高中数学集合与函数概念知识点

高中数学集合与函数概念知识点
集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合（简称为集）。
表示方法：1、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{}
括起来表示集合的方法
2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
3、Venn图
4、数轴表示
常用的数集及其记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或
自然数集），记作N；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*
或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R.。
1.1.2 集合间的基本关系
1、包含：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素， 我们就说这两个集合有包含关系，称
集合A为集合B的子集，记作A
?
B(或B
?
A)。

2、相等：集合A与集合B中的元素是一样的，记作A=B 3、真子集：如果集合A
?
B，但存在元素x
?
B,且x
?A,我们称集合A
是集合B的真子集。
4、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集
1.1.3 集合的基本运算
1、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合， 称为
集合A与集合B的并集，记作：A
?
B（读作A并B）
2、交集：有属 于集合A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与
B的交集，记作A
?
B（读作A交 B）
3、补集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那
么这个集合称为全集 ；对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简 称为A的补
集。记作：?uA
1.2 函数及其表示
（1）概念：设A、B是非空 的数集，如果按照某种确定的对应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的 数f（X)
和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x) ,x
?
A;其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义
域；与x值相对应的 y值叫做函数值，函数值得集合{f（x）|x
?
A}叫
做函数的值域。
※求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分
母不等于零；(2)偶次方根的被开方数 不小于零； (3)对数式的真数

必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不 等于1(5)如果函
数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
使各部 分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于
零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（2）表示方法：1、解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应
关系
2、图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系
3、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
映射概念：设A、B是两个非空集合，如果按某 一个确定的对应关系
f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一的确定的
元素 y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个
映射。
（4）分段函数：1、在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函
数。
2、各部分的自变量的取值情况．
3、分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是
各段值域的并集．
（5）复合函数：如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

1.3函数的基本性质

1、单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1、x2，
当x1函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x 2，
当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减
函 数。

2、奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-
x)=f(x),那么函数f（x）就叫做偶函数；
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-
f(x),那么函数f（x）就叫做奇函数。
3、最大值、最小值
（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
对于任意x
?
I,使得f(x)≤M;
存在x0
?
I,使得f(x0)=M
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（2）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
① 对于任意x
?
I,使得f(x)≥M;
② 存在x0
?
I,使得f(x0)=M

那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值

基本初等函数
2.1 指数函数
定义：一般地，函数y= 叫做指数函数，其中x是自变量，函
数的定义域是R
性质：定义域R
值域（0，+
?
）
过定点（0,1），即x=0时，y=1
当01时，在R上是增函数
运算法则：

2.2 对数函数
定义：
常用对数
自然对数
对数与指数之间的关系
性质：定义域（0，+
?
）
值域R
过定点（1,0），即x=1时，y=0
当01时，在R上是增函数
运算法则：

2.3幂函数
定义：
函数的应用
3.1 函数与方程
1、函数的零点与其对应方程根的关系
（1）意义：方程f(x)=0有实数根

?
函数y=f(x)的图像与x轴有交点

?
函数y=f(x)有零点
（2）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像 是连续不断的一条曲线，
并有f(a）·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有 零点，即
存在c
?
(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根。
2、用二分法求方程的近似解
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f (b)<0的函数y=f(x)，通
过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个
端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
3.2函数模型及其应用
掌握基本函数的性质，学会运用，能够将实际问题转化为函数模型，
从而解决实际问题中最优解 问题。