高中数学集合总结题型分类完美解析

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
集合


【知识清单】
1.性质：确定性、互易性、无序性.
2.元素和集合的关系：属于“
?
”、不属于“
?
”.
3 .集合和集合的关系：子集（包含于“
?
”）、真子集（真包含于“
?
”）.
?
4.集合子集个数=
2
；真子集个数=
2?1
.
5.交集：
A?B?
?
x|x?A且x?B
?

并集：
A?B?
?
x|x?A或x?B
?

补集：
C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?

6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.
nn

题型一、集合概念


解决此类型题要注意以下两点：
①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；
②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.

【No.1 定义&性质】
1.下列命题中正确的个数是（ ）
①方程
x?2?y?2?0
的解集为
?
2,?2
?

2
②集合
y|y?x?1,x?R
与
?
y|y?x?1,x ?R
?
的公共元素所组成的集合是
?
0,1
?

? ?
③集合
?
x|x?1?0
?
与集合
?
x|x?a ,a?R
?
没有公共元素
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集 不是
x
的值所构
1 28

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成的集合，而是
x
和
y
的值的集合，也就是一个点.

答案
：A
?
x?2
?
x?2?0
详解
： 在①中方程
x?2?y?2?0
等价于
?
，即
?
。因此解集 应为
y??2
y?2?0
?
?
??
2,?2
??< br>，错误；
2
2
在②中，由于集合
y|y?x?1,x?R
的 元素是
y
，所以当
x?R
时，
y?x?1??1
.同
??
理，
?
y|y?x?1,x?R
?
中
y?R
，错误；
在③中，集合
?
x|x?1?0
?
即
x?1，而
?
x|x?a,a?R
?
，画出数轴便可知这两个集合可能
有公共的元素，错误.故选A.

2.下列命题中，
（1）如果集合
A< br>是集合
B
的真子集，则集合
B
中至少有一个元素；
（2） 如果集合
A
是集合
B
的子集，则集合
A
的元素少于集合B
的元素；
（3）如果集合
A
是集合
B
的子集，则集 合
A
的元素不多于集合
B
的元素；
（4）如果集合
A是集合
B
的子集，则集合
A
和
B
不可能相等．
错误的命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合
M
是集合
N< br>的子集，那
么
M
中的元素个数要小于或等于
N
中元素的个数； 如果集合
M
是集合
N
的真子
集，那么
M
中的元素个 数要小于
N
中元素的个数.

答案
：
C

详解
：（1）如果集合
A
是集合
B
的真子集，则集合
B< br>中至少有一个元素，故（1）正确；
（2）如果集合
A
是集合
B的子集，则集合
A
的元素少于或等于集合的
B
元素，故（2）不
正确；
（3）如果集合
A
是集合
B
的子集，则集合
A
的元素不多于集合
B
的元素，故（3）正确；
（4）如果集合
A
是集合
B
的子集，则集合
A
和
B
可能相等，故（ 4）不正确．故选
C
．

3.设
P
、
Q
为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，
Q
中含有1，2，6三个元素，
2 28

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定义集合
P?Q中的元素是
a?b
，其中
a?P
,
b?Q
，则
P?Q
中元素的个数是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
分析：因为
a?P
，
b?Q
，所以
P?Q
中的元素
a?b
是< br>P
中的元素和
Q
中元素两
两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集 合的互易性.

答案
：B
详解
：当
a?0
时，
b
依次取1,2,6，得
a?b
的值分别为1,2,6；
当
a?2
时，
b
依次取1,2,6，得
a?b
的值分别3,4,8；
当
a?5
时，
b
依次取1,2,6，得
a?b
的值 分别6,7,11；
由集合的互异性得
P?Q
中的元素为1,2,3,4,6,7, 8,11，共8个，故选B.

4.设数集
M
同时满足条件
①< br>M
中不含元素
?1,0,1
，②若
a?M
，则
则下列 结论正确的是 ( )
A．集合
M
中至多有2个元素；
B．集合
M
中至多有3个元素；
C．集合
M
中有且仅有4个元素；
D．集合
M
中有无穷多个元素.
1?a
?M
.
1?a
分析：已知
a?M
时，
1?a
?
M
.那么我 们可以根据条件多求出几个
M
集合的元
1?a
素，找出规律并且判断元素之间 是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.

答案
：
C
1?a1
1?
1?a
1
a
?
a?1
?M
，
?
M
，则
1?a
???M
，
详解
：由 题意，若
a?M
，则
1?a1
a?1
1?a
a
1?
1?
a
1?a
a?1
1?
a?1
?
2a< br>?a?M
，若
a?
1?a
，则
a
2
??1< br>，无解，同理可证明这四个元素中，则
a?1
2
1?a
1?
a ?1
任意两个元素不相等，故集合
M
中有且仅有4个元素．
1?

