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高中数学集合与常用逻辑用语

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:00
tags:高中数学集合

高中数学优秀说课-高中数学学过偏导数吗


第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
一、高考考点梳理
(一)、集合的基本概念
1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系是属于或不属于,符号分别为∈和 ?.

3.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
4.常用数集的符号:实数集记作R; 有理数集记作Q;整数集记作Z;
自然数集记作
N
;正整数集记作
N
*

N
?
.

(二)、集合间的基本关系
表示
文字语言

关系

集合
间的
基本
真子集
关系
空集

中至少有一个元素不是A中的元素
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
符号语言
相等
子集
集合A与集合B中的所有元素都相同
A中任意一个元素均为B中的元素
A中任意一个元素均为B中的元素,且B
A=B
A?B
AB

(三)、集合的运算

符号表示

图形表示


意义

{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x?A}
并集

A∪B
交集

A∩B
补集
?
U
A

(四)、集合关系与运算的重要结论
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有
2
n
个,真子集有
2
n
-1个
.


2.传递性:
A
?
B

B
?C,则
A
?
C
.
3.A∪B=A?B?A ; A∩B=A?A?B .
4.?
U
(A∪B)=(?
U
A)∩(?
U
B);?
U
(A∩B)=(?
U
A)∪(?
U< br>B) .
二、历年高考真题题型分类突破
题型一 集合的基本概念
【 例1】(2013全国Ⅰ卷)已知集合
A
={1,2,3,4},
B?{x|x?n< br>2
,n?A}

则A?B?( ).
A.
{1,4}
B.
{2,3}
C.
{9,16}
D.
{1,2}

解析:∵
B
={
x
|
x

n
2

n

A
}={1,4,9,16},∴
A

B
={1,4},故选A
.

题型二 集合间的关系
【例2】(2017全国Ⅰ卷)
已知集合
A=
?
x| x?2
?

B=
?
x|3?2x?0
?
,则
( )


?
A

A
I
B=
?
x|x?
?
?
C

A
U
B
?< br>?
x|x?
?
3
?
?

2
?
3
?
?

2
?




?
?


3
?
2
?
B

A
I
B
??

D

A
U
B=R
?
?
3
?2
?
解析:由
B=
?
x|3?2x?0
?
,得
B
?
?
x|x?
?

,因为
A=
?
x|x?2
?
,所以
A
I
B=
?
x|x ?
?

故选A

.

题型三 集合的运算
【例3】(2019全国Ⅰ卷)已知集合
U
={1,2,3,4,5,6,7}, < br>A
={2,3,4,5},
B
={2,3,6,7},则
B
∩ ?
U
A
=( ).
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
解析:∵
U
={1,2,3,4,5,6,7},
A< br>={2,3,4,5},
B
={2,3,6,7},
∴?
U
A
={1,6,7},则
B
∩?
U
A
={6,7},故选C .
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、高考考点梳理
(一)、命题的定义
可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。其中判断为真
的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
(二)、四种命题及其相互关系
1.四种命题间的关系



2.四种命题的真假关系
(1).两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
(2).两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性无关.
(三)、充分条件、必要条件与充要条件的定义
1.若p
?
q ;则p是q的充分条件,q是p的必要条件。
2.若p
?
q且q
?
p,则p是q的充要条件。
3.若有p
?
q ,无q
?
p ,则称p是q的充分不必要条件。
4.若有q
?
p , 无p
?
q ,则称p是q的必要不充分条件。
5.若无p
?
q且无q
?
p,则p是q的非充分非必要条件。
(四)、充分、必要、充要条件的判断方法
1.定义法
根据p
?
q ,q
?
p进行判断,适用于定义、定理判断性问题。
2.转化法
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断、定义的命题转
化为其逆否 命题再进行判断,适用于条件和结论带有否定词语的命
题。
3.集合法
根据p、q成立对象的集合间的包含关系进行判断,适用于命题
中涉及字母范围的推断问题。

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】原命题为“若z
1
、z
2
互 为共轭复数,则|z
1
|=|z
2
|”关于逆命题、否命题、
逆否命 题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真 假 真 B.假 假 真 C.真 真 假 D.假 假 假


解析:由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题。当
z
1
=4+3i,z
2
=3+4i时,|z
1
|=|z2
|成立,但z
1
、z
2
不共轭,所以逆命题为假命题,
从而它的否命题也为假命题,故选B.
题型二 充分条件与必要条件的判断
【例2】 (2019全国Ⅱ卷)设
?
,
?
为两个平面,则
?

