高中数学集合学案

第一讲：集合的概念
【课前导学】阅读教材第3-4页
1. 集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由
这些对象的全体构成的 （或 ）。构成集合的每个对象叫做这个集合的
（或 ）。
2.集合与元素的表示：集合通常用 来表示，它们的元素
通常用 来表示。
3.元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就说 ，记作
如果a不是集合A的元素，就说 ，记作
4.集合中元素的性质： 、 、 。

5.空集： ，记作 。
6.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做 ，含有无限个元素的集合叫
做 。
7.常用的数集及其记号：
（1）自然数集： （2）正整数集： ，（3）整数集：
（4）有理数集： （5）实数集： ，
【典型例题】
探究一 对集合概念的理解
例1、下列对象能构成集合的是( )
(A)中央电视台著名节目主持人 (B)我市跑得快的汽车
(C)上海市所有的中学生 (D)香港的高楼

【变式训练】判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)2018年俄罗斯世界杯的所有参赛的国家能构成集合；
(2)方程x
2
-2x+1=0的解构成的集合中共有2个元素.


探究二 元素与集合的关系
例2、用“
?
”、“
?
”填空.
（1）
1
_____Z；
2
2
_____Q； 3.14_______R；
0.6_____Q； 0_______N； -2________N+.


1

（2）下列所给关系正确的是___.
①
2
∈Q； ②0∈N*；③π
?
R； ④|-4|∈Z.


探究三 集合中元素特性(互异性)的应用
例3、若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
【变式训练】由a
2
,2-a,4构成一个集合A，且集合A中含 元素1，求实数a的值.




【当堂检测】
1.下列各组对象能构成集合的有（ ）
①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;
③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）
（A）3.14 （B）-5 （C）
3

7
（D）
7

3.下列说法正确的是（ ）
***
（A）若a∈N，b∈N，则a-b∈N （B）若x∈N，则x∈R
*
（C）若x∈R，则x∈N（D）若x≤0，则x?N
2
4.已知集合M中含有3个元素：0，x，-x，则x满足的条件是_________.
5. 设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.
2
6. 设方程ax+2x+1=0（a∈R）的根组成的集合为A，若A是空集，求a的取值范围.





【挑战能力】
（10分）数集M满足条件：若a∈M,则
三个元素分别是什么？



2
1?a
∈M（a≠±1且a≠0）.若3∈M,则在M中还有
1?a

第二讲： 集合的表示方法
【课前导学】阅读教材第5-7页
1.请根据列举法的定义填空
(1)将集合的_ ____都列举出来.
(2)写在_____________内表示这个集合.
2.集合的特征性质
如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x___________ ___,而不属于集合A的元素
_________________,则性质p(x)叫做集合A的一 个特征性质.
3.描述法:
【典型例题】
探究一:用列举法表示集合及简单运用
1.用列举法表示下列集合：
(1)1～20以内的所有质数构成的集合为____ _ ____；
(2)“welcome to Beijing”中的所有字母构成的集合为______ __；
(3)不超过10的非负偶数集为_ _______.
2.用列举法表示下列集合：
(1)正整数集；


?
x?y?2,
(2)方程组
?
的解集.
?
2x?y?1


【变式训练】用列举法表示下列集合：
已知P={0,2,4,6}，Q={x|x=ab,a∈P,b∈P，a≠b}，写出集合Q.


探究二：用描述法表示集合
1.用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数组成的集合是________；
(2)3和4的所有正的公倍数组成的集合是_________.

2.用描述法表示下列集合：
(1)由二次函数y=3
x
+1图象上所有点组成的集合；
(2)坐标平面内坐标轴上的点组成的集合；
(3)三角形的全体组成的集合.



3
2

【变式训练】题2(2)变为 ：“坐标平面内落在第一、三象限内的点组成的集合”，该如何表
示？


【互动探究】：集合
(x,y)y?x?1
与集合
yy?x?1
及
x y?x?1
是同一个集合
吗？


探究三.集合的综合应用
已知集合
A?xax?3x?2?0,a?R
，若A中只含有一个元素，求a的值并 用列举法
把这个集合写出来.






【当堂检测】
1.若集合A={-1,1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y,x ∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
（A）5 （B）4 （C)3 （D）2
2.下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
（A）{x|x=2 012} （B）{y|y-2 012=0}
（C）{x=2 012} （D）{2 012}
3.集合M={（x,y）|xy<0,x∈R,y∈R}是（ ）
（A）第一、三象限内的点集
（B）第二象限内的点集
（C）第四象限内的点集
（D）第二、四象限内的点集
4.已知集合A={y∈Z|y=x
2
,-1≤x≤2},则用列举法表示集合A为（ ）
（A）{0,1,2,3,4} （B）{0,1,4}
（C）{-1,0,1,2} （D）{0,1,2}
5. 用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x
2
-x-2=0的解集；
（2）大于1且小于5的所有整数构成的集合.
6.设A表示集合{a
2
＋ 2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5?B，求a的值.
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?


