高中数学集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
一、高考考点梳理
（一）、集合的基本概念
1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和 ?.

3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
4.常用数集的符号：实数集记作R； 有理数集记作Q；整数集记作Z；
自然数集记作
N
；正整数集记作
N
*
或
N
?
.

（二）、集合间的基本关系
表示
文字语言

关系

集合
间的
基本
真子集
关系
空集

中至少有一个元素不是A中的元素
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
符号语言
相等
子集
集合A与集合B中的所有元素都相同
A中任意一个元素均为B中的元素
A中任意一个元素均为B中的元素，且B
A＝B
A?B
AB

（三）、集合的运算

符号表示

图形表示


意义

{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x?A}
并集

A∪B
交集

A∩B
补集
?
U
A

（四）、集合关系与运算的重要结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有
2
n
个，真子集有
2
n
-1个
.

2.传递性：
A
?
B
，
B
?C，则
A
?
C
.
3.A∪B＝A?B?A ； A∩B＝A?A?B .
4.?
U
(A∪B)＝(?
U
A)∩(?
U
B)；?
U
(A∩B)＝(?
U
A)∪(?
U< br>B) .
二、历年高考真题题型分类突破
题型一 集合的基本概念
【 例1】（2013全国Ⅰ卷）已知集合
A
＝{1,2,3,4}，
B?{x|x?n< br>2
,n?A}
，
则A?B?( )．
A．
{1,4}
B．
{2,3}
C．
{9,16}
D．
{1,2}

解析：∵
B
＝{
x
|
x
＝
n
2
，
n
∈
A
}＝{1,4,9,16}，∴
A
∩
B
＝{1,4}，故选A
.

题型二 集合间的关系
【例2】（2017全国Ⅰ卷）
已知集合
A=
?
x| x?2
?
，
B=
?
x|3?2x?0
?
，则
（ ）
．

?
A
．
A
I
B=
?
x|x?
?
?
C
．
A
U
B
?< br>?
x|x?
?
3
?
?

2
?
3
?
?

2
?




?
?


3
?
2
?
B
．
A
I
B
??

D
．
A
U
B=R
?
?
3
?2
?
解析：由
B=
?
x|3?2x?0
?
，得
B
?
?
x|x?
?

，因为
A=
?
x|x?2
?
，所以
A
I
B=
?
x|x ?
?
，
故选A

.

题型三 集合的运算
【例3】（2019全国Ⅰ卷）已知集合
U
＝{1，2，3，4，5，6，7}， < br>A
＝{2，3，4，5}，
B
＝{2，3，6，7}，则
B
∩ ?
U
A
＝（ ）．
A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
解析：∵
U
＝{1，2，3，4，5，6，7}，
A< br>＝{2，3，4，5}，
B
＝{2，3，6，7}，
∴?
U
A
＝{1，6，7}，则
B
∩?
U
A
＝{6，7}，故选C ．
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、高考考点梳理
（一）、命题的定义
可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。其中判断为真
的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（二）、四种命题及其相互关系
1.四种命题间的关系

2.四种命题的真假关系
（1）.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
（2）.两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关.
（三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义
1.若p
?
q ；则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2.若p
?
q且q
?
p,则p是q的充要条件。
3.若有p
?
q ，无q
?
p ,则称p是q的充分不必要条件。
4.若有q
?
p , 无p
?
q ,则称p是q的必要不充分条件。
5.若无p
?
q且无q
?
p,则p是q的非充分非必要条件。
（四）、充分、必要、充要条件的判断方法
1.定义法
根据p
?
q ，q
?
p进行判断，适用于定义、定理判断性问题。
2.转化法
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转
化为其逆否 命题再进行判断，适用于条件和结论带有否定词语的命
题。
3.集合法
根据p、q成立对象的集合间的包含关系进行判断，适用于命题
中涉及字母范围的推断问题。

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】原命题为“若z
1
、z
2
互 为共轭复数，则|z
1
|=|z
2
|”关于逆命题、否命题、
逆否命 题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真 假 真 B.假 假 真 C.真 真 假 D.假 假 假

解析：由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题。当
z
1
=4+3i，z
2
=3+4i时，|z
1
|=|z2
|成立，但z
1
、z
2
不共轭，所以逆命题为假命题，
从而它的否命题也为假命题，故选B.
题型二 充分条件与必要条件的判断
【例2】 （2019全国Ⅱ卷）设
?
,
?
为两个平面，则
?

