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高中数学集合的含义与表示 练习与解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:01
tags:高中数学集合

高中数学三角函数公式理科-高中数学教师月考总结


集合的含义与表示 练习与解析
一、选择题
1 给出下面几个关系 式:
2
∈R,0.3∈Q,0∈N,0∈{0},0∈N*,
中正确的关系式的个数是 ?????????????????( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:(直接法)运用常用数集的概念,完成判断:
2∈R,0.3∈Q,0∈N,0∈{0}正确,其余错
误,故应选择A.
答案:A
2 下列集合中表示同一个集合的是???????????????????( )
A.
M
={(3,2)},
N
={(2,3)}
B.
M
={3,2},
N
={2,3}
C.
M< br>={(
x

y
)|
x

y
=1},
N
={
y

x

y
=1}
D.
M
={1,2},
N
=(1,2)
解析:A、
M

N
元素均为有序数对,既与数值的大小有关,又与两个数值前后顺序有关,所以M

N

C、
M
中元素为有序数对,即方程x

y
=1的解,而
N
元素是数值,即函数
y
=-
x
+1的取值.
M

N
中元素性质的特征不同,∴
M

N

B.元素相同符合三个特征,∴
M

N

故选:B.
3 方程组
?
1
∈N*,-π
?
Z,-5
?
Z,其
2
?
x?y?3
的解集表示为:①{1,2};②(1,2);③{(1,2)};④{(1,2) ,(2,1)}.其
?
xy?2
中正确的表示法是???????????????? ??????( )
A.①和② B.①和③ C.③和④ D.④
解析:∵
?
?
x?y?3,①
?
xy?2,②
解之得
?
?
x?1,
?
x?2,

?

?
y?2
?
y?1,
∴ 方程组的解为有序数对,其解集了是单 元素集,并且习惯上,
x
值写在前面,
y
的值写在后面.
故应选D.
答案:D
4 集合
A
={
x
x
=2
k
1

k
1
∈Z},
B
={
x

x
=2
k
+1,
k
2
∈Z},
C
={
x

x
=4
k
3
+1,
k
3
∈Z},又
A

A
,b∈
B
,则一定有????????????????????( )
A.
a
+b∈
A
B.
a
+b∈
B
C.
a
+b∈
C
D.
a
+b
?
A
B

C
任何一个
解析:∵
A

A
,即
A
具有
A
中元素的属性,∴
a
=2
k
1
,
k
1
∈Z.
又∵ b∈
B
,即b具有
B
中元素的属性,∴ b=2
k
2
+1,
k
2
∈Z.

a
+b=2
k
1
+(2
k
2
+1)=2(
k
1

k
2
)+1.
又∵
k
1

k
2
∈Z,∴
a
+b∈
B

故应选择B.
答案:B
5 集合
A
={
x
|0≤
x
≤1,
x
∈R},B={
x
|-5<
x
<10,
x
∈Z}, 则
A

B
中????????????????????????????? ??????( )
A.没有有限集 B.只有一个有限集


C.两个都是有限集 D.无法确定哪个是有限集
解析:(直接法)

B
={
x
|-5<
x
<10,
x
∈Z},

B
={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,?,8,9}.

B
为有限集合,而
A
={
x
|0≤
x
≤1,
x
∈R}.

A
中有无限个实数,∴
A
为无限集合.
故应选择B.
答案:B
二、填空题
6 被3除余1的正整数集合是____________.
解析:由于被3整除的整数可表示为:3
k

k
∈Z,
∴ 被3除余1的正整数可表示为3
k
+1,
k
∈Z.
∴ 所表达 的集合为{
x

x
=3
k
+1,
k
∈Z} .
答案:{
x

x
=3
k
+1,
k
∈Z}
7 集合{
x

x
∈Z,(
x
-1)(
x
+1)=0},用列举法表示为____________.
解析:集合{
x

x
∈Z,(
x
-1)(
x
+1)=0},即表 示方程(
x
-1)(
x
+1)=0的整数解集.
而方程(x
-1)(
x
+1)=0的解为
x
1
=1,
x
2
=-1,
x
3
=-1.
由于集合元素有互异性,∴ 用列举法表示为{1,-1}.
答案:{1,-1}
8 设
M
= {
x
∈R|
x
≤2
3
},
A

1 1
,用符号∈或连结,则
A
____________
M

解析:(直接法)

