高中数学回归课本(集合)

回归课本(二)集合、简易逻辑
一.考试内容：
集合.子集.补集.交集. 并集.逻辑联结词.四种命题.充
分条件和必要条件.

二.考试要求：

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的
意义.了解属于、包含 、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会
用它们正确表示一些简单的集合.
(2)理 解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互
关系.掌握充分条件、必要条件及 充要条件的意义.
【注意】近年的高考题中，集合的考查通常以两种方式出现：①考查集
合的 概念、集合的关系、集合的运算；②在考查其他部分内容时涉及到
集合的知识.很少有正面考查逻辑的内 容.逻辑与充要条件的知识往往是
和其他知识结合起来考查.
三.基础回顾:
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AICU
B
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AIC
U
B???C
U
AUB?R

4.容斥原理
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)
?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)
5． 集合
{a
2
n
个；真子集有
2
n
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有–1个；非
空子集有
2
n
–1个；非空的真子集有
2
n
–2个.
6.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
7.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个
至多有（
n?1
）个
小于 不小于 至多有
n
个
至少有（
n?1
）个
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
p
或
q

?p
且
?q

对任何
x
， 存在某
x
，
不成立 成立
p
且
q

?p
或
?q

8.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

9.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
四.基本方法和数学思想
1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是 因变
量的取值？还是曲线上的点？… ；
2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽 可能地借助数轴、直
角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，
然 后利用数形结合的思想方法解决；
3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是

命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命
题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命
题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
5. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含
关系判断，若
A?B< br>，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若
A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即 利用等价关系
A?B?B?A
判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，
一般运用等价法；
6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2
n
,真子集（非空子 集）个
数为2
n
－1；
（2）
A?B?A?B?A?A?B?B;

（3）
C
I
(A?B)?C
I
A?C
I
B,C
I
(A?B)? C
I
A?C
I
B;

五.典型高考题
1.（全 国卷Ⅰ）设
I
为全集，
S
1
、S
2
、S
3
是
I
的三个非空子集，且
S
1
?S
2
?S
3
?I
，则下面论断正确的是( )
（A）
C
IS
1
?（S
2
?S
3
）??
（B）< br>S
1
?（C
I
S
2
?C
I
S
3
）

（C）
C
I
S
1
?C
I
S
2
?C
I
S
3
）??
（D）S
1
?（C
I
S
2
?C
I
S
3
）

2．（福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数
f(x)?3?log
2
x
的图象与
g(x)
的图象 关于 对称，
则函数
g(x)
= 。
3.（浙江卷）
设
?
、
?
为两个不同的平面，l、m 为两条不同的
直线，且l
?
?
，m
?
?
，有如下的 两个命题：①若
?
∥
?
，则l
∥m；②若l⊥m，则
?⊥
?
．那么 ( )
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题

4. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A
常数，
|< br>u
PA
uur
|?|
u
PB
uur
、B为两 个定点，k为非零
|?k
，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上
一定点A作圆的动 点弦AB，O为坐标原点，若
u
OP
uur
?
1
uuuru uur
2
(OA?OB),
则动点P的轨迹为椭圆；③方程
2x
2< br>?5x?2?0
的两根可分别作为
椭圆和双曲线的离心率；④双曲线
x
2
?
y
2
?1
与椭圆
x
2
?y
2
259
35
?1
有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5.（04年湖北卷.文16理15）设A、B为两个集合。下列四个命题：
①
A< br>?
?
B
?
对任意
x?A
，有
x?B
； ②
A
?
?
B
?
A∩B=
?
； ③
A
?
?
B
?
A?
?
B
； ④
A
?
?
B
?
存在
x?A
，使得
x?B
。其中真命题的序号是________。（把符合要求的命
题序号都填上）
6.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。
那么p是q成立的（）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 命题p：若 a、b∈R，则
|a|?|b|?1
|是
|a?b|?1
的充要条件. 命题 q：
函数
y?|x?1|?2
的定义域是
(??,?1]U[3,??). 则（）.
A.“p或q”为假 B. “p且q”为真 C. p真q假 D. p假q真
8. （湖北卷）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},
Q?{1,2,6}
，则P+Q中 元素的个
数是 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
9. （04年上 海卷.文理19）记函数
f(x)?2?
x?3
x?1
的定义域为A,
g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.
(1) 求A；(2) 若
B?A
, 求实数a的取值范围.