4

第三讲：集合之间的关系
【课前导学】阅读教材第10-13页
1.维恩(Venn)图
常用平面内一条封 闭曲线的_____表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点
是可以形象地表示出 集合之间的关系.
2.子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及性质





3.空集(?)与其他集合之间的关系
规定：空集是______一个集合的子集，即?____A；
空集是__________集合的真子集.
4.集合关系与其特征性质之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}，则有
(1)若p(x)?q(x)，则_______；反之，若A?B，则____________；
(2)若p(x)
?
q(x)，则_______；反之，若A=B，则____________.
【典型例题】
探究一：集合间关系的判断
1.下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}; ②??{0}; ③{0,1}?{(0,1)}.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

2.已知集合A=｛-1，0，1｝， 集合B={y|y=x
2
,x∈A}，试分析集合A与集合B的关系.


【变式训练】题2中，若集合A换为｛0，1｝，其他条件不变，其结论如何？


探究二：确定集合的子集、真子集
1.已知集合A={0，1，2}，且B
?
A，则集合B=____ ____.


2.已知集合A={x|x
2
-3x+2=0,x ∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C
的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5

【变式训练】已知集合A {x∈N|-1多少个？用恰当的方法表示这些集合.


探究三：由集合关系求参数问题
1.已知集合A={-1，3，m
2
}，且 B={3,4}，B?A，则m=________.
2.已知集合A={x|a




【当堂检测】
1.下列关系正确的是（ ）
2
（A）3∈{y|y=x+π,x∈R}
（B）{（a,b）}={（b,a）}
（C）{（x,y）|x-y=1}
2
22
{（x,y）|（x-y）=1}
222
（D）{x∈R|x-2=0}=
?

2.集合A={-1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
2
3若{1,2}={x|x+bx+c=0}，则（ ）
（A）b=-3,c=2 （B）b=3,c=-2
（C）b=-2,c=3 （D）b=2,c=-3
4. 若A={1，2}，B={x|x?A},则B=______.
5. 设x、y∈R，A={（x,y）|y-2=x-3},B={（3,2）,（4,3）},则A 与B的关系是________.
6. 已知集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+a<0}.当B?A时，求实数a的取值范围.





【挑战能力】
（10分）已知A={ x||x-a|=4},B={1,2,b}.是否存在实数a,使得对于任意实数b（b≠1,b≠
2 ）,都有A?B？若存在，求出对应的a的值;若不存在，说明理由.



6

第四讲：集合的运算
【课前导学】阅读教材第15-19页
1.交集的概念、表示及性质




2.并集的概念、表示及性质




3.全集的概念及表示
(1)在研究集合与集合之间的关系时，如果所 要研究的集合都是某一给定集合的_____，那么
称这个给定的集合为全集.
(2)符号表示：全集通常用___表示.
4.补集的概念、表示及性质



【典型例题】
探究一：集合的交集、并集运算
1．若集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于( )
(A){0，1} (B){-1，0，1}
(C){0，1，2} (D){-1，0，1，2}
2.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤3},求A∩B.


【变式训练】
1.已知集合A={x|x>1},B={x|-1(A){x|-1-1} (C){x|11}
2.若集合A={x|x＞1}，B={x|x≤a}，A∪B=R, 则a的取值范围是_________.


探究二：交集、并集的性质及简单应用
1若集合A={1,3,x}，B={1,x
2
},A∪B={1，3，x}，满足条 件的实数x的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7

2.已知集合A={x|2a≤x≤a+ 1},B={x|-2≤x≤3}，若A∩B=B，求实数a的取值范围.


【变式训练】题2中，若A∩B=A，则a的取值范围又是什么？



探究三：全集与补集的简单运算
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则
?

U

M
=( )
(A)U (B){1,3,5} (C){3,5,6} (D){2,4,6}
【变式训练】已知全集U＝{x|x是非零整数}，集合A＝{x|x>2或x<-6, x∈U},则
?

U
A＝( )
(A){-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2} (B){-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2}
(C){-5,-4,-3,-2,0,-1,1} (D){-5,-4,-3,-2,-1,1}
【当堂检测】
1.若集合A={1，2，3 ，4}，B={2，4，7，8}，C={0，1，3，4，5}，则集合（A∪B）∩C等
于（ ）
（A）{2，4} （B）{0，1，2，3，4，5}
（C）{2，4，7，8} （D）{1，3，4}
2. 已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a},A∩B≠
?
,则实数a的取值范围是（ ）
（A）a≥-2 （B）a<-2 （C）a≤4 （D）a<4
3. 集合A={（x,y）|y=-4x+6}，B={（x,y）|y=5x-3}，则A∩B=（ ）
（A）{（-1，-8）} （B）{（-1，10）}
（C）{1，2} （D）{（1，2）}
4.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4 }，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）
（A）{4} （B）{2，4}
（C）{4，5} （D）{1，3，4}
2
5．已知集合M={x|2x-4=0}，N={x|x-3x+m=0}.
（1）当m=2时，求M∩N,M∪N;
（2）当M∩N=M时，求实数m的值.
6．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2},B={x|-1∪P，（A∩B）∩（
?
U
P
）.

【挑战能力】
（10分）已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∩B= B，试求实数m的
取值范围.

8
5
}，求A∩B，（
?
U
B
）
2