集合是高中数学中最原始的不定义的概念

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第一章 集合
一 定义
集合是高 中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为
集合。 组成集合的对象叫做元素。
二 集合的抽象表示形式
用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。
三 元素与集合的关系
有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作
a?A
；元素 a不属于集合A，记作
a?A
。
四 几种集合的命名
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用
?
表示；
自然数集：N；正整数集：N
*
或N
+
；整数集：Z；
有理数集：Q；实数集：R。
五 集合的表示方法
(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，
例如：{a,b,c}。
注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
(二) 描述法：有以下两种描述方式
1．代号描述：【例】方程
x?3x+2=0
的所有解 组成的集合，可表示为{x|x
2
-3x+2=0}。x是集合中元素的代
号，竖线也 可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。
2．文字描述：将说 明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；
描述法表示的集合一旦出现，首先 需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。
(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。
1．子集：如果属于A的所有元素都属于 B，那么A就叫做B的子集，记作：
A?B
，
如图1-1所示。
图
1-1
子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；
(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。
真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，
记作
A?B
或
A?B
。
真子集也是子集，和子集的区别之处在于
A?B
。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。
(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，
有2
n
个子集，有2
n
-1个真子集；
(2)空集的考 查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，
A?B
的等价< br>形式主要有：
A?B?A，A?B?B
。
2．交集：由两个集合的公共元素组 成的集合，叫做这两个集合的交集，记作
A?B
，读作A交B，如图1-2
所示。





图1-2 图1-3 图1-4
3．并集：由两个集合所有元素组成的集合 ，叫做这两个集合的并集，记作
A?B
，读作A并B，如图1-3
所示。
4 ．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作
C
U
A< br>，读作A补，如图1-4
所示。
德摩根公式 ：
2
C
U< br>(AB)?C
U
AC
U
B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合 可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括
号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括 号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，
[2，3]．． ．


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第二章 函数

一 映射与函数的基本概念
(一) 映 射
A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A
集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。
在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。











图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射

(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是n
m
。
(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。
(二) 函数的概念
定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数
值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。
函数三要 素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。
对应法则f：y与x的对应关 系。有解析式和图像和映射三种表示形式
函数与普通映射的区别在于：
(1)两个集合必须是数集；
(2)不能有剩余的象，即每个函数值y
都能找到相应的自变量x与其对应。


图2-4
二 定义域题型

(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式
直接考查：主要考解不等式。利用：在< br>f(x)
中
f(x)?0
；在
0
g(x)
中，
f(x)?0
；在
log
a
f(x)
中，
f(x)
f(x)?0
；在
tanf(x)
中，
f(x)?k
?
?
?
2
；在
f(x)
中，
f(x)?0
；在 a
x
与
log
a
x
中
a?0
且
a?1
，
列不等式求解。
(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。
三 值域题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；
(3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
cx?d
c
y?
y?
(a?0)
(1) ：则且
y?R
。
ax?b
a
(2)
y?
cx?d
(x?2)
：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。
ax?b
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2x
2
?3x?2
(3)
y?
：
2
6x?x?1
(2x?1)(x?2)x?21
?(x?)
，
y?
(2x?1)(3x?1)3x?12
1
y?且y?1
且
y?R
。 则
3
2x?1
(4)求
y?
2
的值域 ，当
x?R
时，用判别式法求值域。
x?x?1
2x?1
2
y?
2
?
yx?(y?2)x?y?1?0
，
??(y?2)
2
?4y(y?1)?0?
值域
x?x?1
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法 ，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单
调性部分知识讲解。
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知
值域 对照求字母取值或范围。
四 函数运算法则
（一） 指数运算法则
①
a
m
?a
n
?a
m?n
②
a
m
?a
n
?a
m?n
③
(a
m
)
n
?a
mn
④
a
m
b
m
?(ab)
m

log
a
b
运用指数运算法则，一般从右往左变形。
（二） 对数运算法则
同底公式：①
a?b
②< br>log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)

M
N
④
log
a
③
log
a
M?log
a
N?log
a
M
n
?nlog< br>a
M

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。
不 同底公式：①
log
a
N?
1
n
log
m
N
n
②
log
a
m
b?log
a
b
③
log
a
b?

log
b
a
log
m
a
m
运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。

五 函数解析式
(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)， (设2x + 3=3-7t)。
11
f(x?)?x
2
?
2
x
x
，求f(x)。 (二) 构造法：如
(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +
?
) + C中系数
(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。
(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。

六 常规函数的图像
常规函数图像主要有：









指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，
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底数越来越大 底数越来越小












幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。

七 函数的单调性
(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越 大y越小，那么原函
数为减函数。
(二) 单调性题型：
1.求单调性区间：先找 到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确
定单调区间。
复合函数法：
?1
1?x
2
： 当0 < x <1时，x↑，x
2
↑，- x
2
↓，↓，
1
↑，
?1
↓
2.判断单调性
(1).求导函数：
f
?
(x)?0
为增函数，
f
?
(x)?0
为减函数
(2).利用定义：设x
1
2
，比较f(x
1
)与f(x
2
)大小，把
f(x
1
)?f(x
2
)
因式分解，看正负。
(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。
3.利用函数单调性：
(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。
(2).比较函数值的大小：画图看
(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。
增函数
x
1< br>?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2

减函数
x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2
)?x1
?x
2

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。
八 函数的奇偶性 (一)定义：如果
f(?x)?f(x)
,则
f(x)
为偶函数；如果< br>f(?x)??f(x)
,则
f(x)
为奇函数。这两个式子有
意义的前提条件是：定义域关于原点对称。
(二)奇偶性题型：
1.判断奇偶性 ：
(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负
(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇
(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式
(2).利用复合函数奇偶性结论：
F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：
F(-x )=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。
3.奇偶函数图像的对称性
偶函数：关于y轴对称
?
若
f(a?x)?f(b?x)
?，
a?b
对称
2
奇函数：关于原点对称
?
若
f(a ?x)?f(b?x)?2m
，
则f(x)关于
x?
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则f(x)关于点(
a?b
，m)?对称
2
九 函数的周期性
(一) 定义：
若
f(x?T)?f(x)
，则
f(x)
为周期函数，
T
为
f(x)
周期
(二) 周期性考点：
1.求周期：
(1).利用f(x)=f(T?+?x)列出方程解出T?=
(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C标准形式，直接读出周期
T?
2.利用周期性：利用公式
f
(x)=f(T?+?x)
(1).求解析式
(2).求函数值
十 函数图像的对称性
(一) 一个图关于点对称：
(Ⅰ)奇函数关于原点对称
(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于(
(二) 一个图关于直线对称：
(Ⅰ)偶函数关于
y
轴对称
(Ⅱ)?
f(a?x)?f(b?x)
，则
f(x)
关于
x?
2
?
?

a?b
，m)对称
2
a?b
对称
2
(三) 两个图关于点对称
(Ⅰ)
y?f(x)
关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，
即-y=f(-x)
(Ⅱ)
y?f(x)
关于
(a,b)
对称的函数：
x?2a?x,y?2b?y
即
2b?y?f(2a?x)

(四) 两个图关于线对称
(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称
(Ⅱ)y=?f(x)关于y=x?+?c对称的函数:x→y-c，y→x+c，
即x+c=?f(y-c)
(Ⅲ)y=?f(x)关于y=-x+c对称的函数:?x→-y+c,y→-x+c，
即-x+c=?f(-y+c)
????????
(Ⅳ)f(x)与f(-x)关于y轴对
?
f(a+x)与f(b-x)关于
x?
b?a
对称???
2

