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高中数学:1.2.1集合之间的关系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:06
tags:高中数学集合

福建高中数学联赛一等奖-武夷山 高中数学辅导


1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
1.了解空集的含义与Venn图的定
义. 2.理解集合之间包含与相等的含义.
3.掌握集合间的包含关系和相等关系,并能正确判断.


1.维恩图
维恩(Venn)图:通常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,这种图形通常叫做维
恩 图.
2.子集、真子集与集合相等的概念

定义
符号语

图形语言
(Venn图)


如果集合A中的任意一个
子集
元素都是集合B的元素,
那么集合A叫做集合B的
子集
A?B
(或
B?A)

如果集合A是集合B的子
集,并且B中至少有一个
真子集
元素不属于A,那么集合
A叫做集合B的真子集

如果集合A的每一个元素
都是集合B的元素,反过
集合相

也都是集合A的元素,那
么就说集合A等于集合B

3.性质
(1)规定:空集是任意一个集合的子集,也就是说,对任意集合A,都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A.
(3)如果A?B,B?C,则A?C.
(4)如果AB,BC,则AC.
(5)若A?B,B?A,则A=B;反之,若A=B,则A?B且B?A.
4.集合关系与其特征性质之间的关系
我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特 征性质之间的关系;或用集合特
征性质之间的关系,判断集合之间的关系.
来,集合B的每一个元素
A=B
AB
(或
BA)



1.已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A.MB.M∈N
C.N?M
D.MN
答案:D
2.0,{0},?,{?}之间有什么关系?
解:0∈{0},0??,0?{?},?∈{?},?{?}.
3.符号“∈”与“?”有何区别?
解:(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系,
比如有1∈N,-1?N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系,
比如有N?R,
{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素,右边是集合,
而“?”的两边均为集合.


子集、真子集的概念及应用
设集合A={1,2,3},B={x|x?A},
求集合
【解】 因为A={1,2,3},
所以A的子集为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}, {2,3},{1,2,3}.
又因为B={x|x?A},
所以B={?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
B



集合B中的代表元素为x,x满足的条件是 x?A,即x是A的子集,即集合B是集合A
的子集构成的集合.
1.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},
若集合M有4个子集,则正整数m=( )
A.1
C.3
B.2
D.4
解析:选B.根据题意,集合M有4个子集,
则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},
其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,
则m=2.
2.若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个.
解析:若A中含有一个奇数,
则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2};


若A中含有两个奇数,则A={1,3}.
答案:5
集合的相等
设集合A={x,y},B={0,x
2
},若A
=B,求实数x,y的值.
【解】 因为A=B,所以x=0或y=0.
(1)当x=0时,x
2
=0 ,则B中的元素0重复出现,此时集合B不满足互异性,舍去.
(2)当y=0时,x=x
2

解得x=1或x=0(舍去),
此时A={1,0}=B,满足条件.
综上可知,x=1,y=0.



两集合相等可以从两个角度进行描述:一是从元素角度,两集合所含元素完全 相同,但
与集合顺序无关;二是从包含角度看,A=B?A?B且B?A.
已知M={2,a,b},N={2a,2,b
2
},
且M=N,求a,b的值.
解:根据集合中元素的互异性知M=N,
2
?
?
a=2a,
?
?
a=b,

?

?

2
?
b=b,
?
?
b=2a.
?
?
a=0,
?
?
a=0,
?
解方程组,得
?

?
??
b=0,b=1,
??
?
?
1
?
b=2
.
1
a=,
4

?
?
a=0
再根据集合中元素的互异性,知
?
不符合要求,舍去,
?
b=0
?


1
a=,
?
a=0,
4
?
所以a ,b的值为
?