---------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------------------
3 28

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【No2. 表达方式】
5.下列集合表示空集的是（ ）
A.
?
x?R|x?5?5
?

B.
?
x?R|x?5?5
?

2
C.
x?R|x?0

??
2
D.
x?R|x?x?1?0

??
分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.

答案
：D
详解
：
x
2
?x?
1
?
0
，
???1?4?1?1??3?0

?
方程无实数解，故选D.

6.用描述法表示下列集合：
(1)
?
0,2,4,6,8
?
；
(2)
?
3,9,27,81,?
?
；
(3)
?
,
?
1357
?
,,,?
?
；
?
2468
?
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的
范围

详解
：(1)
?
x?N|0?x?10,且x是偶数
?
；
(2)
?
x|x?3n,n?N
?
?
；
4 28

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(3)
?
x |x?
?
?
2n?1
?
,n?N
?
?
；
2n
?
(4)
?
x|x?5n?2,n?Z
?
．

========================================= =============================

题型二、不含参数
⑴


⑴中的参数是指方程的非最高次项系数

解决此类型题应注意：
①区分
?
，
?
，
?
的区别；
?
②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；
③
A?B?A?A?B


A?B?A?B?A


A?B???从A??和B??两方面讨论
.

【No.1 判断元素集合与集合之间的关系】
1.给出下列各种关系
①0
?
?
0
?
；②0
?
?
0
?
；③
??
?
?
?
；④
a?
?
a
?
；⑤
??
?
0
?
；⑥
?
0
?
??
；⑦??
?
0
?
；
?
⑧
?
?
?< br>0
?

?
其中正确的是（ ）
A.②③④⑧ B.①②④⑤ C.②③④⑥ D.②③④⑦
分析：本题需要大家分清
?，
?
，
?
?
三个符号的意义和区别：
?
--“ 属于”，用
于表示元素和集合的关系；
?
，
?
?
--“包含 于和真包含于”，用于表示集合和集
合之间的关系.

答案
：A
5 28

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详解
：①错误，应为
0?
?
0
?
；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为
?
?
?
?
0
?
；

2.若
U
为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
（1）若< br>A?B??,则
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
?U

（2）若
A?B?U,则?
C
U
A
?
?
?
C
U
B?
??

（3）若
A?B??，则A?B??

A．
0
个 B．
1
个 C．
2
个 D．
3
个
分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.

答案
：D
详解
：（1）
?
C
U
A< br>?
?
?
C
U
B
?
?
C
U< br>?
A
?
B
?
?
C
U
??
U
；
（2）
?
C
U
A
?
?< br>?
C
U
B
?
?C
U
?
A?B
?
?C
U
U??
；
（3）证明：∵
A?< br>?
A?B
?
,即
A??
，而
??A
，∴A??
；
同理
B??
， ∴
A?B??
；

------------------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------

【No.2 子集、真子集】

3.从集合
U?
?
a,b, c,d
?
的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：
①
?
，
U
都要选出；
②对选出的任意两个子集
A
和
B
，必有
A?B
或
B?A
.
那么共有 种不同的选法.
分析：由①可以知道选出的子集中一定有
?
和
U
， 我们要求得只剩两个集合。
根据②（以
A?B
为例）可以从讨论
A
中 有1个或2个元素有几种选法来确定
B
的选法.注意
A
中不可能有3种元素， 因为这样
B
中会出现
U
和
A
中的元素，与
题意和性 质不符.

6 28

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答案
：36
详解
：由题意知，集合必有子集
?
和
U
，只需考虑另外两个集合
如果
A
中含有一个元素，有4种选法，相应的，
B
集合中有6中选法，共24种；
如果
A
中含有两个元素，有6种 选法，相应的，
B
集合中有2中选法，共12种；
即总共有36种选择。


4.已知集合
A?x|x?2x?3?0
，那么满足
B?A
的集合
B
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
?
2
?
分析：本题求的是
A
集合的子集个数

答案
：
D

详解
：根据题意，
x
2
?
2
x?
3
?
0
，则
x??1
或
3
，
则集合
A?
?
?1,3
?
，其中有
2
个元素，
则其子集有
2?4
个，
满足
B?A
的集合
B
有4个，
故选
D
．

5.若集合
A?B
，
A?C
，且
B?C?
?
0,2,4
?
．则满足条件的集合
A
的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 2
分析：集合
A?B
，
A?C
，说明
A
同时是 两个集合的子集.

