高中数学教参——集合

第一节 集合及其运算


[备考方向要明了]

考 什 么
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属
于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列
举法或描述法)描述不同的具体问题．
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识
别给定集合的子集．
怎 么 考 1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中
元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的
基本逻辑能力，如2009年高考T14.
2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下
两个方面：
(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集
关系的判断．
(2)以不等式的求 解为背景，利用两个集合之间
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
的子集关系求解参数的取值范围问题，如2009
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会
求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含
义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本
关系及集合的基本运算.
年高考T11.
3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不
等式的求解、函数 的定义域或值域的求法相结合
考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基
本运算为主，考查 借助数轴或Venn图进行集合
运算，如2010年高考T1；2011年高考T1，T14；
2012年高考T1




[归纳 知识整合]
1．元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b?A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集及其符号表示：
数集
符号

[探究] 1.集合A＝{x|x
2
＝0} ，B＝{x|y＝x
2
}，C＝{y|y＝x
2
}，D＝{(x，y)|y＝ x
2
}相同吗？
它们的元素分别是什么？
提示：这4个集合互不相同，A是 以方程x
2
＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函
数y＝x
2
的定义域，即B＝R；C是函数y＝x
2
的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x
2
上的点组成的集合．
2．0与集合{0}是什么关系？?与集合{?}呢？
提示：0∈{0}，?∈{?}或??{?}．
2．集合间的基本关系
表示
关系
相等
子集
真子集
文字语言 符号语言
A?B且B?A
?A＝B
A?B或B?A
A?B或B?A
??A
??B(B≠?)
自然数集
N
正整数集
N
*
或N
＋

整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
集合A与集合B中的所有元素都相同
A中任意一个元素均为B中的元素
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个
元素不是A中的元素
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 空集

[探究] 3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？
提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B?A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.
3．集合的基本运算

符号表示
集合的并集
A∪B
集合的交集
A∩B
集合的补集
若全集为U，则集
合A的补集为?
U
A
图形表示

意义

[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？
提示：一般情况下不相同，如A＝{ 0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为?
B
A＝{2}，在全集
D＝{0,1 ,3}中的补集为?
D
A＝{3}．
[自测 牛刀小试]
1．已知集合M＝{1，m＋2，m
2
＋4}，且5∈M，则m＝________
解析：∵5∈{1，m＋2，m
2
＋4}，
∴m＋2＝5或m
2
＋4＝5，
即m＝3或m＝±1.
当m＝3时，M＝{1,5,13}；当m＝1时，M＝{1,3,5}；
当m＝－1时M＝{1,1,5}不满足互异性．
∴m的值为3或1.
答案：3或1
2．(教材改编题)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合 B有________个．
解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，
∴B?A，∴B＝?，{1}，{2}，{1,2}．
答案：4
3．(2013· 南京四校联考)若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{0,1}，集合N＝{2,3}，则(?
U
M)∩N＝________.

{x|x∈A，且x∈B}

?
U
A＝{x|x∈U，且x?A} {x|x∈A，或x∈B}
解析：∵ ∪＝{0,1,2,3,4}，M＝{0,1}，∴?
U
M＝{2,3,4}，∴(?
U
)∪N＝{2,3}．
答案：{2,3}
4．定义集合运算：A*B＝{z|z ＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0，2}，则集合
A*B的所有元素之和为__ ______．
解析：∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}，B＝{0,2}，∴z的取 值有：1×0＝0；1×2
＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．
∴集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.
答案：6
5．(教材改编题) 设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝__________，

A∩B＝__________，(?
U
A)∩(?
U
B) ＝__________.
解析：∵A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|x≥3}，
∴?
U
A＝{x|x<2，或x≥4}，?
U
B＝{x|x<3}．
∴A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x<4}，
(?
U
A)∩(?
U
B)＝{x|x<2}．
答案：{x|x≥2} {x|3≤x<4} {x|x<2}






[例1] (1)(2013·济南模拟)若集合A＝{－1,1}， B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y
∈B}中的元素的个数为________．
(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a
2
}，B＝{a－5,1－a,9}，若9 ∈(A∩B)，则实数a＝________.
[自主解答] (1)集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．
故所求集合中元素的个数为3.
(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，
∴2a－1＝9或a
2
＝9.
∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－ 4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，
A＝{－4,5,9}，B不满足集 合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，
B＝{－8，4,9}，符合 题意．
∴a＝5或a＝－3.
[答案] (1)3 (2)5或－3
本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值？

解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，
∴2a－1＝9或a
2
＝9，
即a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，
∴a≠5.
当a＝3时，A＝{－4,5 ,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，
集合的基本概念

∴A∩B＝{9}，符合题意，
∴a＝－3.

