问题：
1?a
⑴若数列
{2?(?1)
n
}
中的项都在
S
中，求
S
中所含元素个数最少的集合
S
?< br>；
⑵
S
中所含元素个数一定是
3n(n?N
?
)< br>个吗?若是，请给出证明；若不是，请说明
理由．



【 例29】集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1
?
A且
x+1
?
A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的 4
元子集.