答案
：
D

详解
：根据题意 ，集合
A?B
，
A?C
，且
B?C?
?
0,2,4
?
．即
A
为
?
0,2,4
?
的子集， < br>而
?
0,2,4
?
中有3个元素，共有
2?8
个子集 ；
3
即满足条件的
A
的个数为8；
故选
D
．

----------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------

7 28

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【No.3 集合间的运算】 < br>6．设全集
U?
??
x,y
?
|x,y?R
?
,集合
M?
?
?
x,y
?
|
那么
?C
U
M
?
?
?
C
U
N
?等于________________.
?
?
y?2
?
?1
?
，
N?
??
x,y
?
|y?x?4
?< br>,
x?2
?
分析：首先要注意本题要求的是点集，
M
集合的 含义是不含有
?
2,?2
?
的直线上的点集，
C
U
M
表示的就是
?
2,?2
?
；
C
U
N表示
y?x?4
.


答案
：
??
2,?2
??

详解
：
M:y?x?4
?
x?2
?
，
M
代表直线
y?x?4
上，但是
挖掉点
?
2,? 2
?
，
C
U
M
代表直线
y?x?4
外，但 是包含点
?
2,?2
?
；
N
代表直线
y?x?4
外，
C
U
N
代表直线
y?x?4
上，
∴
?
C
U
M
?
?
?
C
U
N
?
?
??
2,?2
??
.

2
2
7.已知
M?x|x?px?6?0
，
N?x|x?6x?q?0
，则
M?N?
?
2
?
,则
p?q?
??
? ?
（ ）
A.21 B.8 C.6 D.7
分析：从
M?N?
?
2
?
入手得，
2既是
M
的元素又是
N
的元素，那么代入便可以
求出
p< br>和
q
的值.

答案
：A
详解
：由已知得，
2?M,2?N

22
所以
2< br>是方程
x?px?6?0
和
x?6x?q?0
的根，故将
2< br>代入得，
p?5
；
q?0,q?16
.
所以
p?q?21
.

8 28

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1,3,5,7,9
?
，8. 已知方程
x?bx?c?0
有两个不 相等的实根
x
1
，
x
2
.
设
C?
?
x
1
,x
2
?
，
A?
?
< br>2
B?
?
1,4,7,10
?
，若
A?C??,C? B?C
，试求
b
，
c
的值。
分析
：
对< br>A?C??,C?B?C
的含义的理解是本题的关键，
C?B?C?C?B
；< br>

详解
：由
C?B?C?C?B
， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。
又因为
A?C??
，则A中的1 ，3，5，7，9都不在C中，从而只能是
C?
?
4,10
?
因此，
b??
?
x
1
?x
2
?
??1 4
，
c?x
1
x
2
?40
.

================================================== ====================
题型三、集合含参


解决此类型题应注意：
①遇到子集需从
?
和不是
?
两方面讨论，如
A?B?A??或B??
.
②会解各种类型的不等式.
③如果方程中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为0进行讨论.

【No.1 集合vs.集合】
2
1.设
U?
?
2,4, 1?a
?
，
A?2,a?a?2
，若
C
U
A??
?1
?
,则
a
的值为（ ）
??
A.1 B.2 C.3 D.4

分析：因为
C
U
A?
?
?1
?< br>，所以
U
中必含元素
?1
，
A
中必不含元素
?1
.

答案
：B
详解
：因为
C
U< br>A?
?
?1
?
，所以
?1?1?a
，解得
a ?2
.
a?2
时，
a
2
?a?2?4
，满足C
U
A?
?
?1
?
． 所以实数
a
的值为2．
4?a
2
?a?2
?
a
2
?a?2?0
?
a?2
或
a??1

a?2
代入
C
S
A?
?
?1
?
成立
同理
a??1
代入无解，故舍去.综上
a?2

2.已知集合
A?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
，集合
B?x|x?ax?b?0,a,b?R

2
??
（1）若
A?B
，求
a,b
的值；
9 28

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（2）若b?3
，且
A?B?A
，求
a
的取值范围．
分析：（ 1）中
A?B
得出
A
和
B
中不等式的解相同，那我们算出集 合
A
的解集，
再由韦达定理求出
a,b
即可；
（2）由
A?B?A
可得
B?A
． 题目中只要看到类似
B ?A
这种子集问题，必然
要先讨论B是否为
?
，因为
?
是任 何集合的子集，所以
?
也是一种情况必须要
讨论.