———————————————————
解决集合问题的一般思路
(1)研究一 个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用
描述法表示时，注意弄清其元 素表示的意义是什么．
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
—————————————————————————————————

1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x
2
＝a－1}，则实数a的取值范围是____ ____．
(2)已知集合A＝{x|x
2
－2x＋a>0}，且1?A，则实数a 的取值范围是________．
解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x
2
＝a－1}为非空集合，
∴a－1≥0，即a≥1.
(2)∵1?{x|x
2
－2x＋a>0}，∴ 1∈{x|x
2
－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]



1
??
[例2] 已知集合A＝{x|0?
x
|
－
2
?
，若A?B，则实数a的取值范
??
集合间的基本关系
围是________．
[自主解答] A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若a＝0，则A＝R；
1
??
4
②若a<0，则A＝
?
x
|
a
≤x<－
a
?
；
?
?
?
?
14
??
③若a>0，则 A＝
?
x
|
－
a
a
?
.
当a＝0时，若A?B，此种情况不存在．
当a<0时，若A?B，如图，

?
则
?
1
－
?
a
≤2，
41
>－，
a2

a>0或a<－8，
?
?
即
?

1
a>0或a≤－.
?
2
?

又∵a<0，∴a<－8.
当a>0时，若A?B，如图，

?
则
?
4
?
a
≤2，
11
－≥－，
a2
?
a≥2或a<0，
?
即
?

?
a≥2或a<0.
?

又∵a>0，∴a≥2.
综上知，当A?B时，a<－8或a≥2.
[答案] (－∞，－8)∪[2，＋∞)

保持例题条件不变，当a满足什么条件时，B?A?
解：当a＝0时，显然B?A；
当a<0时，若B?A，如图，
?
则
?
1
－
?
a
>2，
41
≤－，
a2

－8≤a<0，
?
?
即
?
1

－?
?
2

1
又∵a<0，∴－2
当a>0时，若B?A，如图，

?
则
?
4
?
a
≥2，
11－≤－，
a2

?
?
0即
?

?
?
0
又∵a>0，∴01
综上知，当B?A时，－2

———————————————————

根据两集合的关系求参数的方法
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为
参数满足 的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参
数进行讨论，还要注 意能否取到端点值．
—————————————————————————————————————
—


2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m＝________.
解析：当B＝?时，m＝0，显然成立；
6
当B＝{2}时，＝2，即m＝3；
m
6
当B＝{3}时，＝3，即m＝2.
m
故m＝0或2或3.
答案：0或2或3



[例3] (1)(2012·江苏高考 )已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2，4,6}，则A∪B＝________.
?
1
?
(2)(2012·威海模拟改编)已知集合A＝{1,2
a
}，B＝{a ，b}，若A∩B＝
?
2
?
，则A∪B＝
??
集合的基本运 算
________.
(3)(2012·武汉模拟)已知A，B均为集合U＝{1,2, 3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?
U
B)∩A
＝{1}，(?
U
A)∩(?
U
B)＝{2,4}，则B∩(?
U
A)＝____ ____.
[自主解答] (1)∵A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，
∴A∪B＝{1,2,4,6}．
1
?
1
??
1
?
11
??
(2)由A∩B＝
?
2
?
得2
a
＝，解得a＝－1，则b＝.所以A＝
?
1，
2
?
，B＝
?
－1，
2
?
，则A
22
??????
1
??
∪B＝
?
1，－1，
2
?
.
??
(3)依题意及韦恩图得，B∩(?
U
A)＝{5,6}．

?
1
?
[答案] (1){1,2,4,6} (2)
?
2
，1，－1
?
(3){5,6}
??
—————
1.集合的运算口诀
—————————————— 集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，
切记重复仅 取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.
2.解决集合的混合运算的方法
解决集合混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可
以通过列举集合 的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.
—————————————————————————————————————
—


3．(2012·枣庄模拟改编)已知全集U＝Z，集合A＝{x|x
2
＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中
阴影部分所表示的集合为________．

解析：由 A＝{x|x
2
＝x}得A＝{0,1}，图中阴影部分所表示 的集合是由不在集合A中，
但在集合B中的元素构成的集合，即(?
U
A)∩B，易知 (?
U
A)∩B＝{－1,2}．故图中阴影部分
所表示的集合为{－1,2}．
答案：{－1,2}



[例4] (2012·东城模拟改编 )非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意a、b∈G，都有a
⊕b∈G；(2)存在c∈G，使得对 一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称集合G关于运算⊕
为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；
②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；
③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；
④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________．
[自主解答] ②错，因为不满足条件(2)；④错，因为不满足条件(1)．
[答案] ①③
集合中的新定义问题