?
的充要条件是( )
A.
?
内有无数条直线与
?
平行 B.
?
内有两条相交直线与
?
平行
C.
?
,
?
平行于同一条直线 D.
?
,
?
垂直于同一平面
解析：当
?
内有两条相交 直线平行于
?
时，
?

?
；当
?

?
时，
?
内存在
两条相交直线平行于
?
，故选B.

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、高考考点梳理
1.简单的逻辑联结词
（1）.常用简单的逻辑联结词有“且（∧）”、“或（∨）”“非（┑）”。
（2）.复合命题真假的判断
p

真
真
假
假
2.全称量词与全称命题
q

真
假
真
假
p?q

真
假
假
假
p?q

真
真
真
假
?p

假
假
真
真
（1）.“所有”、“每一个”、“任何”、“任 意一条”、“一切”都是在指定范围
内，表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词。
（2）.含有全称量词的命题，叫做全称命题。
（3）.全称命题的符号表示
设< br>p
(
x
)是某集合
M
的所有元素都具有的性质，形如“对M
中的所有
x
，有
p
(
x
)成立”的命题，用 符号简记为：?
x
∈
M
，
p
(
x
)。
3. 存在量词与存在性命题
（1）.“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”、 都有表示个别或一部
分的含义，这样的词叫做存在量词。

（2）.含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
（3）.存在性命题的符号表示
形如“存在集合
M
中的元素
x，有
p
(
x
)成立”的命题，用符号简记为：
?x?M,p(x )
。

4. 全称命题与存在性命题的否定
（1）.全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 则命题的否定为
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
（2）.存在性命题
p
：
?x?M,p(x)
； 则命题的否定为
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
二、历年高考真题题型分类突破
题型一 逻辑推理
【例1】（2017全国Ⅱ 卷）)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛
的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给
乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知 道我的成绩:根据以
上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩





B.丁可以知道四人的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩
解析：由甲的说法可知乙 、丙1人优秀1人良好,则甲、丁两人1人优秀1人良
好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲 的成绩知道自己的成绩,即乙、
丁可以知道自己的成绩.故选D.
题型二 全称命题、存在性命题
?
x?y?6,
【例2】（2019全国Ⅲ卷）
记不 等式组
?
表示的平面区域为D．命题
2x?y?0
?
p:?(x,y )?D,2x?y?9
；命题
q:?(x,y)?D,2x?y?12
．下面给出了四 个命题
①
p?q
②
?p?q
③
p??q
④
?p??q

这四个命题中，所有真命题的编号是
( )．

A．①③ B．①② C．②③ D．③④
?
x?y?6,
解析：由
不等式组
?< br>可求出区域D，可得直线2x+y=9与2x+y=12均经
2x?y?0
?

过区域D,则P真q假，从而
?
P假
?
q真，所以
①③真，
②④假
，故选A.

【例3】（2013全国I卷）已知命题
P:?x?R,2
x
?3
x
；命题
q:?x?R,x
3
?1?x
2
，
则下列命题中为真命题的是( )．
A．p∧q B．
?
p∧q C．p∧
?
q D．
?
p∧
?
q
解析：由2
0
＝3
0
知，
P
为假命题．则
?P是真命题。令
h
(
x
)＝
x
3
－1＋
x
2
，
∵
h
(0)＝－1＜0，
h
(1)＝1 ＞0，∴
x
3
－1＋
x
2
＝0在区间(0,1)内有解．
∴?
x
∈R，
x
3
＝1－
x
2
， 即命题
q
为真命题，则
?
q
是假命题。综上，只有
?
p
∧
q
是真命题，故选B.