高中文科数学集合部分整理

高中文科数学集合部分整理
?
（）元素与集合的关系：属于（?） 和不属于（?）
?
1
?
?
（
?
集合与元素
?
2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性
?
?
（
?
3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集
?
?
4）集 合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（
?
??
?
?
子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。
??
?
?
nn
?
1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2 个，真子集有(2-1)个。
?
?
?
?
?
?
??
2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A
?
?
?
?
注
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关系
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?
?
3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.?
?
?
?
4、空集是任何集合的（真）子集。
?
??
?
?
?
真子集：若A?B且A?B
?
（即至少存在x
0
?B但x
0
?A），则A是B的真子集。
集合
?
?
?
?
?
?
?
集合相等：A?B且A?B ?A?B
?
?
?
?
?
集合与集合
?
?
定义：A? B?
?
xx?A且x?B
?
?
交集
?
?
?
?
?
性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A ?B?A?B?A
?
?
?
?
?
?
?
?定义：A?B?
?
xx?A或x?B
?
?
并集
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
性质：A ?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B
?
运 算
?
?
?
?
Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)
?
?

?
?
?
定义：CA?xx?U且x?A?A
??
U
?
?
?
?
?
?
补集
?
性质：
?< br>(C
U
A)?A??，(C
U
A)?A?U，C
U
( C
U
A)?A，C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)，
?
?
?
?
C(A?B)?(CA)? (CB)
?
?
UUU
?
?
?
?
?

（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
★（2）常用数集及其记法
N
自然数集，
N
?
或
N
?
正整数集，

Z
整数集，
Q
有理数集，
R
实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合< br>M
的关系是
a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集
(
?< br>).


1

（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
A中的任一元素都
属于B
(2)
??A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

（1）
??A
（A为非空子集）
?
性质 示意图
A?B

子集
（或
A(B)
BA
B?A)

A
?
B
?
或
A?B
，且B中至
少有一元素不属于
A
真子集 （或
B
?
A）
?
(2)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

???
BA

集合
相等
A?B

A中的任一元素都
属于B，B中的任
一元素都属于A
(1)A
?
B
(2)B
?
A
n
A(B)

nn
n
（7）已知集合
A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2?1
个真子 集，它有
2?1
个非空子集，它有
2?2
非空
真子集.




1、用适当的符号
(?,?,?,?,?)
填空：
?
___Q;
；
?
3.14
?
____Q
；
N___N
*
;
；
?
xx?2k?1,k?Z
?
____
?
xx?2k?1,k?z
?


2、已知数集
P?
?
1,


?
a
?
,b
?
，数集
Q?
?
0,a?b,b
2
?
，且
P?Q
，求
a,b
的值
?
b
?
3、请将集合
{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}
用列举法表示出来 ．



4、若
A?B?B
，则
A____B< br>；若
A?B?B
则
A_____B;A?B_____A?B

5、设集合
M?
?
xx?

?
?
k1k1
???
?,k?Z
?
,N?
?
xx??,k?Z
?
，则
M_______N

2442
???
6、已知集合< br>A
有
n
个元素，则集合
A
的子集个数有 个，真子集个数有 个

2

2
7、已知集合
A?xax?2x?1?0,x?R,a
为实数。
??
（1） 若
A
是空集，求
a
的取值范围；
（2） 若
A
是单元素集，求
a
的取值范围；
（3） 若
A
中至多只有一个元素，求
a
的取值范围；








2
6、已知集合
A?xx?3x?10?0

??
(1) 若
B?A,B?xm?1?x?2m?1
，求实数
m
的取值范围。
(2) 若
A?B,B?xm?6?x?2m?1
，求实数
m
的取值范围。
(3) 若
A?B,B?xm?6?x?2m?1
，求实数
m
的取值范围。







7、集合
A?xx?3?5 ,B?xx?a
，且
A?B
，则
a
的范围是
??
??
??
????


8、已知
R< br>为实数集，集合
A?{xx
2
?3x?2?0}
.若
B?C< br>R
A?R
，
B?C
R
A?{x0?x?1
或
2?x?3}
，
求集合
B
.
解：（1）
?A?{x1?x ?2}
，
?C
R
A?{xx?1
或
x?2}
.又< br>B?C
R
A?R
，
A?C
R
A?R
，
可得
A?B
.
而
B?C
R
A?{x0?x?1
或
2?x?3}
，
?
{x0?x?1
或
2?x?3}
?B.

借助数 轴可得
B?A?
{x0?x?1
或
2?x?3}
?{x0?x?3}
.