?????????????(Ⅴ)f(x)与-f(x)关于x轴对称
十一 原函数与反函数
反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。
（一） 求反函数：先反表示，再
x,y
互换；或先
x,y
互换再反 表示。一个函数有反函数的前提条件是在整
个定义域内具有严格的单调性。
（二） 利用原函 数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反
函数可依据以下 结论解题。
1．定义域、值域：
原函数自变量等价于反函数函数值，
原函数函数值等价于反函数自变量；
原函数定义域等价于反函数值域，
原函数值域等价于反函数定义域。
2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性
3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
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4．对称性：原函数与反函数图像关于
y ?x
对称，原函数与反函数交点一定在
y?x
上。



第三章 立体几何

一 平行关系
（一） 线线平行(图3-1)
1．如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.
2．如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的平面与已知平面的交线.
图3-1
3．如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相平行.
4．如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.
5．在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.
（二） 线面平行(图3-2)
1．如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么直线与平面平行.
图3-2
2．如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直 线平行于另一个平面
3．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行
4．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行
（三） 面面平行(图3-3)
1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面面平行
2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行
图3-3
3.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行

二 垂直关系
大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另一个位置证垂直。
（一） 线线垂直
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。
（二） 线面垂直
1．如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在的平面
2．如果两个平面垂直，在其中一个平面内，垂直于公共棱的直线垂直于另一个平面
（三） 面面垂直 (如图3-4)
1．过一个平面垂线的平面垂直于已知平面
2．二面角为直角的两个平面垂直 图3-4
（四） 不能直接证垂直的情况
1．把已知线或面平移到容易证明垂直的位置
2．找和已知线或面平行的线或面证垂直

三 距离问题
1．能做出垂线段的直接求距离，垂足一定是特殊点(顶点，中点 ，内心，外心)或在特殊直线(棱或对角线)上
2．不能做出垂线段的，转移后求距离： 点到面 → 线到面 → 面到面
3．等体积性：
S
1
?h
1
?< br>1
3
1
S
2
?h
2
，找到三个量就可以求出 另一个量。
3

四 多面体概念辨析与边长、面积、体积
（一） 题型分类总描述
概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正 方体系列概念的对比，
或正四面体，正四棱锥系列。
边长：将边长放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。
面积：找底和高
体积：一般底面积好求，高看成是距离用上文“求距离”的方法求。
（二）棱柱
1．概念
棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体 叫棱柱。两个互相平行
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的 面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线< br>段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)
2．棱柱的分类：
(1)总体分类：
a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
b.直棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。
c.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
例： 正四棱柱
(2)四棱柱分类：
a.普通四棱柱：上下底面是四边形的棱柱。如图3-5
b.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。如图3-6
c.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。如图3-7
d.长方体：底面是矩形的直平行六面体是长方体。如图3-8
e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱
f.正方体：棱长都相等的长方体叫正方体。如图3-9

图3-5 图3-6 图3-7 图3-8 图3-9
(3)棱柱的体积公式：
V?Sh
(
S
为底面积，
h
为高)

五 棱锥
（一）概念：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形 ，这样的多面体叫棱锥。其中有公共顶点的三角形
叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公 共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，
叫棱锥的高(垂线段的长也简称高)．
（二）棱锥的分类：
1.按底面多边形的边数分类：
分别称底面是三角形，四边形 ，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥五棱锥……三棱锥也叫做四面体(如图
3-10)，各个面都是正 三角形的四面体叫正四面体。四棱锥如图3-11 .五棱锥如图3-12
图3-10 图3-11 图3-12
2.正棱锥：
底面是正n边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫“正n棱锥”

1
Sh
(
S
为底面积，
h
为高)
3< br>注：在棱锥中涉及到表面积或体积时经常需要连出底面高
h
和斜高
h
?
。
如图3-13 图3-13

六 正多面体
1．正多面体的概念：
每个面都是有相同边数的全等的正多边形， 每个顶点为端点都有相同棱数
的凸多面体，叫做正多面体．
（1）．正方体:是一类非常特别 的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱．正方体我们也可以
称为正六面体．
（2）．正四面体:它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱
2．正多面体的特性：
正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：
（三）棱锥的体积公式：
V?
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（1）．每个面都是有相同边数的全等的正多边形；
（2）．每个顶点处都有相同数目的棱．
由定义可以得知：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．
3．正多面体的种类：
正多面体共有五种，它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。如下图。



七 球
（一） 球的定义
第一定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。
第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合
（二）球的截面与大圆小圆
截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面
大圆：过球心的截面圆叫大圆， 大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长
小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 如图所示。

（三）球的表面积与体积
①球的表面积公式：
S?4
?
R
2
. ②球的体积公式：
V?
?
R
3
.
4
3
（四）纬度、经度：
1．纬度：地球上一点
P
的纬度 是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的角的度数.
2．经度：地球上
A,B
两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的大小

第四章 直线和圆

一 直线
(一)直线的独立图形：
1．定义：

?
?[0,
?
)
，
k?t an
?
?
y
1
?y
2

x
1
?x
2
2．方程：题型是求直线方程
(1) 点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)
不能表示斜率不存在的直线，如 右图


(2) 斜截式
y?kx?b
不能表示斜率不存在的直线，如右图

y?y
1
x?x
1
?
(3) 两点式 不能表示和坐标轴平行的直线，如右图
y
2
?y
1
x
2
?x
1

(4) 截距式

(5) 一般
Ax?By?C?0
能表示所有直线
3.性质(即解题结论)
(1)
l
1
?
?
l
2
?0
表示过
l
1
、l
2
交点所有直线(除了
l
2
)：
xy
??1
不能表示与坐标轴平行的直线以及过原点的直线，如图
ab
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例如：2x?3y?5?
?
(x?2y?2)?0

(2) A点与 线段BC上所有点的连线斜率的取值范围？过A点作一条竖直的直
线，在竖线两侧，逆时针旋转，斜率逐 渐增大。
(二)直线与其他图的位置关系
1．位置关系的判定

(1) 点与直线位置关系
?
y?kx?b在直线上
?

?
y?kx?b在直线上方

?
y?kx?b在直线下方
?

(2) 两直线平行的判定
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
A
1
B
1
C
1

这两条直线平行的等价条件是 ??< br>?
Ax?By?C?0
ABC
?
222
222
?y?k
1
x?b
1
这两条直线平行的等价条件是 k
1
?k
2
且b
1
?b
2

?
?
y?k
2
x?b
2
(3) 两直线垂直
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
这两条直线垂直的等价条件是 A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
?
Ax?By?C?0
?
222
?
y?k
1
x?b
1
这两条直线垂直的等价条件是 k
1
k
2
??1

?
y?kx?b
?
22
2．求量
（1）、点与线不同位置关系的求量问题
a.点
?
x
0
, y
0
?
到直线
Ax?By?C?0
的距离为：
d?Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

?
y
0
?y
B
?
?
?
x
0
?xA
b.点
?
x
0
,y
0
?
关于直线< br>Ax?By?C?0
的对称点
?
x,y
?
的求法：
?

?
A
x?x
0
?B
y?y
0
?C?0
?
22
?
（2）、线与线不同位置关系的求量问题
C
1
?C
2
?
Ax?By?C
1
?0
a .
?
两条平行线的距离：
d?