———————————————————
解决新定义问题应注意以下几点
(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质．
(2)按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．
—————————————————————————————————————
—


1
1
??
4．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集 合，集合M＝
?
－1，0，
2
，2，3
?
的所有非
x
??
空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
1
解析：具有伙伴关系的元素组是－1；，2.
2
1
??
1
??
所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，
?
2
，2
?
，
?
－1，
2
，2
?
.
????
答案：3

?1组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化
在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下，
集合的运 算关系和包含关系之间可以相互转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??
U
A??
U
B
?A∩(?
U
B)＝?，在解题中运用这种转化能有效简化解题过程．
?3种技巧——集合的运算技巧
(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转 化；对已知连续数集间的关
系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．
(2)对离 散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想
的又一体现．
(3)两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，
从两个集合 中元素相
同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果A?B，且B?A，则A
＝B.
?5个注意——解答集合题目应注意的问题
(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条
件．
(2)要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系．
(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

(5)在解决含参数 的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为
不满足“互异性”而导致解题错误.

创新交汇——与集合运算有关的交汇问题

1．集合的运算是高考的常考 内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、
不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新 交汇问题的形式出现在高考中．
2．解决集合的创新问题常分三步：
(1)信息提取，确定化归的方向；
(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法； (3)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关
键，也是解 题的难点．
1
??
y－
?
≥0
?
，B＝{(x， y)|(x－
[典例] (2012·重庆高考改编)设平面点集A＝
?
?x，y?< br>|
?y－x?
?
?
x
?
??
1)
2
＋(y－1)
2
≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________． < br>y－x≥0，
?
?
1
?
y－
?
≥0可化为< br>?
1
[解析] 不等式(y－x)·
?
x
?
?
?
y－
x
≥0，

y－x≤0，
?
?
或
?
1
?
?
y－
x
≤0.

集合B表示圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1上以及圆内部的点所构成 的集合，A∩B所表示的平
1
面区域如图所示．曲线y＝，圆(x－1)
2
＋ (y－1)
2
＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分
x
占圆面积的一半．
π
[答案]

2
[名师点评]

1．本题具有以下创新点
1
?
?
?y－x?
?
y －
?
≥0，
?
x
?
(1)命题方式的创新：题目并不是直接 求解不等式组
?
所表示的平
22
?
?
?x－1?＋?y－1 ?≤1
面区域的面积，而是以求集合交集的形式考查．
1
(2)考查内容的创新：本 题通过集合A，B考查了一次函数y＝x、反比例函数y＝的图
x
1
象和圆的方程(x －1)
2
＋(y－1)
2
＝1，以及圆和函数y＝的图象的对称性、不等式所 表示的平
x
面区域等内容．

2．解决本题的关键有以下两点
(1)正确识别集合A与集合B中元素的几何性质，并正确画出各自所表示的区域；
1
(2)注意到圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1与函数y＝(x>0)的 图象都关于直线y＝x对称．
x
3．在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点
(1)认真阅读 ，准确提取信息，是解决此类问题的前提．如本题应首先搞清集合A与B
的性质，即不等式表示的点集．
(2)剥去集合的外表，将未知转化为已知是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外
表，将 问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．
[变式训练]

xy
??
1．已知A＝{(x，y)|y＝|ln x|}，B＝
?
?x，y?
|
9
＋
4
＝1
?
，则A∩B的子集个数 为________．
??
22

x
2
y
2
解析：A∩B中元素的个数就是函数y＝|ln x|的图 象与椭圆＋＝1的交点个数，如图
94
所示．由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即A∩B 中有两个元素，故A∩B的子集有
2
2
＝4个．
答案：4
??< br>1
?
，2．设集合M＝{y|y＝|cos
2
x－sin
2< br>x|，x∈R}，N＝
?
x
||
x－
i
?
< 2，i为虚数单位，x∈R
?
??

则M∩N＝________.
解析：∵y＝|cos
2
x－sin
2
x|＝|cos 2x|，且x∈R，
1
x－
?
< 2，∴|x＋i|< 2， ∴y∈[0 ,1]，∴M＝[0,1]．在N中，x∈R且
?
?
i
?
∴x
2
＋1<2，解得－1∴M∩N＝[0,1)．
答案：[0,1)
3．设M＝{a|a＝(2,0)＋m(0,1)，m∈R}和N＝{b| b＝(1,1)＋n(1，－1)，n∈R}都是元素
为向量的集合，则M∩N＝________.
解析：设c＝(x，y)∈M∩N，则有(x，y)＝(2,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(1 ，－1)，即(2，m)
?
?
2＝1＋n，
＝(1＋n,1－n)，所以?
由此解得n＝1，m＝0，(x，y)＝(2,0)，
?
m＝1－n，
?