详解
：（1）由
log
2
?
x?
1
?
?
1得
0?x?1?2
，所以集合
A?
?
x|1?x?3
?
．
由
A?B
知，
x?ax ?b?0
的解集为
?
x|1?x?3
?
，所以方程
x?ax ?b?0
的两根分别
22
为1和3．
由韦达定理可知，
?
?
a?1?3
，解得
a?4
，
b?3
，即为所求．
?
b?1?3
（3）由
A?B?A
知，
B?A
．
2
①当
B??
时，有
??a?12?0
，解得；
? 23?a?23

?
??a
2
?12?0
?a
?
f
?
1
?
?4?a?0
2
②当
B??
时，设函数
f
?
x
?
?x?ax?3
，其图象的对称轴为
x?
，
?
f
?
3
?
?12?3a?0

2
?
a
?
1??3
2
?
解得
23?a?4

综上①②可知，实数
a
的取值范围是
[?23,4]

< br>----------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------

【No.2 集合vs.不等式】
3.设集合
A?x|x?a?1,x?R
，B=
x|x?b?2,x?R
. 若
A?B
，则实数
a
，
b
必满
足（ ）
????
分析：做这种题首先要先会解绝对值不等式，然后再比较端点即可.
10 28

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答案
：D
详解
：
A?
?
x|?1?a?x?1?a
?
B?
?
x|x?2?b或x??2?b
?
因为
A?B
， 且
A??
则有

1?a??2?b
或
?1?a?2?b

即
b?a?3
或
b?a??3

即
b?a?3
，选D.

4.集合
A?
?
x|?2?x?5
?
，
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
，
(1)若
B?A
,求实数
m
的取值范围;
(2)当
x?Z
时,求
A
的非空真子集个数;
(3)当< br>x?R
时,没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同 时成立,求实数
m
的取值范围.
分析
：
此问题解决要注意：(1)
B?A
中的分类讨论；(2)集合的非空真子集的个
数=
2
n
?1
；(3)当
x?R
时,没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同时成立能得出
A
与
B
没有
交集，当中还 要考虑
B
是否为
?
.

详解
：(1)当
m?1?2m?1
即
m?2
时,
B??
满足
B?A
.
当
m?1?2m?1
即
m?2
时,要使
B?A
成立,
需
?
?
m?1?2m?1,
可得
2?m?3
.综上所得实数
m
的取值范围
m?3
.
m?1?5
?< br>(2)当
x?Z
时,
A?
?
?2,?1,0,1,2,3,4 ,5
?
,
所以,
A
的非空真子集个数为
2
8?2
?254
.
(3)∵
x?R
,且
A?
?
x|?2?x?5
?< br>,
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
,又没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同时成立
则①若
B??即
m?1?2m?1
,得
m?2
时满足条件;
②若
B ??
,则要满足条件有:
?
综上有
m?2
或
m?4
.
11 28
?
m?1?2m?1,
?
m?1?2m?1,< br>或
?
解之,得
m?4
.
m?1?52m?1??2
??

高中数学集合总结+题型分类+完美解析

--------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------

【No.3 集合vs.方程】
2
5.已知集合< br>P?x|x?x?6?0
,
Q?
?
x|ax?1?0
?
满足
Q
?
P
,求
a
所取的一切值.
??
?
分析：这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从
a?0< br>和
a?0
两个方面进行解题.

详解
：因
P??
x
|
x
2
?x?
6
?
0
?
?
?
2,
?
3
?
,
当
a?0< br>时,
Q?
?
x|ax?1?0
?
??
,
Q< br>?
P
成立.
?
又当
a?0
时,
Q?
?
x|ax?1?0
?
?
?
?
1
1
?< br>1
?
成立,则有
??2
或
???3
,
P< br>?
,要
Q
?
?
a
a
?
a
?
1
1
a??
或
a?
.
3
2
综上所述,
a?0
或
a??

6．已知集合
A?x|ax?3x?4?0,x?R
．
(1)若
A
中有两个元素，求实数
a
的取值范围；
(2)若
A
中至多有一个元素，求实数
a
的取值范围．
1
1
或
a?
.
3
2
?
2
?
分析：
A
中元素的个数代表方程
ax
2
?
3< br>x?
4
?
0
的根的个数，不过首先要讨论
a
是
否为0.

详解
：
(1)∵
A
中有两个元素，
∴方程
ax?3x?4?0
有两个不等的实数根，
∴
?
2
?
a?0
9
，即
a??