2
22
2
11

12
=2
3
,∴
11

M

答案:
A
∈M
点 评:判断元素与集合的关系,关键在于准确把握集合元素公共的属性,以此为标准对所给对象进行
判断, 从中得出结论.
9 用描述法表示集合{0,±
234
1
,±,±,±,?}____________.
2
51017
解析:用描述法表示集合关键抓住所有元素的公共特征.
1223344
1
=±,±=±
2
,±=±
2
,±=±2
,?
2
1?1?151017
2?13?14?1
n
∴ 共同特征为±
2

n?1
n
∴ 此集合用描述法表示为{x

x
=±
2

n

N
}.
n?1
n
答案:{
x

x
=±
2
n

N

n?1
由于±
三、解答题
10 己知集合
A
={
x

ax
-3
x
+2=0},
(1)若
A

?
,求实数
a
的取值范围;
(2)若
A
是单元素集,求
a
的值及集合
A

(3)求集合
M
={
a
∈R|
A

?
}.
分析:因为集合
A
是关于
x
的方程
ax
-3< br>x
+2=0的解集,则(1)、(2)、(3)是分别求使方程无实数
2
2


根、有两个实数根时的
a
的取值范围.
解:(1)
A
是空集,即方程
ax
-3
x
+2=0无解.

a
=0,方程有一解
x

2
2
2< br>,不合题意.
3
8

9

a
≠0, 要使方程
ax
-3
x
+2=0无解,则△=9-8
a
<0, 即
a

综上可知,若
a

?
,则
a< br>>
2
8

9
(2)当
a
=0时,方程
ax
-3
x
+2=0只有一根
x






22

A
={}符合题意.
33
844

a
≠0时,则△=9-8
a
=0,即
a
=时,方程有两个相等的实数根
x
=,则{}.
933
284
综上可知,当
a
=0时,
A
={};当
a
=时,< br>A
={}.
393
2
(3)当
a
=0时,
A
={}≠
?

3
8

a
≠0时,要使 方程有实数根,则△=9-8
a
≥0,即
a
≤.
9
88< br>综上可知,
a
的取值范围是
a
≤,即
M
={
A
∈R|
A

?
}={
a

a
≤ }.
99
1

A

1?a
点评:解题时能将数学符号、式子转化为所熟知的语言,再用相关的数学知识解决问题.
11 设集合
A
中的元素为实数,且满足
A

A
,则
(1)若2∈
A
,求集合
A

(2)集合
A
能否为单元素集?若能,把它求出来,若不能,说明理由;
(3)说明若
A

A
,则1-
1

A

a
分析:集合中每个元素均应满足公共属性,而满足属性的对象均为集合的元素,本题应紧 扣“
A

A

1

A
”则可迎刃而解.
1?a
1
解:(1)
A

A
,则∈
A

1?a
1
∵ 2∈
A
,∴ =-1∈
A

1?2

∵ -1∈
A
,∴
1
1
=∈
A

1?(?1)
2

1

A
,∴
2
1
1?
1
2
=2∈
A
.∴
A
={2,-1,
1
}.
2
(2)假设集合

中有且仅有一个元素
A


11
2

A
,∴ =
A
,即
a

a
+1=0.
1?a1?a
2

A
∈R,∴
a

a
+1=0无解.


故集合
A
不可能为单元素集.
(3)∵
A

A

1

A
,∴
1?a< br>1
1?
1
1?a

1?a1
=1-∈
A
?aa
点评:通过此题可以看出,集合可以通过多种形式给出,关键在于刻画清楚 元素的属性,本题以递推
关系给出集合的表述形式.
12 用列举法表示下列集合
(1)
A
={
x

x
=|
x
|,
x
∈Z且
x
<5};
(2)B={(
x

y
)|
x

y
=6,
x
∈N *,
y
∈N *};
(3)C={
x

x

(4)D={
x

|a||b|
+,
A
,b为非零实数};
ab
6
∈Z,
x
∈N*}.
3?x
分析:( 1)根据
x
的范围解方程;(2)求不定方程
x

y
=6的 正整数解;(3)根据绝对值的意义化简;
(4)所求的
x
要满足两个条件:①
x
是正整数;②
x
使
解:(1)∵
x
= |
x
|,∴
x
≥0.
又∵
x
∈Z且
x
<5,
∴ {
x

x< br>=|
x
|,
x
∈Z且
x
<5=用列举法表示为{0, 1,2,3,4};
(2)
B
={(1,5),(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)};
( 3)当
a
>0,b>0时,
x
=2;当
a
<0,b<0时,
x
=-2;当
a
,b异号时,
x
=0, ∴
6
是整数.
3?x
C
={-2,0,2};
(4) 由题意知3-
x
=±1,±2,±3,±6,所以
x
=0,-3,1,2,4 ,5,6,9,又
x
∈N*,∴
D
={1,2,4,5,6,9}.
点评:使用列举法时,应注意以下四点:①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③不考虑元素顺 序;
④对于含较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规 律显
示清楚后方能用删节号.

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