?
的充要条件是( )
A.
?
内有无数条直线与
?
平行 B.
?
内有两条相交直线与
?
平行
C.
?
,
?
平行于同一条直线 D.
?
,
?
垂直于同一平面
解析:当
?
内有两条相交 直线平行于
?
时,
?

?
;当
?

?
时,
?
内存在
两条相交直线平行于
?
,故选B.

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、高考考点梳理
1.简单的逻辑联结词
(1).常用简单的逻辑联结词有“且(∧)”、“或(∨)”“非(┑)”。
(2).复合命题真假的判断
p





2.全称量词与全称命题
q





p?q





p?q





?p





(1).“所有”、“每一个”、“任何”、“任 意一条”、“一切”都是在指定范围
内,表示整体或全部的含义,这样的词叫做全称量词。
(2).含有全称量词的命题,叫做全称命题。
(3).全称命题的符号表示
设< br>p
(
x
)是某集合
M
的所有元素都具有的性质,形如“对M
中的所有
x
,有
p
(
x
)成立”的命题,用 符号简记为:?
x

M

p
(
x
)。
3. 存在量词与存在性命题
(1).“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”、 都有表示个别或一部
分的含义,这样的词叫做存在量词。


(2).含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
(3).存在性命题的符号表示
形如“存在集合
M
中的元素
x,有
p
(
x
)成立”的命题,用符号简记为:
?x?M,p(x )


4. 全称命题与存在性命题的否定
(1).全称命题
p

?x?M,p(x)
; 则命题的否定为
?
p

?x?M,?p(x)

(2).存在性命题
p

?x?M,p(x)
; 则命题的否定为
?
p

?x?M,?p(x)

二、历年高考真题题型分类突破
题型一 逻辑推理
【例1】(2017全国Ⅱ 卷))甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛
的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给
乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知 道我的成绩:根据以
上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩





B.丁可以知道四人的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩
解析:由甲的说法可知乙 、丙1人优秀1人良好,则甲、丁两人1人优秀1人良
好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲 的成绩知道自己的成绩,即乙、
丁可以知道自己的成绩.故选D.
题型二 全称命题、存在性命题
?
x?y?6,
【例2】(2019全国Ⅲ卷)
记不 等式组
?
表示的平面区域为D.命题
2x?y?0
?
p:?(x,y )?D,2x?y?9
;命题
q:?(x,y)?D,2x?y?12
.下面给出了四 个命题

p?q

?p?q

p??q

?p??q

这四个命题中,所有真命题的编号是
( ).

A.①③ B.①② C.②③ D.③④
?
x?y?6,
解析:由
不等式组
?< br>可求出区域D,可得直线2x+y=9与2x+y=12均经
2x?y?0
?

过区域D,则P真q假,从而
?
P假
?
q真,所以
①③真,
②④假
,故选A.


【例3】(2013全国I卷)已知命题
P:?x?R,2
x
?3
x
;命题
q:?x?R,x
3
?1?x
2

则下列命题中为真命题的是( ).
A.p∧q B.
?
p∧q C.p∧
?
q D.
?
p∧
?
q
解析:由2
0
=3
0
知,
P
为假命题.则
?P是真命题。令
h
(
x
)=
x
3
-1+
x
2


h
(0)=-1<0,
h
(1)=1 >0,∴
x
3
-1+
x
2
=0在区间(0,1)内有解.
∴?
x
∈R,
x
3
=1-
x
2
, 即命题
q
为真命题,则
?
q
是假命题。综上,只有
?
p

q
是真命题,故选B.

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