22
Ax?By?C?0
2
A?B
?
二．圆

(一)圆的独立图形
1．定义： 主要考定义中轨迹一词

求轨迹题型:
(1)直接求
a.设点
(x,y)

b.列关于
x,y
的等式
c.把所有未知量全转化为
x、y

(2)、间接求
a.设点(x,y)
和必须联系的点
(x
0
,y
0
)

b.列关于
(x,y)
，
(x
0
,y
0
)
的等式
c.解出
x
0
?f(x,y)
，
y
0
?f(x,y)

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d.把
x
0
,y
0
代入满足的方程
(3)、根据平面几何的结论和曲线定义直接写出轨迹
2．圆的方程：
标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

一般式：
x?y?Dx?Ey?F?0

题型：
求方程，相当于求方程里字母取值
(1)
D,E,F
(已知圆上三点坐标)
(2)
a,b,r
(其他情况)
求方程就是求三个系数，需要列出关于系数 的等式。如果只能列两个，那另一个条件一定可以通过画图看出
来。
3．圆的性质：
C
1
?
?
C
2
?0

(1)
?
??1
时 表示过两圆交点的所有圆(除了
C
2
)

(2)
?
??1
时表示过两圆交点的直线，前提是两圆有两个交点，如果没有交点，
上式没有结论

(二)圆与其他图形的位置关系
1．判定：
(1)点与圆的位置关系
把点
(x
0
,y
0
)
代入圆方程
22< br>222
?
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
在圆外
?
222
?
(x< br>0
?a)?(y
0
?b)?r在圆内

?
222(x?a)?(y?b)?r在圆上
00
?
(2)、直线与圆的位置关系
a.圆心到直线距离与
r
比较
b.看
?

(3)、圆与圆的位置关系

圆心距与
r
1
r
2
的和或差的比较

2．求量：
(1)过圆上一点
(x
0
,y
0
)
的切线方程是：

(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
；
xx
0
?yy
0
?D





x?x
0
y?y
0
?E?F?0

22
知识改变命运

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第五章 算法
一 算法的概念
算法的定义：解决问题的过程。
特征：有限性，可行性，确定性。
算法设计要遵循简易的原则。
二 程序框图
1定义
程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来表示算法的图形
2框图的常用符号
3.算法的基本逻辑结构 —顺序结构、条件结构、循环结构。

三 输入、输出语句和赋值语句
（一）、输入语句
；变量
INPUT语句。这个语句的一般格式是：
INPUT “提示内容”

其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：

INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，

变量2，变量3，…


注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。

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②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。
（二）、输出语句
；表达式
PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：
PRINT “提示内容”

同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
输出语句的用途：
(1)输出常量，变量的值和系统信息。(2)输出数值计算的结果。
（三）、赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句， 赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：
变量=表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把 这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等
于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
四 条件语句和循环语句
（一）、条件语句
IF 条件 THEN
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它
语句1
的一般格式是：(IF-THEN-ELSE格式)
ELSE
语句2

END IF




当计算机执行上述语句时，首先对 IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则
执行ELSE后的语句2。
IF 条件 THEN
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：(即IF- THEN格式)
语句

END IF

计算机执行这种形式的 条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符
合，就执行THEN后的语句，如果条件不 符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他
语句。
条件语句的作用：在程序执行过程中，根 据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计
算机按条件进行分析、比较、判断，并 按判断后的不同情况进行不同的处理。

WHILE 条件
（二）、循环语句
循环体
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两
WEND
种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型
(UNTIL型)两种语 句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
(1)WHILE语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面
循环体
的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，

满足条件？
是
就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果
否
条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不
DO
符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，
循环体
接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”
LOOP
循环。
UNTIL 条件

(2)UNTIL语句的一般格式是： < br>从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循
环体，然后进行条件的判断， 如果条件不满足，继续返回执
循环体
行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条
否
件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，
知识改变命运

满足条件？
是

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是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

五 算法高考考点
算法这一章有两个考点：
一、算法的识别，即能否看得懂算法的书写。 二、算法的设计和书写。
高考只以一道选择题（5分）或填空题（4分）的形式考查。
算法 共有三种表示形式：一、自然语言叙述，二、程序框图，三、程序语句。高考重点考查“程序框图”的识
别，解决问题的方法是以读程序框图为手段，适当模仿书写程序框图，可以确保此章节在高考中得分。

第六章 概率
一 事件
（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象
（二 ）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现
象
（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下， 可能发生，也
可能不发生的事件，叫做随机事件
二 概率
在相同条件下，随着试 验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用
这个常数来刻画该随 机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。
1.概率： 一般地，如果随机事件
A< br>在
n
次试验中发生了
m
次，当试验的次数
n
很大时， 我们可以将发生的
频率
m
m
作为事件
A
发生的概率的近似值 ，即
P
?
A
?
?

n
n
2．概率的性质：
①随机事件的概率为
0?P(A)?1
，
②必然事件和不可能事件看作随机 事件的两个特例，分别用
?
和
?
表示，必然事件的概率为
1
，不可能事件的概
率为
0
，即
P
?
?
?
? 1
，
P
?
?
?
?0
;
3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定 ”在某
一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件 的概率;
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件 出现的频繁程度，
它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.
1.随机事件的概率：
我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的 大小，它是在
0
～
1
之间的一个数，
将这个事件记为
A，用
P
?
A
?
表示事件
A
发生的概率.
三 古典概型
1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能 基
本事件。
3、如果一个随机试验满足：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的； 那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有
n
个，那么，每个等可 能基本事件发生的概率都是
了其中
m
个等可能基本事件，那么事件
A
发生的概率为
P(A)?
1
；如果某个事件
A
包含
n
m
．
n
5、古典概型解题步骤：
⑴阅读题目，搜集信息； ⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件总数
n
和事件
A
所包含的结果数
m
； ⑷用公式
P(A)?
m
求出概率并下结论.
n
四 几何概型
１．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定 的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被
知识改变命运

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取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的 点．这里的区域可
以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等．
３．几何概型的概率：
一般地，在几何区域
D
中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域
d
内＂为事件
A，则事件
A
发生的
d的测度
．
D的测度
说明：（１）
D
的测度不为
0
；
概率< br>P(A)?
（２）其中＂测度＂的意义依
D
确定，当
D
分别是 线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是
长度，面积和体积．
（３）区域为＂开区域＂；
（４）区域
D
内随机取点是指：该点落在区域内 任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与
该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

第七章 统计
第一部分 抽样方法
一 总体、个体、容量
一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本的容量。
二 简单的随机抽样
1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（< br>n?N
），如果每次抽取
时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫 做简单随机抽样。
2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。
3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为
n
。
N
三 系统抽样
1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按 照预先定出的规则，从每一部分抽取1个
个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。
2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样本”四步。
3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值
k?
N作为分段间隔．如果
k?
N
不
nn
是整数，可以先从总体中随机 地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，
确定第一段的起始号 ．继而确定整个样本。
四 分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分 成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，
这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层 。
利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。
注意
（ 1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而 且在每
层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。
五 三种抽样方法的比较
（1）列表比较：
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
抽
过程种
个个体
抽取的
会均等
样
每
被
机
简单
随机
抽样
从总体中逐个抽取

总体种的个
体数较少
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将总体均匀分成几
部分，按事先确定的规
则在各部分抽取
将总体分成几层，分层
抽样时采用简单随机抽
样或系统抽样
在起始部分
抽样时采用
简单随机抽
样
各层抽样时
采用简单随
机抽样或系
统抽样
系统
抽样
总体种的个
体数较多
分层
抽样
总体由差异
明显的几部
分组成