16
?
??9?16a
12 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
∴
a??
9
，且
a?0
.
16
?
4
?
?
3
?
(2)当
a?0
时，
A?< br>?
?
?
；
当
a?0
时，若关于
x
的方程
ax?3x?4?0
有两个相等的实数根，
??9?16a
，即
2
9
；
16
若关于
x
的方程无实数根，则
??9?16a?0
，
9
即
a??
；
16
9
故所求的a的取值范围是
a??
或
a?0
.
16
a??

7.已知集合
A?x|2x?3x?1?0
，
B?x|mx?
?
m?2
?
x?1?0
，若
A?B ?A
，求
222
??
??
实数
m
的取值范围． < br>分析：与第7题类似，第7题是先讨论
a
是否为0，而本题的答案中先讨论的是
B
是否为
?
，在这种类型题中，两种方法兼可.

1
??
详解
：
A?
?
x|2x
2
?3x?1?0
?
?
?
?1,?
?
，
2
??
∵
A?B?A
，∴
B?A
，
①当
B??
，
若
m?0
，不成立；
若
m?0
，则
??0
，
m??
②当
B?
?
? 1
?
或
?
?
?
，
若
m?0
，
x??
2
或
m?2
；
3
?
1
?
?
2
?
1
，成立；
2
2
或
m?2
，
3
若
m?0
， 则
??0
，
m??
经检验，
m?2
成立；
③当
B?
?
?1,?
?
，
?
?
1
?
2
?
13 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
?
m?2
?
1
?
??
???1?
?
?
?
?
?
m
2
?
2
?
，无解，不成立． 则
?
1
?
?
1
?
?
?1
?
?
?
?
??
2
?
m2
??
?
综上：
m??
2< br>或
m?2
或
m?0
．
3

====== ================================================== ==============
题型四、韦恩图像

解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算

1．某班有36名同学参加 数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已
知参加数学、物理、化学小组的人数分 别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，
同时参加物理和化学小组的有4人，则同时 参加数学和化学小组的有多少人？
分析：解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.

解析
：
设单独加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．
?
x?y?z ?26
?
x?12
??
依题意
?
y?4?z?13
，解得
?
y?8

?
z?1
?
x?y?z?21< br>?
?
∴同时参加数学化学的同学有8人，

14 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
答：同时参加数学和化学小组的有8人．

2.设全集
U
是实数集
R
，函数
y?
1
x?4
2
的定义域为
M< br>，
N?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
，则如
图所示阴影部分所表示的集合是（ ）


A．
?
x|?2?x?1
?

B．
?
x|?2?x?2
?

C．
?
x|1?x?2
?

D．
?
x|x?2
?


?
x
2
?4?0
分析：本题要注意y的定义域：
?
2
?x
2
?
4
?
0

?
x?4?0

答案
：C
详解
：由题意易得
M?
?
x|x??2 或x?2
?
，
N?
?
x|1?x?3
?
，而阴影部 分表示
?
C
U
M
?
?

N?
?
x|1?x?2
?
，选C．
3.设全集U=R，< br>A?x|2
?
x
?
x?2
?
?1
，
B?
?
x|y?ln
?
1?x
??
，则右图中阴影部分表示 的集合
15 28
?

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
为 （ ）

A.
?
x|x?1
?

B.
?
x|1?x?2
?

C.
?
x|0?x?1
?

D.
?
x|x?1
?

分析：由图可知所求为
C< br>U
B
?
A
，还要注意解
A
,
B
集合 时应遵循指对运算的规则.

答案
：B
详解
：
2
x
?
x?2
?
?1?2
0
，因为
y?2
x
是增函数，
所以
x
?
x?2
?
?0
，
故
0?x?2
，
A?
?
0,2
?
，
B?
?
??,1
?
.
阴影部分表示的集合为
C
U
B?A?
?
x|1?x?2
?
.

===== ================================================== ===============
题型五、创新题型
解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义.

16 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
1.对于集合
M
、
N
，定义：
M?N?
?
x|x?M且x?N
?
，< br>M?N?
?
M?N
?
?
?
N?M
?
，
设
A?y|y?x?3x,x?R
，
B?
?
x|y?l og
2
?
?x
??
，则
A?B
= （ ）
2
??
A．
?
?
?
9
?
,0?

4
??
B．
?
?
?
9
?
,0
?

?
4
?
9
?
?
?
?
0,??
?

4
?
9
?
?< br>?
?
0,??
?

4
?
C．
???,?
?
?
D．
?
??,?

?
?
分析：创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得，
A?B?
?
A?B
?
?
?
B?A
?
，
A?B??
x|x?A且x?B
?
，
B?A?
?
x|x?B且x ?A
?
.A
集合所求的是
y
?
x
2
?3x
的值域，B集合所求的是
y?log
2
?
?x
?< br>的定义域.