1
?
b=1,
?
b=.
2
?
?
?
由集合间的包含关系求参数
已知集合A={ x|-3≤x≤4},B=
{x|11),且B?A,则实数m的取值范围是____ ____.
【解析】 由于B?A,结合数轴分析可知,m≤4,
又m>1,所以1



【答案】 1
1.本例若将集合“B={x|11)”改为“B={x|1数m的取值范围又是什么?
解:若m≤1,则B=?,满足B?A.
若m>1,则由例题解析可知1综上可知m≤4.
2.本例若将集合“ B={x|11)”改为“B={x|2m-1变,则 实数m的取值范围又是什么?
解:因为B?A,
(1)当B=?时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
-3≤2m-1,
?
?
(2)当B≠?时,有
?
m+1≤4,

?
?
2 m-1<m+1,


解得-1≤m<2,综上得m≥-1.
3.本例若将集合A ,B分别改为A={-1,3,2m-1},B={3,m
2
},其他条件不变,
则实 数m的值又是什么?
解:因为B?A,所以m
2
=2m-1,
即(m-1)
2
=0,所以m=1,
当m=1时,
A={-1,3,1},B={3,1}满足B?A.

由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义 ,建立方程求解,此时应注意
分类讨论;
(2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是
虚点.
[注意] ①不能忽视集合为?的情形;
②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.


已知集合A={x|x
2
+x-6=0},B=
{x|mx +1=0},BA,求m的值.
解:A={x|x
2
+x-6=0}={-3,2}.
因为BA,所以B={-3}或B={2}或B=?.
1
当B={-3}时,由m·(-3)+1=0,得m=.
3
1
当B={2}时,由m·2+1=0,得m=-.
2
当B=?时,m=0.
11
综上所述,m=或m=-或m=0.
32

1.元素与集合间的关系用符号“∈”或“?”表示,集合与集合间的关系用“ ?”

?”
“=”或“”等表示.
2.在特定的情况下集合也可以作为元素 ,如集合B={?,{0},{1},{0,1}},则此时


{1}∈B而不能是{1} B


3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方面:
(1)当A?B时,则A=B或AB


(2)判断两个集合间的关系:①用列举法表示两个集合再判断;②分类讨论.
(3)解数集问题学会运用数轴表示集合.
(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示.

空集是任何集合的子集,即 ??A,因此只要是与子集有关的问题,就要注意空集的情形,
这是解题过程中最容易出错的地方.

1.下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0};②?{0};③{0,1}?{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.
B.2
D.4
A.1
C.3


解析:选B.根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确;由空集是任意非空集合的真子
集可 知?{0}正确;③中集合{0,1}的元素是数,而集合{(0,1)}的元素是点的坐标,因此
没有 包含关系,故③错误;④中集合中的元素是点,而点的坐标有顺序性,因此{(a,b)}≠{(b,
a )},故④错误;综上,应选B.
2.已知集合A={x|x-3>0},B={x|2x-5≥0} ,则这两个集合的关系是________.
5
??
解析:A={x|x-3>0} ={x|x>3},B={x|2x-5≥0}=
?
x|x≥
2
?

??
结合数轴知AB


答案:AB
3.设集合A={1,3,a},B={1,1-2a},且B?A,求a的值.
解:由题意得1-2a=3或1-2a=a,
1
解得a=-1或a=.
3
当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},符合条件.
1
?
1
?
1
??
当a=时,A=
?
1,3,
3
?
,B=
?
1,
3
?
,符合条件.
3
????
1
所以a的值为-1或.
3

[A 基础达标]
1.已知集合A={x|x
2
-1=0},则下列式子表示正确的有( )
①1∈A;②{-1}∈A;③??A;④{1,-1}?A.
A.1个
C.3个
B.2个
D.4个
解析:选C.A={x|x
2
-1=0}={-1,1},故①③④正确,②不正确.
2.满足{a}?M{a,b,c,d}的集合M共有( )
A.6个
C.8个
B.7个
D.15个
解析:选B.依题意a∈M,且M{ a,b,c,d},因此M中必含有元素a,且可含有
元素b,c,d中的0个、1个或2个,即M的个 数等于集合{b,c,d}的真子集的个数,有
2
3
-1=7(个).
3.设集合M={1,2},N={a
2
},那么( )
A.若a=1,则N?M
B.若N?M,则a=1
C.若a=1,则N?M,反之也成立


D.a=1和N?M成立没有关系
解析:选A.显然a=1时,集合N={1},此时N?M;
若N?M,则a
2可以是集合M中的元素1或2,此时a可以取值1,-1,2,-2.即
若N?M,则a=1不成立 .
4.已知M={-1,0,1},N={x|x
2
+x=0},则能表示M,N之 间关系的Venn图是( )

解析:选C.因为N={x|x
2
+x=0}={0,-1},
M={-1,0,1},
所以NM.
5.设A={x|-1a},若AB,则a的取值范围是( )
A.{a|a≥3}
C.{a|a>3}
B.{a|a≤-1}
D.{a|a<-1}
解析:选B.集合A,B在数轴上表示如图,由AB可求得a≤-1, 注意端点能否取
到是正确求解的关键.