(2)简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了
这些方法的客观性和公平性， 其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都
要用到简单随机抽样方 法，抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一
均衡部分，又可 采用简单随机抽样。
六 抽样方法的选择
(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们 的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一
样的。
(2)对于系统抽 样和分层抽样．如果
N
不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概率不变，如从1003个
n
总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为
10001010
?
1
(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。
(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要求被抽取样
本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。
(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整除时，应注意如何从
总体中剔除一些个体．
（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部 分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：①分层；②按比例
确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇 合成样本。

第二部分 用样本估计总体
一 用样本估计总体
(1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所 有数据(或者数据组)的频率的分
布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶 图，频率分布直方图来表示．
(2)频率分布折线图
连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。
(3)总体密度曲线
①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近 于总体在各个小组内所取值的个数与
总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小 ，则频率分布直方图实际上是越来越接近于
总体的分布，它可以用一条光滑曲线
y?f(x)< br>来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各 个区域内取值的规
律．产品尺寸落在(a
，
b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面 积．对
本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据
大致呈对称分布， 并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
(4)茎叶图表示数据有两个突的优点
其一是 统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图
中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录 于表示。
二 众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中 间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位
数。
x
1
?x
2
???x
n
叫做这几个数的平均数。
n
如果在几个数中，
x
1
出现
f
1
次，< br>x
2
出现
f
2
次，
x
k
出现
f
k
次，（这里
f
1
?f
2
???f
n
?n
)，那么
(3)如果有几个数
x
1
,x
2< br>?,x
n
那么
x?
知识改变命运

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x?
1
(x
1
f
1
?x
2f
2
???x
k
f
k
)
叫做这几个数的加权平均数。
n
(4)标准差与方差
考察样本数据的分散程度 的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，
一般用s表示。 设一组数据
x
1
,x
2
?,x
n
的平均数为< br>x
，
则
s?
2
1
?
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
?
，其中
s
2
表示方差而s表示标准差
。

?
n
?
三 频率分布图(表)和频率分布直方图
( 1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据
在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布 。
(2)作频率分布直方图的步骤：
①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。 ②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注< br>意：a．一般样本容量越大，所分组数越多；b．为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c．当样本容 量不超过
100时，按照数据的多少，通常分成5组～l2组．
③将数据分组．
④计算各小组的频率，作频率分布表。．
⑤画频率分布直方图。
(3)总体密度曲 线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不断加密，频率分布折
线就会越来越 光滑，最终形成总体密度曲线．总体密度曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比，实际上，
尽管有 些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计
就越准确．
四 茎叶图的应用
(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．
(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。
在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的不太方便了。
五 标准差和方差的关系及计算
(1)标准差的平方就是方差，即
s
2
?
1
?
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
?

?
n
?
2
（2）方差的计算
1
?
(x< br>1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x< br>n
?x)
2
?

?
n
?
2
1
222
?
，
Ⅰ)s
2
?
?
(x?x???x)?nx
②简化计算公式
(
12n
??
?
n
?
2
1
2222
或写成
s?(x
1
?x
2
???x
n
)?x
。即 方差等于数据平方的平均数减去平均是的平方。
n
1
?
2
?x2
?
2
???x
n
?
2
)?nx
?< br>2
?

Ⅱ)s
2
?
?
(x
1
③简化计算公式
(
?
n
?
①基本公式
s?
当一组 数据中的数据较大时，可仿照简化平均是的据算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均是接近
?< br>?x
1
?a,x
2
?
?x
2
?a,?xn
?
?x
n
?a
那么 的常数a，得到一组新数据
x< br>1
1
?
2
?
?x
2
?
2
? ??x
n
?
2
)?nx
?
2
?

(x
1
?
n
?
1
22
?
?x
2< br>?
2
???x
n
2
)?x
?
2
。 也可以写成
s?(x
1
n
s
2
?
即方差等于 新数据的平方平均数减去新数据平均数的平方。
知识改变命运

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?
?x
1
?a,x
2
?
?x
2
?a,?x
n
?
?x
n
?a
的方差相等。 ④原数据
x
1
,x
2
?,x
n
的方差与新数据
x
1
即
x
1
,x
2
?,x
n的方差
1
?
(x
1
?
?x)
2
? (x
2
?
?x)
2
???(x
n
?
?x)
2
?

?
n
?
2
等于原数据
x
1
,x
2
?,x
n
的方差
s
。
s
?
2
?
（3）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数 来比较两组数据的波动大小。方差较大
的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的 平方，标准差的单位与原数据的单位相同，不
要漏写单位。




第八章 三角函数
一 任意角的概念与弧度制
（一）角的概念的推广
1、角概念的推广：
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就 是多少度角。按不同方向旋转的角
可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的 叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它
叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边 ，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角
的终边。
2、特殊命名的角的定义：
(1)正角，负角，零角 ：见上文。
(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边 所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等
(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

??
终边在y轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180?90,k?Z
?

终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?90,k?Z
?

??
?
(4)终边相同的角：与
?
终边相同的角x?
?
?2k
?

(5)与
?
终边反向的角：
x?
?
?(2k?1)
?

终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z

?
终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|?
?k?180
?
?45
?
,k?Z

(6) 若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

(7)成特殊关系的两角
若角
?
与角
?
的终边关于x轴对 称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?18 0
?
?
?

若角
?
与角
?
的终边 互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?< br>k?
?
?90
?

注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.
3、本节主要题型：
1.表示终边位于指定区间的角.
1:写出在
?720?
到
720 ?
之间与
?1050?
的终边相同的角.
2:若
?
是第二 象限的角,则
2
?
,
?
?
?
?
2
是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.
3:①写出终边在
y
轴上的集合.
②写出终边和函数
y??x
的图像重合,试写出角
?
的集合. < br>③
?
在第二象限角,试确定
2
?
,
??
23
,
所在的象限.
知识改变命运

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④
?
角终边与
168?
角终边相同,求在
[0?,360? )
内与

（二）弧度制
1、弧度制的定义：
?
?
?
终边相同的角.
3
l

R

2、角度与弧度的换算公式：
360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
一个式子中不能角度,弧度混用.
3、题型
（1）角度与弧度的互化
例:
315?,330?,
?
,
?

（2）
?
?
7
6
4
3
L11
2
，
l? r
?
,s?lr?r
?
的应用问题
R22
2
1: 已知扇形周长
10cm
,面积
4cm
,求中心角.
2:已知扇形弧度数为
72?
,半径等于
20cm
,求扇形的面积.
3:已知扇形周长
40cm
,半径和圆心角取多大时,面积最大.
4:?
1
??570?,
?
2
?750?,
?
1< br>?
?
,
?
2
??
?

a.求出
?
1
,
?
2
弧度,象限.
b.< br>?
1
,
?
2
用角度表示出,并在
?720?~0?< br>之间找出，他们有相同终边的所有角.
二 任意角三角函数
（一）三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
3
5
7
3
正弦sin
?
?
yxyx
,余弦cos
?
?,正切tan
?
? ,余切cot
?
?
2、三角函数的定义域：
rrxy
定义域 三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?



（二）单位圆与三角函数线
1、单位圆的三角函数线定义
如图(1)PM表示?
角的正弦值，叫做正弦线。OM表示
?
角的余弦值，叫做余弦线。
如 图(2)AT表示
?
角的正切值，叫做正切线。
AT
?
表示
?
角的余切值，叫做余切线。
注：
线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负
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（三）同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系式
(1)
sin
?
?csc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
?1

(2)商数关系：

sin
?
co
?
s
?tan
?