答案
：C
详解
：本题考查集合的运算 9
?
3
?
9
?
?
由
y?x?3x?< br>?
x?
?
?
得
A?
?
y|y??
?
；
4
?
2
?
4
?
?
2
2
由
y?log
2
?
?x
?
得
x?0，则
B?
?
x|x?0
?
；
由
M?N??
x|x?M且x?N
?
得
A?B?
?
x|x?0?
?
?
0,??
?
，
9
??
9??
B?A?
?
x|x??
?
?
?
??,?< br>?
，
4
??
4
??
由
M?N?
?
M?N
?
?
?
N?M
?
得
A?B?
?
0,??
?
?
?
??,?
故正确答案为C.

17 28
?
?
9
?
?
.
4
?

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
2.定义集合
A
与
B
的运算“*”为:
A?B?
?
x|x?A或 x?B,但x?A?B
?
.设
X
是偶数
1,2,3,4,5
?
,则
?
X?Y
?
?Y
=（ ） 集,
Y?
?
A．
X

B．
Y

C．
X?Y

D．
X?Y

分析：
?X?Y
?
?Y
整体算上去比较复杂，所以要分开先计算
X?Y
.

答案
：
A

详解
：首先求出
X?Y?< br>?
2,4
?
，
X,Y
的并集再去掉交集即得
X?Y ?
?
1,3,5,6,8,10,?
?
.同理可得
?
X?Y
?
?Y?
?
2,4,6,8,10,?
?
?X


3.定义一个集合
A
的所有子集组成的集合叫做集合
A
的 幂集，记为
P
?
A
?
，用
n
?
A
?
表示有限
集
A
的元素个数，给出下列命题：
①对于任意集合
A
，都有
A?P
?
A
?
；
②存在集合
A
，使得
n
?
P
?
A
?
?
?3
；
③用
?
表示空集，若
A?B??，则
P
?
A
?
?P
?
B
?
? ?
；
④若
A?B
，则
P
?
A
?
?P
?
B
?
；
⑤若
n
?
A
?< br>?n
?
B
?
?1
，则
n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B
?< br>?
其中正确的命题个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
分析：已知幂集
P
?
A
?
为子集所组成的集合，
n
?
A
?
表示有限集
A
的 元素个数，那
么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.

答案
：B
详解
：
18 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
对于命题①，
A?A
，因此
A?P
?
A
?
，命题①正确；
对于命题②，若集 合
A
的元素个数为
m
，则集合
A
的子集共
2
个，若
n
?
P
?
A
?
?
?3
， 则
m

2?3
，解得
m?log
2
3?N
，命题②错误；
对于命题③，若
A?B??
，由于
??A
，
??B
，因此
??P
?
A
?
，
??P
?
B
?< br>，所以

??
?
P
?
A?
?P
?
B
?
?
，则
P
?
A
?
?P
?
B
?
??
，命题③错误；
对于 命题④，若
A?B
，对集合
A
的任意子集
E?A
，即对任意
E?P
?
A
?
，则
E?B
，
则
E?P
?
B
?
，因此
P
?
A
?
?P
?
B
?
，命题④正确；
对于命题⑤，设
n< br>?
B
?
?n
，则
n
?
A
?
?n?1
，则集合
A
的子集个数为
2
n
?
P
?
A
?
?
?2
n?1
m
n?1
，即
?2?2
n
，集合
B
的子集个数为
2
n
，即
n
?
P
?
B
?
?
?2
n
，因此

n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B?
?
，命题⑤正确，
故正确的命题个数为
3
，选B.

========================================= =============================
PS：课后练习

一、选择题
1.下列命题中正确的是（ ）
A.数0不能构成集合
B.数0构成的集合是0
C.数0构成的集合是
?

D.数0构成的集合的元素是0

22
2..
a,a,b,b,a ,b
构成集合
M
，则
M
中元素的个数最多是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3

3.下列表示方法正确的是（ ）
2
A.
3?y|y?n?1,n?N

??
B.
0?(x,y)|x?y?0,x?N,y?N

2
C.
?3?x|x?9?0,x?N

?
22
?
??
19 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
D.
2?x|x?n,n?N


4.集合
A?
?
t|t?
??
?
?
?
p
,其中p?q?5,且p, q?N
*
?
的所有真子集的个数为（ ）
q
?
A.3 B.7 C.15 D.31

22
5.已知方程
x?px?15?0
与
x? 5x?q?0
的解集分别为A与B，且
A?B?
?
3
?
，则
p?q?
（ ）
A.14 B.11 C.7 D.2

1,2,3,a
?
?3,a
6. 若
?
??
?
?
1,2,3,a
?
，则
a< br>的取值集合为（ )
2
A.
?
0,?1
?
B.
0,?1,?2
C.
?1,?2
D.
0,?1,?2,2


7.设全集
U?R
,
A?x|2
（ ）
????
??
?
x
?
x?2
?
?1
，
B?
?
x|y?ln
?
1?x
??
，则图中阴影部 分表示的集合为
?