六.课本习题回顾
1 由小于10的所有质数组成的集合是 。
2 由不大于50的所有质数组成的集合是 。
3 设全集U=Z，M=
{x?Nx?10}
，P=
{x?Z?2?x?3}
。 则
MIP?
，
MUP?
，
MIC
U
P?
。
4 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的
自然数有 。
5 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字所组成的自然数中，不
超过321的有 个，其中3的倍数有 个。
6 集合{a,b}的子集有 ，其中真子集有 个。
7 若{a}
?
A
?
{a,b,c},则集合A的个数有 个。 8设U=Z，M=
{xx?2k,k?z}
，N=
{xx?2k?1,k?z}< br>，
P=
{xx?2k?1,k?z}
，Q=
{xx?4k?1,k?z }
，则下列结论不正确的
是 （ ）
A，
C
U
M?N
B，
C
U
P?M
C，
PIQ??
D，
C
U
M?N?P?Q

9 设A=
{xx??2}
，B=
{xx?3}
，则
AIB
= 。
10 设A=
{x?1?x?2}
，B=
{x1?x?3}
，则
AUB
= 。
11 设A=
{(x,y)y?? 4x?6}
，B=
{(x,y)y?5x?3}
，则
AIB
= 。
12 设A=
{yy??4x
2
?6}
，B=
{y5x
2
?y?3?0}
，则
AIB
= ,
AUB
=
13 设A=
{yy??4x
2
?6}
，B=
{y5x
2
?y?m?0}
，若
AIB??
，
则实数m的取值范围是 ，若
AUB?R
，则实数m的取值
范围是 。
简易逻辑：逻辑联结词、四种命题、充要条件
1 已知命题P：
x
2
?x?6
，命题Q：
x?Z
，且“P且Q”与“非Q”
同时为假命题，则< br>x
的值等于 。
2 下列命题是假命题的是 （ ）
A， 命题“若
x
2
?y
2
?0,
则
x,y
全为0”的逆命题；
B， 命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；
C， 命题“若
m?0,
则
x
2
?x?m?0
有实 数根”的逆否命题；
D， 命题“
?ABC
中，如果
?C?90
0
，那么
c
2
?a
2
?b
2
” 的逆否命
题；
3 下列命题是真命题的是 （ ）
A，“
a?b
”是“
a
2
?b
2
”的充分条件；B，“
a?b
”是“
a
2
?b
2
”的
必要条件；
C，“
a?b
”是“
ac
2
?bc
2
” 的充分条件；D，“
a?b
”是“
a?c?b?c
”
的充要条件。
4 命题：“a,b是整数”是命题：“
x
2
?ax?b?0
有且仅有整数解”的
条件。
5 命题：“
a?b?1
” 是命题：“
a
3?b
3
?ab?a
2
?b
2
?0
” 的
条件。
6 已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的 条件，
（2）r是q的 条件，
（3）p是q的 条件，
（4）s是p的 条件.
7
ax
2
?x?1?0
至少有一个负的实根的充要条件是 （ ）
A，
0?a?1
B，
a?1
C，
a?1
D，
0?a?1
或
a?0

8
ax
2
?x?1?0
至少有一个正的实根的充要条件是 。
9
ax
2
?x?1?0
有两个负的实根的充要条件是 。
10
ax
2
?x?1?0
至少有一个正的实根的一个充分不必要条件
是 。
11
ax
2
?x?1?0
至少有一个负的实根的一个必要不充分条件
是 。
12
3x
2
?10x?k?0
有两个同号且不相等实根的充要条件
是 。
13
3x
2
?10x?k?0
有两个同号的实根的充要条件
是 。
14
3x
2
?10x?k?0
有两个异号的实根的充要条件
是 。