高中数学集合知识点(1)

高中知识点之集合
一、集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于
?
”及“不属于
?
两 种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N
*
或N
+
；N内排除0的集.
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程 (x-2)(x-1)
2
=0的解集表示为
?
1,-2
?
, 而不是
?
1,1,-2
?

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关 系有“属于
?
”及“不属于
?
”两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
二、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“??
”括起来表示集合的方法叫
列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x
2< br>，3x+2，5y
3
-x，x
2
+y
2
}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷
集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集， 也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；
若集合中的元素较多或无限，但出现一定的 规律性，在不发生误解的情况下，也可
以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举 法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能
用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
?1,2,3,4,5,......
?

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先 写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画
一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征。
一般格式：
?
x?Ap(x)
?

如 ：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x
2
+1}，{x|直角三角形}，…；
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２ 、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，
而不能被表面 的字母形式所迷惑。
三、集合的分类
?
有限集:含有有限个元素的集合
集 合的分类
?
?
无限集:含有无限个元素的集合
?
空集:不含有任何元 素的集合?(empty?set)
?

四、集合的基本关系
⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个
集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
A?B(或B?A)
读作：A包含于B，或B包含A
表示：
A?B



⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B
中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若
A?B且B?A
，则
A?B
。
如：A={x|x=2m+1，m
?
Z}，B={x|x=2n-1，n< br>?
Z}，此时有A=B。
⒊真子集定义：若集合
A?B
，但存在元素
x?B,且x?A
，则称集合A是集合B的真子集。
记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）
4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：
?

5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有
?
?
A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A ，B，C，如果
A?B
，且
B?C
，那么
A?C
。
当集合A不包含于集合B时，记作A?B(或B?A)

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

B

A
五、集合间的基本运算
；

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B
的并集，即A与B的所有部分，
记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示：


2.
3.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B的
交集（intersection set），
记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：
（阴影部分即为A与B的交集）


常见的五种交集的情况：


B
B
A B
A
B A
A
A(B)


4.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
5.补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作：
C
U
A
，读作：A在U中的 补集，即
C
U
A?xx?U,且x?A

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
??
U
A

C
U
A

补充：集合中元素的个数

在研究 集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫
做有限集，用card (A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记
作card(A )=3.
结论:已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+ca rd(B)-card(A∩B).
一个集合当中有N个元素，那么该集合的子集有2
N
个
真子集有2
N
-1个
非空真子集有2
N
-2个