即M∩N＝{(2,0)}．
答案：{(2,0)}

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2013·盐城高三摸底) 已知集合P＝{－2,0,2,4}，Q＝{x|0＜x＜3}，则P∩Q＝________.
解析：由题易知P∩Q＝{2}．
答案：{2}
2．(2012·南通、泰州、扬 州调研)设全集U＝Z，集合A＝{x|x
2
－x－2≥0，x∈Z}，则?
U
A＝________(用列举法表示)．
解析：由x
2
－x－2≥0得x≥2或 x≤－1，从而?
U
A＝(－1,2)，其整数元素有0和1.
答案：{0,1}
3．(2012·常州高三期末)已知集合A＝{－1,0,2}，B＝{2
a
}，若 B?A，则实数a的值为
________．
解析：因为2
a
>0，且2< br>a
∈A，所以2
a
＝2，解得a＝1.
答案：1
4．(2 012·辽宁高考改编)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3, 5,8}，集合B
＝{2,4,5,6,8}，则(?
U
A)∩(?
U
B)＝________.
解析：?
U
A＝{2,4,6,7,9}，?
U
B＝{0,1,3,7,9}，
则(?
U
A)∩(?
U
B)＝{7,9}．
答案：{7,9}
5．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝ 1，y∈R}，则S∩T＝________.
解析：集合S表示直线y＝1上的点，集合T表示直线 x＝1上的点，S∩T表示直线y
＝1与直线x＝1的交点．
答案：{(1,1)}
?
3
?
－1?
，若P∩Q≠?，则6．(2013·南京四 校联考)已知集合P＝{－1，m}，Q＝
?
x
?
4
??
?

整数m＝________.
3
解析：由条件得m∈Q，即－14
答案：0
7．设函数f(x)＝lg(1－x
2
)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y |y＝f(x)}，则图中阴影部分表示
的集合为________．

解析：因为 A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x
2
>0}＝{x|－12
∈(0,1]，所以B＝

{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A ∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，
故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．
答案：(－∞，－1]∪(0,1)
8．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R|| x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且
A∩B＝(－1，n)，则m＝ ________，n＝________.
解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)可知m<1，
则B＝{x|m
答案：－1 1
9．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n
m＋n
＝，当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝mn，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N
*
}，
2
则集合A中的元素个数为________．
a＋b
解 析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，＝6?a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6
2＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．
(2) 当a，b为一奇一偶时，ab＝6?ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题
意的 点(a，b)有2×3＝6个．
综上可知，集合A中的元素共有17个．
答案：17 10．(原创题)已知f(x)＝x
2
＋bx＋c，若集合{x|f(x)＝x}为空集， 则{x|f(f(x))＝x}中元素个
数为________．
解析：f(x)＝x无实根 ，则二次函数图象f(x)＝x
2
＋bx＋c在直线y＝x上方，即f(x)>x，
所 以f(f(x))>f(x)>x.
答案：0
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝
{x|1解：∵A∩B＝{x|1又A∪B＝{x|x>－2}，
∴－2又A∩B＝{x|1∴－1≤a<1，

∴a＝－1.
12．(满分14分)(2013·连云港调研)已知集合A＝ {x|y＝x
2
－5x－14}，集合B＝{x|y＝
lg(－x
2
－7x－12)}，集合C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)求A∩B；
(2)若A∪C＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A＝(－∞，－2]∪[7，＋∞)，
B＝(－4，－3)，
∴A∩B＝(－4，－3)．
(2)∵A∪C＝A，
∴C?A.
①C＝?，2m－1??
?
m≥2，
?m≥2，
?
②C≠?，则或
?

?
2m－1≤－2，
?
??
m＋1≥7，

解得m≥6.
综上可得，实数m的取值范围是m<2或m≥6.
13．(满分16 分)(2012·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)
2
≤0}，N＝{ x|x
2
＋x－6＝0}．
(1)求(?
I
M)∩N；
(2)记集合A＝(?
I
M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B ∪A＝A，求实
数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)
2
≤ 0}＝{－3}，N＝{x|x
2
＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴?
I
M＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(?
I
M)∩N＝{2}．
(2)A＝(?
I
M)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1>5－a，∴a>3；
?
?
a－1＝2，
当B＝{2}时，
?
解得a＝3，
?
5－a＝2，
?

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
14．(满分16分)已知M＝{(x，y )|y＝x
2
}，N＝{(x，y)|x
2
＋(y－a)
2
＝1}，A＝M∩N.记：|A|
表示集合A中元素个数．
(1)若|A|＝3，求实数a的值；
(2)若A＝?，求实数a的取值范围．