?co
?
t

cos
?
sin
?
222222
(3)平方关系：
sin
?
?cos
?
?1< br>，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?csc
?


（四）诱导公式
sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)?cosx
sin?(x) ??sinx
cos?(x)?cosx
?(x)??tanx

tan(2k
?
?x)?tanx

tan
co t?(x)??coxt
cot(2k
?
?x)?cotx
sin(
?
?x)??sinx
sin2(
?
?x)??sinx
cos(< br>?
?x)??cosx
tan(
?
?x)?tanx
cos2 (
?
?x)?cosx
tan2
?
(?x)??tanx

cot(
?
?x)?cotx

cot2
?(?x)??coxt
sin(
?
?x)?sinx
1
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(
?
?x)? ?cosx
2
1

?

?

?

)

?

sin

?
cos(
tan(
?
?x)??ta nx
2
1
cot(
?
?x)??cotx
tan(
?
?
?
)?cot
?

三 三角函数的图像与性质
（一）基本图像：
1．正弦函数




2．余弦函数

3．正切函数
1
cos(
?
?
?
)??sin
?
2
1
sin(
?
??
)?cos
?
2
1
tan(
?
?
?
)??cot
?
2
2

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4.余切函数
（二）、函数图像的性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y?sinx

y?cosx
R
定义域
值域
周期
奇偶 奇函数
R

xy?tan

?cotxy

?
x|x?R且
1
x?k
?
?
?
?
2
?
x|x?R且x?k
?
?
R R

[?1,?1]

[?1,?1]

2
?

偶函数

上为增函数
2
?

?

奇函数
?

奇函数
[?
?
2
?2k
?
,
[
?
2k? 1
?
?
,
2k
?
]
?
2
单调
上为增函数
?
?
?
?
?
??k
?,?k
?
?
上
2
?
2
?
为增函数
(
k?Z
)
?
k
?
,k
?
?
?
?

上为减函数
(
k?Z
)
?2k
?
]

2
上为减函数
3
?
?2k
?
]
2
(
k?Z
)
对称轴为
x?k
?
?
?
，对
2
对称 称中心为
[
?
?2k
?
,
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
上为减函数
(
k?Z
)

对称轴为
x?k
?
，
对称中心为
无对称轴，
对称中心为
无对称轴，
对称中心为
(k
?
,0)
，
k?Z
(k
?
?
?
2
,0)
k?Z

(
k
?
,0)
k?Z
2

(
k
?
,0)
k?Z

2

（三）、常见结论：
1.
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
2.
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?co s(
?
x?
?
)
(
?
?0
)的周期
T?
3.
y?tan
2
?
?
.
x
的周期为2
?
.
2
4.
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
(
k?Z
)，对称中心(
k
?
,0
) ；
y?cos(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x? k
?
(
k?Z
)，对称中心(
k
?
?
1< br>?
,0
)；
2
k
?
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心(
,0
).
2
tan?
?1,
?
?
?
?k
?
?
5.当tan
?
·
?
2
(k?Z)
；
?
·
tan
?
??1,
?
?
?
?k
?
?

tan
?
2
(k?Z)

6.函数
y?tanx
在
R
上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，
同样也是错误的.
7.奇函数特 有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.(
0?x
的定义域，则无此性质)
8.
y?sinx
不是周 期函数；
y?sinx
为周期函数(
T?
?
)；
y?co sx
是周期函数(如图)；
y?cosx
为周期函数(
T?
?
)；
y?cos2x?
1
的周期为
?
(如图)，并非所有周期函 数都有最小正周期，例如：
2
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▲
y
x
y=cos|x|图象










▲
y
12
x
y=|cos2x+12|图象


四 和角公式
两角和与差的公式
cos(
?
?
?)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>
tan(
?
?
?
)?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?

tan(
?
??
)?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

s in(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?c os
?
sin
?

五 倍角公式和半角公式

（一）倍角与半角公式：
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?

sin
?
2
??
1?cos
?

2
?
2
??
1?cos
?

2
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2 cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
< br>cos
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

tan
?
2
??
1?co s
?
sin
?
1?cos
?
??

1?c os
?
1?cos
?
sin
?
（二）万能公式：

2
?
?
2tan
sin
?
?
1 ?tan
2
2
1?tan
?
2


cos
?
?
1?tan
2
?

2
2
2tan
tan
?
?
?
2
1?tan
2
?
2
六 三角函数的积化和差与和差化积公式
1
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?< br>?
?
?
?
2
?
1
cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
??
2< br>
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
??
?
?
?
2
?
1
sin
?
s in
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
2?
sin
?
cos
?
?
sin
?
?s in
?
?2sin
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
?
?
?
2
cos
?
?
?
sin
2
?
?
?
2
< br>cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?< br>2
sin
?
?
?
2

知识改变命运

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sin15
?
?cos75?
?
6?2
6?2
??
,
sin75?cos15?
,
4
4
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,
tan75
?
?cot15
?
?2?3




第九章 解三角形
一 正弦定理
（一）知识与工具：
正弦定理：在△ABC中，
abc
???2R
。
sinAsinB sinC
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：S=
1abc
absinC==2R
2
sinAs inBsinC
24R
A?BCC
A?B
=cos，cos=sin
2
22
2
(4)三角函数的恒等变形。
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例如：
sinA?3sinB?2sin
题型3 三角形解的个数的讨论
方法一：画图看
222
C?a
2
?3b
2
?2c
2


方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符 合实际意义，
从而确定解的个数。
二 余弦定理
（一）知识与工具：
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2?a
2
222
a=b+c﹣2bccosA cosA= b=a+c﹣2accosB cosB=
2ac
2bc
222
a2
?b
2
?c
2
c=a+b﹣2abcosC cosC=
2ab
222
注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时 ，常使用余弦定理。在变形中，注
意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°； (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(3)面积公式：S=
abc
1
absinC==2R
2
sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。
4R
2
（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型
题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一 式子中既有角又有边的题，要将所有角转化
成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
题型3 判断三角形的形状
知识改变命运

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结论：根据余弦定理，当a
2
+b
2
＜c
2、b
2
+c
2
＜a
2
、c
2
+a2
＜b
2
中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，
而当a
2
+b
2
＞c
2
、b
2
+c
2
＞a
2
，c
2
+a
2
＞b
2
中有一种关系 式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。
判断三角形形状的方法：
(1)将已 知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的
形状。
(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而 判断
出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。
正余弦定理在实际中的应用
两点间不可通又两点间可视但不两点都不可达
不可视 可达
求
距
离
底部可达
求
高
度


底部不可达



题型1 计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计 实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和< br>余弦定理进行求解。
（三）其他常见结论
a?b?c
斜
2S
?
， 特别地，
r
直
?

2
a?b?c
2三角学中的射影定理：在△ABC 中，
b?a?cosC?c?cosA
，…
3两内角与其正弦值： 在△ABC 中，
A?B?sinA?sinB
，…
1三角形内切圆的半径：
r?