A．
?
x|x?1
?

B．
?
x|1?x?2
?

C．
?
x|0?x?1
?

D．
?
x|x?1
?

20 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析

8.设全集
U? R
，
A?
?
x|x
?
x?2
?
?0
?
，
B?
?
x|y?ln
?
1?x
?
? 0
?
，则图中阴影部分表示
的集合为( )

A．
?
x|0?x?1
?

B．
?
x|1?x?2
?

C．
?
x|x?1
?

D．
?
x|x?1
?


9.给定集合
A
,
B
，定义一种新运算：
A*B?
?
x|x?A或x?B, 但x?
?
A?B
?
?
,又已知
A?
?
0, 1,2
?
,
B?
?
1,2,3
?
，则
A* B
等于（ ）
A.
?
0
?
B.
?
3
?
C.
?
0,3
?
D.
?
0,1,2,3
?


10.设P和Q是两个集合， 定义集合
P?Q?
?
x|x?P且x?Q
?
，如果
P??
x|log
2
x?1
?
，
Q?
?
x |x?2?1
?
，那么
P?Q
等于( )
A．
?
x|0?x?1
?

B．
?
x|0?x?1
?

C．
?
x|1?x?2
?

21 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
D．
?
x|2?x?3
?

11.定义
A?B?< br>?
z|z?xy?
?
?
?
x
1
?
，
1,2
?
，
C?
?
,x?A,y?B
?
， 设集合
A?
?
0,2
?
，
B?
?
y
?
则集合
?
A?B
?
?C
的所有元素之和为（ ）
A.3 B.9 C.18 D.27

二、填空题
1.下列命题正确的是 .
(1)空集没有子集.
(2)空集是任何一个集合的真子集.
(3)任一集合必有两个或两个以上子集.
(4)若
B?A
,那么凡不属于集合
A
的元素,则必不属于
B
.

2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？
①由所有非负奇数组成的集合；

②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；

③所有周长等于
10cm
的三角形组成的集合；

④方程
x?x?1?0
的实数根组成的集合．


3.用列举法表示集合
A?
?
n?N|

4．5 0名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，
参加乙项的学生有 25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．

5.集合
A??
x|2x?1?0
?
，
B?x|x?1?2
，则
A? B
= .

2
?
?
n?2
?
?N,n?5
?
为
n?1
?
??

三、解答题
1.已知集合
A?x ?R|x?3x?4?0
,
B?x?R|
?
x?1
?
x?3 x?4?0
,要使
22
??????
22 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
A
?
?
P?B
,求满足条件的集合P.

2.设 集合
A?
?
x|?7?2x?1?7
?
，
B?
?< br>x|m?1?x?3m?2
?
，
（1）当
m?3
时，求A?B
与
A?
?
C
R
B
?
；
（2）若
A?B?B
，求实数
m
的取值范围．

3.若关于x的不等式
tx?6x?t?0
的解集
?
??,a
??
?
1,??
?
，求a的值．
22

4.已知不等式：
3?x
?1
的解集为
A
．
x
2
?1
2
（1）求解集
A
；
（2）若
a?R
，解关于
x
的不等式：
ax?1?
?
a?1
?
x
；
ax?1?
?
a?1
?
x
的解集
C
满足
C?A??
．（3）求实数
a
的取值范围， 使关于
x
的不等式：
2





















课后练习答案


23 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
一、选择题

1.答案
：D
提示
：数0只能构成一个只含有元素0的集合，这 个集合不是
?
，因为
?
中没有任何元素.

2.答案
：C
提示
：当
a,b,a
2
,b
2
不等式
M
中含有的元素个数最多.

3.答案
：D
提示
：判断元素是否在集合内.

4.答案
：C
提示
：集合的真子集个数为
2
n
?1
.

5.答案：
A
提示
：
x?3
为两方程的公共根.

6.答案
：D
1,2,3,a
?
?
?
3,a
2
?
?
?
1,2,3,a
?
验证.
提示
：计算出
a
的值后要带回
?