3

9、设集合
P?{xx2
?x?6?0}
，
Q?{x2a?x?a?3}
.
（1）若
P?Q?P
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
P?Q??
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
P?Q?{x0?x?3}
，求实数
a
的值.
解 ：（1）由题意知：
P?{x?2?x?3}
，
?
P?Q?P
，?Q?P
.
①当
Q??
时，得
2a?a?3
，解得
a?3
．
②当
Q??
时，得
?2?2a?a?3?3
，解得
?1?a ?0
．
综上，
a?(?1,0)?(3,??)
．
（2）①当< br>Q??
时，得
2a?a?3
，解得
a?3
；
?2a?a?3,
3
②当
Q??
时，得
?
，解得
a??5或?a?3
．
2
?
a?3??2或2a?3
3
综 上，
a?(??,?5]?[,??)
．
2
（3）由
P?Q?{x0?x?3}
，则
a?0
．


命题及逻辑联结词
（二）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
互
逆
原命题逆命题

若p则q若q则p
互
4、四种命题的形式：
否
为
逆
互
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
互
否否
逆
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
为
否
互
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
逆否命题
否命题
若┐q则┐p
若┐p则┐q
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
互
逆
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
4

5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题
?
逆否命题)
①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p
?
q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充分条件；
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的必要条件；
若集合
P?Q
，则
P
是
Q
的充要条件．



【例题分析】
1、写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等；
（2） 设
a,b,c,d?R
，若
a?b,c? d
，则
a?c?b?d
.

解：分析：先将原命题改为“若
p
则
q
”，在写出其它三种命题.

（1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.

（2）
原命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?b,c ?d
，则
a?c?b?d
；真命题；
逆命题：设
a,b,c,d? R
，若a?c?b?d，则
a?b,c?d
；假命题；
否命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?b
或
c?d
，则a?c?b?d；假命 题；
逆否命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?c?b?d
，则< br>a?b
或
c?d
；真命题.





5

2、写出由下列各组命题构成的“
p或
q
”，“
p
且
q
”，“非
p
”形式 的命题，并判断真假.
（1）
p
：2是4的约数，
q
：2是6的约数；
（2）< br>p
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号相同，
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的绝对值相等.

解：分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.

（1）
p
或
q
：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p
且
q
：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
非
p
：2不是4的约数，假命题.
（2）
p
或
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题 ；
p
且
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两 实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非
p
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号不同，真命题.



3、用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
?< br>x?2,
?
x?y?4,
（1）
?
是
?
的_ __________________条件；
y?2.
xy?4.
?
?< br>（2）
(x?4)(x?1)?0
是
x?4
?0
的_____ ______________条件；
x?1
（3）
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围
?
大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
?
x?2,
?
x?y?4,
?
x?y?4,
1
x?
y?10
解：（1）因为
?
结合不等式性质易得
?
，反之不 成立，若，，有
?
，
2
y?2.
xy??4.
?
? ?
?
x?2,
?
x?2,
?
x?y?4,
但
?
不成立，所以
?
是
?
的充分不必要条件.
?
y?2.
?
y?2.
?
xy?4.
（2）因为
(x?4)( x?1)?0
的解集为
[?1,4]
，
要不充分条件.
（3）原问 题等价其逆否形式，即判断“
x?1
且
y?2
是
x?y?3
的____条件”，故
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的充分 不必要条件.





6
x?4x?4< br>?0
的解集为
(?1,4]
，故
(x?4)(x?
?0
的必
1)?0
是
x?1x?1

【反馈演练】 < br>1．一般地若用
p
和
q
分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可 表示为若
q
则
p
，否命题可表
示为
若?p则? q
，逆否命题可表示为
若?q则?p
；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命 题
互为逆否命题．
2．命题“若
a?M
，则
b?M
”的逆 否命题是__________________.
3．若命题
m
的否命题
n
，命题
n
的逆命题
p
，则
p
是
m
的____逆否命题____.
4.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1 ）已知
p:x?2
，
q:x?2
，那么
p
是
q的_____充分不必要___条件．
（2）已知
p:
两直线平行，
q :
内错角相等，那么
p
是
q
的____充要_____条件． < br>（3）已知
p:
四边形的四条边相等，
q:
四边形是正方形，那么p
是
q
的___必要不充分__条件．
5.若
x?R
，则
x?1
的一个必要不充分条件是
x?0
．
6．已知条件
p:A?{x?Rx
2
?ax?1?0}
，条件
q:B?{x?Rx
2
?3x?2?0}
．若
?q
是
?p
的充分不必要
条件，求实数
a
的取值范围．


解：
q:B?{x? R1?x?2}
，若
?q
是
?p
的充分不必要条件，则
A? B
．
若
A??
，则
a
2
?4?0
，即< br>?2?a?2
；
?
a
2
?4?0,
5
?< br>2
??a??2
． 若
A??
，则
?
?a?a
2
?4
解得
?a?a?4
2
?x?,
?
?22< br>5
综上所述，
??a?2
．
2










7