第十章 平面向量
一 向量的概念
向量的常识性概念
1．向量：既有大小又有方向的量
2．向量的表示：图形表示 ，箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的大小；字母表示，向 量
可以写成
AB
,
a
(手写版)或
a
(印刷版)
3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
4．向量共线或平行：两个 向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。
a
与
b
平行或共线 的等价条件是：
a=kb

图9-1
二 向量的加减法运算

（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角度来理解，再利用加法
交换 律算减法
1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量的和等于以这两个向量的临边的平行四边形的对角
线表示的向量
AB?AD?AC
图9-1
2.三角形法则(如图9-2)： 首位相连的两个向量之和
等于另一个向量(与前两个不首尾相连)
AB?BC?AC
，
AC?AB?BC
图9-2
3.多边形法则(如图2-3)：首尾相连的若干个向量之和等于另一个向量
AB?BC?CD ?DF?A

F

所表示的向量等于4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线
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两临边向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线法则解题。 图中 D 为 BC 中点。
图9-3
AB?AC?2AD




图9-4
(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始 点相同，终点落在同一条直线上的三个向量，其中任何一个可以用
其他两个乘以系数加和表示。两个系数 之和一定为1。凡在同一个图中出现以下形式的三个向量，一定用此结论解题。证明
过程如下：
结论：
AB?m
1
AC?n
1
ADm
1
? n
1
?1

m
2
?n
2
?1

m
3
?n
3
?1

b
2
AC?m
2
AB?n
2
AD
AD?m
3
AB?n
3
AC
（二）坐标运算：基本运算法则
已知
a?(
1
x,< br>1
y),?
，
,y
a?b
(x)
?(x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b ?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

ka?(kx
1
,ky
1
)?a?(?x
1
,?y
1
)
，表示与
a
大小相等方向相反的向量，叫
a
的 相反向量。



三 向量的乘法运算
（一）坐标运算： < br>已知
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。
（二）向量的公式运算：
1．乘法公式：
a?b?a?b?cos
?

?
是
a
与
b
的夹角，
?
?
?
0,
?
?

2．混合运算公式：
(1)
a?bc?d?a?c?a?d?b?c?b?d

(2)
a?b?b?a

(3)
a?b?c?c?b?a
即多个向量相乘除不能改变运算顺序。

四 向量运算的应用
2
（一）求向量的模：根据向量的乘法公式
a?a
=
x?y

2
22
????
（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式
cos< br>?
?
a?b
a?b
，凡是提到向量夹
角，一律列向量乘法公式 解题。 图9-6
（三）投影问题(如图9-6 )：
a
在
b
上的投影就是
a cos
?
，只有乘法运算中才能出现这种形式，凡是提到一个向量
在另一个向量上的投 影，一定要列这两个向量的乘法公式解决问题。
（四）向量垂直：
a?b?夹角
?
?90
o
?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

ab?a?kb?x
1
y
2
?x
2
y

1
第十一章 数列
第一部分 等差数列
（五）向量平行：


一 定义式：
a
n
?a
n?1
?d

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二 通项公式：
a
n
?
?
?a
m
?(n?m)d

?a?(n?1)d< br>?
1
一个数列是等差数列的等价条件：
a
n
?an?b
(a，b为常数)，即
a
n
是关于n的一次函数，因为
n?Z
，所 以
a
n
关
于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三 前n项和公式：

S
n
?
n(a
1
?a
n
)
………… ①
2
?na
中间项
………… ②
n(n?1)
d
…… ③
2
?na
1
?
按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③
S
n
?an
2
?bn
(a，一个数列是等差数列的另一个充要条件：b为常数，a≠0)， 即
S
n
是关于n的二次函数，因为
n?Z
，
所以
S
n
关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 性质结论
(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
(二)
a
与
b
的等差中项
A?
a?b
；
2
在等差数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p ?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
；若
m?n?2p
，则
a
m
?a
n
?2a
p
；
(三)若等差数列的项数为2
nn?N
?
?< br>?
，则
S
偶
?S
奇
?nd，

S
奇
S
偶
?
a
n
；
a
n?1
S
偶
n

n?1
若等差数列的项 数为
2n?1n?N
?
，则
S
2n?1
?
???
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S偶
?a
n
，
S
奇
?
B?a
n?1?a
n?2
(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设
A ?a
1
?a
2
???a
n,
，
C?a
2n ?1
?a
2n?2
???a
3n
，则有
2B?A?C
；
(五)
a
1
?0
,
S
m
?S
n
,则前
S
m?n
(m+n为偶数)或
S
m? n?1
(m+n为奇数)最大
22
???a
2n
，

第二部分 等比数列
a
n
?q(n?2,a
n
?0, q?0)?{a
n
}
成等比数列。 一 定义：
a
n?1
二 通项公式：
a
n
?a
1q
n?1
，
a
n
?a
m
q
n?m
数列{a
n
}是等比数列的一个等价条件是：
S
n
?a(b
n
?1),(a?0,b?0，1）
当
q?0
且
q ?0
时，
a
n
关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
(q?1)
?
na
1
?
n
三 前n项和：
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n?1
q
；
?(q?1)
?
1?q1?q
?
(注意对公比的讨论)
四 性质结论：
(一)
a
与
b
的等比中项
G
?G?a b?G??ab
(
a,b
同号)；
(二)在等比数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
若
m?n?2p，则
a
m
?a
n
?a
p
；
(三)设
A?a
1
?a
2
???a
n,
，
B?a< br>n?1
?a
n?2
???a
2n
，
2
2< br>C?a
2n?1
?a
2n?2
???a
3n
， 则有
B
2
?A?C

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第三部分 求杂数列通项公式
a
n

一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。
第一类： < br>3a
n
?2a
n?1
?5?0?3(a
n
?5)?2 (a
n?1
?5)

a
n
?5
2
???{ a
n
?5}
a
n?1
?53
22
n?1
是 公比为的等比数列
?a
n
?5?(a
1
?5)()
，从而求 出
a
n
。
33
第二类：
a
n?1
?3 a
n
?4n?8?0?a
n?1
?2(n?1)?5?3(a
n?2n?5)
a?2(n?1)?5
?
n?1
?3
a
n
?2n?5
是公比为3的等比数列
?

?{a
n
?2n?5}

a
n
?2n?5?(a
1
?7)?3
n?1
. < br>第三类：
a
n
?a
n?1
?3n
，系数之比为1的时 候用叠加法。
第四类：既有
S
n
又有
a
n
利用< br>S
n
?S
n?1
?a
n
，将所有S换成a，或者将所 有a换成S。
第五类：关于
a
n
与
a
n?1
的二 次式，或者
S
n
与
S
n?1
的二次式，先因式分解成一次式 ，再构造等比数列。

二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
例如：
a
n?1
?1
?a
n
?1
，
2a
n?1
?1
两边取倒数
?
第二类：
1111
???2(n?1)
，是公差为2的等差数列从而求出
a
n
。
?2??{}
a?1a?1
a
n?1
?1a
n
?1a
n
?1
n1
1
(n
2
?1)a
n< br>?n
2
a
n?1
?n(n?1)?

n?1n
?
n?1
?
a
n
?
是公差为1的等差数列
a< br>n
?a
n?1
?1?
?
nn?1
?
n
?
n?11?12n

?a
n
?a
1
?a
n
?
n1n?1
三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如
a
n
?na
n?1
?a
n
?nn?
?1a
?
n
【注:
n!?n(n?1)(n?2)
?2
?????a
n
?na!
1

1
】
求通项公式
a
n
的题，不能够利用构造等比或者构造等差求
a
n的时候，一般通过递推来求
a
n
。

第四部分 求前n项和
S
n

一 裂项分组法：
111
???1?22?33?4
11n
???
1n?1n?1
?
11111 11
?(?)?(?)?(?)?
（nn?1）122334
11
?(?)< br>nn?1
、
11111111
1,2,3,4,的前n和是：（1+2+3+ 4+）+（+++?）

392781392781
二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
S< br>n
=x?3x
2
?5x
3
??(2n-5)x
n-2
?(2n-3)x
n-1
?(2n-1)x
n
(x?1)
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S
n
=x?3x
2
?5x
3
?
xS
n
=x2
?3x
3
?5x
4
①减②得：
?(2n-5)x< br>n-2
?(2n-3)x
n-1
?(2n-1)x
n
(x?1)
①
?(2n-5)x
n-1
?(2n-3)x
n
?(2n-1)x
n+1
(x?1)
②
(1?x)S
n
=x?
?
2x
2
?2x
3
??2x
n-1
?2x
n
?
?
?
2n?1
?
x
n+1< br>?x?
从而求出
S
n
。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式
(3)用①
?
②，错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
1：等差数列求和：
2x
2
?
1?x
n-1
?< br>1?x
?
?
2n?1
?
x
n+1

S
n
=a
1
?a
2
?a
3
?
两式 相加可得：
?a
n?2
?a
n?1
?a
n
?a< br>3
?a
2
?a
1
S
n
=a
n
?a
n?1
?a
n?2
?