7.答案
：B
提示
：因为图中阴影部分表示的集合为
A
?
(C
U
B)
.

8.答案
：B
提示< br>：图中阴影部分表示的集合为
A
?
?
C
U
B
?
.
24 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析

9.答案
：C
提示
：依题意
x?A?B
,但< br>x?A?B
,而
A?B?
?
0,1,2,3
?
， < br>A?B?
?
1,2
?
故
A?B?
?
0,3< br>?
.

10.答案：
B

提示
：
P?
?
x|0?x?2
?
，
Q?
?
x|1?x?3
?
．由
P?Q
定义可知
P?Q?
?
x|0?x?1
?
．

11.答案
：C
提示
：
A?B ?
?
0,4,5
?
，
?
A?B
?
?C?< br>?
0,8,10
?
，故
?
A?B
?
?C的所有元素和为18.


二、填空题

1.答案
：(4)
提示
：空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
答案
：①
?
x|x?2n?1,n?N
?
?
，是无限集．
②
??
x,y
?
|x?0,y?0
?
，是无限集．
③
x|x是周长等于10cm的三角形
，是无限集
④方程
x?x?1?0
没有实数根，即其组成的集合
?
，是有限集．
2
??

2.答案
：
?
2
?

提示
：

3.答案
： 45
25 28
n? 23
?1?
，分别令
n?0,1,2,3,4,5
代入即得结果.
n?1n?1

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
提示
：


?
1
?
4.答案：
?
?,3
?

?
2
?
提示
：先化简，再取交集


三、解答题

1.答案：
由
A?
?
x?R|x< br>2
?3x?4?0
?
??
,
B?x?R|
?
x?1
?
x
2
?3x?4?0?
?
?1,1,?4
?
,
由
A
?
P?B
知集合P非空,且其元素全属于B, 即有满足条件的集合P为
????
?
?
1
?
或
?
?1
?
或
?
?4
?
或
?
?1,1
?
或
?
?1,?4
?
或
?
1,?4
?
或
{?1,1,?4}
.
提示
：要解决该题,必须确定满足条 件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握
子集、真子集的概念,准确化简集合是解决 问题的首要条件.

2.答案：
（1）当
m?3
时，
B?
?
2,7
?
，
C
R
B?
?
??, 2
?
?
?
7,??
?
，
∴
A?B?
?
2,4
?
，
26 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
A?
?
C
R
B
?
?
?
??,4
?
?
?
7, ??
?
．
（2）∵
A?B?B?B?A
，
当
B??
时，
m?
1
；
2
?
m ?1??3
1
1
当
B??
时，即
m?
时，
?
??m?2
．
2
3m?2?4
2
?
综上
m?2
．
提示：
B?A
，要对
B
进行分类讨论

3.答案 ：
∵
tx
2
?6x?t
2
?0
的解集是
?
??,a
?
?
?
1,??
?

∴
t?0

x?1
代入得
t?6?t
2
?0

解得：
t??3
或
t?2
（舍去）
a?1?t??3
?a??3

提示：
因为不等式的解集为
?
??,a
?
?
?
1,??
?
，所以
t? 0
.

4.答案：

（1）去分母化简得
x?x?2?0
，
∴
?2?x?1
，∴
A?
?
?2,1
?

（2）
ax?1?
?
a?1
?
x
等价于
a x?
?
a?1
?
x?1?0
，即
?
ax?1
??
x?1
?
?0

22

2
1）当
a?0
时，
ax?
?
a?1
?
x?1?0
等价于
a
?
x?
2
?
?
1
?
1< br>??
?
?
x?1
?
?0
，即
?
x?
?
?
x?1
?
?1
，
a
?
a< br>??
所以：①当
a?1
时，
11
?x?1
； ②当
a?1
时，
x??
； ③当
0?a?1
时，
1?x?
；
aa
1

a
2）当
a?0
时，
x?1

3）当
a? 0
时，
x?1
或
x?
（3）若
C?A??
，则：
①当
a?1
时，
C?
?
?
?
1
?
,1
?
，不可能成立；
?
a
?
27 28

高中数学集合总结+题型分类+完美解析
②当
a?1
时，
x??
，成立；
③当
0?a?1
时，
1?x?
1
，成立；
a1
?
1
1
?
?
?
1,??
?
，须有
??2
，则
??a?0
．
2）当
a?0
时，
x?1
，成立；
3）当
a?0
时，
C?
?
??,
?
?
a
?
综上 ：
a?
?
?
?
?
1
2
,1
??
?
.

a
2
28 28