6.设集合M={(x,y )|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为
_____ ___.
解析:因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,
所以x<0,y<0,
即集合M表示第三象限内的点,
而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.
答案:M=P
7.已知A={1,3,m+2},B={3,m
2
},若B ?A,则m=________.
解析:由B?A知,m
2
=1或m
2=m+2,当m
2
=1时,m=±1,此时不满足集合元素的
互异性;当m
2
=m+2时,m=-1或m=2,当m=-1时,不满足集合元素的互异性,验
证知m=2 时成立.
答案:2
8.已知?{x|x
2
+x+a=0},则实数a的取值范围是________.
解析:因为?
1
≤.
4
1
答案:a≤
4
9.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:?,{(0,2)} ,{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,
0)},{ (1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
10.已知a∈R,x∈R ,A={2,4,x
2
-5x+9},B={3,x
2
+ax+a},C={ x
2
+(a+1)x
{x|x
2
+x+a=0},所以方程x
2
+x+a=0有实数根,即Δ=1-4a≥0,a


-3,1},求:
(1)使A={2,3,4}的x的值;
(2)使2∈B,B?A的a,x的值;
(3)使B=C的a,x的值.
解:(1)由题意,知x
2
-5x+9=3,解得x=2或x=3.
?2=x
2
+ax+a,
?
(2)因为2∈B,B?A,所以
?< br>
2
-5x+9.
?
3=x
?
x=2,
?< br>x=3,
?
??
所以
?
2

?
7< br>
a=-a=-.
?
3
?
4
??
?
x
2
+(a+1)x-3=3,
?
(3)因为B=C,所以
?
2

?
x+ax+a=1.
?
?
?
x=-1,< br>?
?
x=3,
?
解得或
?

?
a=-6
?
a=-2.
??
[B 能力提升]
11.已知集合A={0,1},B={x|x?A},则下列关于集合A与B的关系正确的是( )
A.A?B
C.BA
B.AB
D.A∈B
解析:选 D.因为x?A,所以B={?,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B
中的 元素,所以A∈B,故选D.
12.设集合A={x|a-1b+2}.若A?B,则实数a,b
必满足( )
A.|a+b|≤3
C.|a-b|≤3
B.|a+b|≥3
D.|a-b|≥3
解析 :选D.根据题意知A?B,作出如图所示的数轴,所以有b+2≤a-1或b-2≥a
+1,解得a- b≥3或a-b≤-3,即|a-b|≥3.



13.已知集合A={x|a x
2
+2x+a=0}有且仅有2个子集,求实数a的值.
解:因为集合A有且仅有 2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax
2
+2x+a=0(a∈R)
仅有一个根 .
①当a=0时,
方程化为2x=0,此时A={0},符合题意.
②当a≠0时,
由Δ=2
2
-4·a·a=0,
即a
2
=1,
所以a=±1.
此时A={-1}或A={1},符合题意.
综上,a=0或a=±1.
14.( 选做题)已知M={x|x
2
-3x+2=0},N={x|x
2
-2x+a =0},若N?M,求实数a的
取值范围.
解:因为M={x|x
2
-3x+2=0}={1,2},
又N?M,所以N=?,或N={1},或N={2},或N={1,2}.
(1)当N=?时,方程x
2
-2x+a=0的判别式Δ=4-4a<0,即a>1.
?
?
1+1=2,
(2)当N={1}时,有
?
所以a=1 .
?
1×1=a,
?
?
?
2+2=2,
(3)当 N={2}时,有
?
不成立.
?
2×2=a
?
?
1+2=2,
?
(4)当N={1,2}时,有
?
不成立.
?
?
1×2=a
综上可知实数a的取值范围是a≥1.


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