2S
n
=
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?
?
a
3
?a
n ?2
?
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?
?
a
1
?a
n
?
?n
?
a
1
?a
n
?
?S
n
2：设
f(x)?
?
?
a
3
?a
n?2
?

1
.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
2
x
?2
f(?5)?f(?4)?......?f(0)?......f(5)?f(6)
的 值为_________.
S
n
?f(?5)?f(?4)??f(5)?f(6)
①
S
n
?f(6)?f(5)?
①+②得
?f(?4)?f(?5)
②
2S
n
?
?
f(?5)?f(6)
?
?
?
f(?4)?f(5)
?
?< br>?
?
f(6)?f(?5)
?
?
?
f(5)?f(? 4)
?

112
f(?n)?f(n?1)?
? n
?
n?1
?
,
2
2?22?2
∴
S
n
?32


第十二章 不等式
一 不等式的证明
证明不等式选择方法的程序：
①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；
②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；
③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：
a
2
?b
2
a?b2
(当a = b时取等)
??ab?
11
22
?
ab
3
abc?
a ?b?c
，
a
1
?a
2
?a
3
?a
1
?a
2
?a
3
，
a?b?a?b?a?b(ab?0时 ,取等)

3
④等价变形：不能直接做差、做比、用公式 的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊
的等价变形方法；
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⑤逆代：把数换成字母；
⑥换元：均值换元或三角换元；
⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；
⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；
⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；
⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。
二 不等式的解法
(一)有理不等式
1．一次不等式：
ax?b

解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。
2．二次不等式：
ax?bx?c?0

两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。
3．高次不等式：序轴标根法
(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式
先变形成有理不等式，再求解。
绝对值不等式：
当a> 0时，有
2
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a ?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
无理不等式：
(1)
(2)
(3)
?
f(x)?0
?
. f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)? g(x)?
?
g(x)?0
或
?
g(x)?0
?
f (x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?

(三)指数不等式 对数不等式
不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
三 线性规划
线性规划，出题现象如下：
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?
x?y??1,
?
设变量
x,y
满足约束条件
?
x?y?1,
则目标函数
z?4x?y
的最大值为（ )
?
3x?y?3,
?
A.4 B.11 C.12 D.14
解题步骤：
（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，
标明直线序号
（2）依据以下结论确定平面区域：
y?f(x)
是点在直线上方（包括直线）
；
y?f(x)
是点在直线下方（包括直线）
y?f(x)
是点在直线上方（不包括直线）
y?f(x)
是点在直线下方（不包括直线）
（3）确定目标函数函数值的几何意义
1
若目标函数值z表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的 端点，求出端点坐标（4）○
2
若目标函数z表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直 接观察距离的最大值与最代入目标函数，得出z的最值。○
小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距 离，用距离公式直接求最值。
○
3若目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜
率取值 范围结论，求最值。







第十三章 简易逻辑与推理证明

简易逻辑
1.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
2.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个
至多有(
n?1
)个
小于 不小于 至多有
n
个
至少有(
n?1
)个
p
或
q

?p
且
?q

对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立

对任何
x
， 存在某
x
，
p
且
q

?p
或
?q

不成立 成立
3.四种命题的相互关系


原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
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若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

4.充要条件
(1)充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
(2)必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
(3)充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

第十四章 圆锥曲线
一 椭圆方程
（一） 椭圆的定义：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为 椭圆；
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹；
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以
F
1
,F
2
为端点的线段。
（二） 椭圆的方程:
①椭圆的标准方程：
中心在原点，焦点在x轴上：
x
2
y
2
i.
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
.
中心 在原点，焦点在
y
轴上：
y
2
a
?
x
2< br>ii.
2
b
2
?1(a?b?0)
. ②一般方程：
Ax
2
?By
2
?1(A?0,B?0)
.
③椭圆的标准参数方程：
x
2
y
2
?
x?ab
?1
的参数方程为
?
acos
?
2
?2
?
y?bsin
?

（三）椭圆的几何性质：
① 顶点：A
(a,0)
,B
(?a,0)
,C
(0,b)
和D
(0,?b)
.
②轴：对称轴：x轴，
y
轴；长轴长
AB
=
2a
，短轴长
CD
=
2b
.
③焦点：
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

④焦距：
F
1
F
2
?2c
，
a
2
?b
2
?c
2
.
⑤离心率：
e?
c
a
(0?e?1)
.

二 双曲线方程
（一）双曲线的定义：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹

PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线
（二）双曲线的方程
①双曲线标准方程：
x
2
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
y< br>2
a
2
?
b
2
?1(a,b?0)
.
ii. 中心在原点，焦点在
y
轴上：
y
2
x
2< br>a
2
?
b
2
?1(a,b?0)

②一般方程：
Ax
2
?Cy
2
?1(AC?0)
.
x
2
y
2
③椭圆的标准参数方程：
?
x?asec
?
a
2
?
b
2
?1
的参数方程为
?
?
y?btan
?

（三）双曲线的几何性质
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①i. 焦点在
x
轴上：顶点：
(a,0),(?a,0)
；焦点：
(c,0 ),(?c,0)
；
x
2
y
2
x
y
渐近 线方程：
??0
或
2
?
2
?0

ab
ab
ii. 焦点在
y
轴上：顶点：
(0,?a),( 0,a)
；焦点：
(0,c),(0,?c)
；
y
2
x< br>2
y
x
渐近线方程：
??0
或
2
?
2
?0
，
ab
ab
②轴：
x,y
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
c
.
a
③离心率
e?
222
④ 参数关系
c?a?b,e?
c
.
a
（四）常见的特殊双曲线：
①等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
② 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
线.
2
?
2
?
?
与
2
?
2
??
?
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
2
?
2
?0
.
ab
ab
ab
③共渐近线的双曲线系方程：x
2
a
2
?
y
2
b
2
??
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲线的渐近线为
x
2
y
2
x
y
??0
时，它的双曲线方程可设为< br>2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
11
例如：若双曲线一条渐近线为
y?x
且过
p (3,?)
，求双曲线的方程？
22
1
x
2
y
2
x
2
2
解：令双曲线的方程为：
??1
.
?y?
?
(
?
?0)
，代入
(3,?)
得
282
4
（五）直线与双曲线的位置关系：如下图.
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计
2条； ▲
y
4
3
2
1
F
2
x
F1
5
3
3
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、
2、3、4条.

三 抛物线方程
设
p?0
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

y
2
?2px

▲
▲
y
4
32
1
F
2
x
F
1
5
3
3y
2
??2px

▲
x
2
?2py

▲
x
2
??2py

▲
y
y
y
y
图形
x
O
x
O
x
O
x
O

焦点
准线
范围
对称轴
顶点
p
,0)

2
p
x??

2
x?0,y?R

F(
p
,0)

2
p
x?

2
x?0,y?R

F(?
x
轴

F(0,

p
)

2
p
y??

2
x?R,y?0

p
)

2
p
y?

2
x?R,y?0

F(0,?

y
轴
(0，0)
知识改变命运

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离心率
焦半径
PF?
2
e?1

p
?x
1

2
PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1

2
4ac?b
2
b
?)
. 注：①
ay?by?c ?x
顶点
(
4a2a
②
y?2px(p?0)
则焦点半径
PF?x?
P
x
2
?2py(p
;
2
2< br>?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
.
2
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
?
x?2pt
22
y?2pxx?2py
④(或)的参数方程为?
(或
?
2
)(
t
为参数).
y?2pty?2pt
??















第十五章 导数
一 导数的概念
（一）导数的定义
1.导数的原始定 义：设函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，如果
? x?0
时，
?y
与
?x
的比
的平均变化率)有极限即
?y
(也叫函数
?x
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)

作
y

x ?x
0
，即
f(x
0
)?lim

?x?0
?x
2导函数的定义：如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)
，都

对应着一个确定的 导数
f(x)
，从而构成了一个新的函数
f(x)
, 称这个函数
f (x)
为函数
y?f(x)
在开区间
内的导函数，简称导数。
（二）导数的实际意义：
1.导数的几何意义：
f

(x
0
)
是曲线
y?f(x)
上点(
x
0
,f(x0
)
)处的切线的斜率因此，如果
y?f(x)
在点
x
0
可导，则曲线
y?f(x)
在点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线方程为
y?f(x
0
)?f

(x< br>0
)(x?x
0
)

2.导数的物理意义：
导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数
y?f(x)
的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)

(2)求平均变化率
?yf(x??x)?f(x)
?

?x?x
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(3)取极限，得导数
y
＝
f
?
(x)?
lim
?y

?x?0
?x
2.利用导数的实际意义解题
主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。
二 导数的运算
（一）常见函数的导数
1．
C
?
?0

2．
(x
4．
(a
n
x
)
?
?nx
n?1

x
3．
(e)
?
?e

x
)
?
?a
x
lna

1

x
5．
(lnx)
?
?
6．
(log
a
x)
?
?
11
log
a
e?

xxlna
7．
(sinx)
?
?cosx

8．
(cosx)
?
??sinx

（二）导数的四则运算
1．和差：
(u?v)
?
?u
?
?v
?
2．积：
(uv)
?
?u
?
v?uv
?
3．商：
()
?
?
（三）复合函数的导数：
1．运算法则复合函数导数的运算法则为：
u
v
u
?
v?uv
?

v
2f
?
?
g(x)
?
?f
?
(g)?g
?
(x)

2．复合函数的求导的方法和步骤：
求复合函数的导数一定要抓 住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要
漏层。
求复合函数的导数的方法步骤：
(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量
(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数
三 导数的应用
（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系：
(1)若
f
?
(x)>0在 (a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，
f
?
(x)>0的解集与 定义域的交集的对应区间为增
区间；
(2)若
f
?
(x)<0在( a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，
f
?
(x)<0的解集与定 义域的交集的对应区间为
减区间。
2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定
f(x)
的定义域；
②计算导数
f(x)
；
③求出
f(x)?0
的根；
④用
f(x)?0
的根将f(x)
的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内
f(x)
的符号,进 而确定
f(x)
的单调区间：
f
?
(x)>0，则f(x)在对应区 间上是增函数，对应区间为增区间；
f
?
(x)<0，则f(x)在对应区间上
是减函数，对应区间为减区间。
（二）利用导数求解函数极值与最值。
1.极值与最值的定义：
(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x
0
附近有定义，如果对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＜f(x
0
)，就 说f(x
0
)
是函数f(x)的一个极大值，记作y
极大值
=f(x
0
)，x
0
是极大值点
(2)极小值：一般地，设函数f(x)在 x
0
附近有定义，如果对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＞f(x
0
)就说f(x
0
)是
函数f(x)的一个极小值，记作y
极小值
=f(x
0
)，x
0
是极小值点



知识改变命运

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(3)函数的最大值和最小值:在闭区间
?
a,b
?
上连续的函数
f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值，分别对应该区
间上的函数值的最大值和最小值。
2.极值的性质：
(1)极值是一个局部概念由定义， 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味
着它在函数的整个的定义域内最 大或最小
(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点
可能在区间的内部，也可能在区间的端点
3.判别f(x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x
0满足
f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0< br>的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)的极值点，
f(x
0
)
是极值，并且如
果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则
x
0是
f(x)
的极大值点，
f(x
0
)
是极大值；如果< br>f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左
负右正”， 则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值
4.求函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程 根左右
的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值；
如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值
5.利用导数求函数的最值步骤:
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与
f(a)
、
f(b)
比较得出函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值
（三）利用导数求解证明不等式：
主要方法为将不等式
t(x)?g(x)
左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的 函数
f(x)?t(x)?g(x)
，通过对
f(x)
求导，根据
f
?
(x)
的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。


四 定积分与微积分基本原理 (理科考查，文科不考查)
（一）曲边梯形面积与定积分

1、定积分定义：设函数
f(x)
在
[a,b]
上有界(通常指有最大值和最小值)，在
a
与
b
之间任意插入
n?1
个分点，
a?x
0
?x
1
?x
2
??x
n?1
?x
n
?b
，将区间
?
a,b
?
分成
n
个小区间
?
x
i?1< br>,x
i
?
?
i?1,2,
记每个小区间的长
,n?
，
度为
?x
i
?

x
i
?x
i?1

?
i?1,2,,n
?
，在
?
x
i?1
,x
i
?
上任取一点ζ< br>i
,作函数值
f
?
?
i
?
与小区间长度?x
i
的乘积
n
i?1
f
?
?
i?
?x
i
?
i?1,2,,n
?
，并求和
s?
?
f
?
?
i
?
?x
i

,n
},如果当λ->0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数
f(x)
在
?
a,b
?
上
n
记λ=max{
?x
i
；
i?1,2,
的定积分,记为
其中,
?
i
b
a
f(x)dx
，即
?
b
a
f(x)dx?
lim
?
f(
?
i
)?xi

?
?0
i?1
?
f(
?
i?1< br>n
)?
x
i
称为函数
f(x)
在区间
?a,b
?
的积分和.
2、定积分的几何意义
定积分
?
b
a
f(x)dx
在几何上,当
f(x)?0
时,表示由曲线y?f(x)
、直线
x?a
、直线
x?b
与
x
轴所围成的曲
边梯形的面积；当
f(x)?0
时，表示由曲线
y?f(x)< br>、直线
x?a
、直线
x?b
与
x
轴所围成的曲边梯形 的面积
的负值；一般情况下，表示介于曲线
y?f(x)
、两条直线
x?a< br>、
x?b
与
x
轴之间的个部分面积的代数和

（二）微积分基本定理

1、基本定理
知识改变命运

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?
a,b
?
上连续，且 存在原函数
F(x)
，即
F
?
?
x
?
?f
?
x
?
,x?
?
a,b
?
，则
f
在
?
a,b
?
上可积，且
b
b
b
??????
fxdx?Fb?Fa.
这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成
????
fxdx?Fx
a
.

?
a
?< br>a
若函数
f(x)
在
二、常用的不定积分公式：
1.
?
0dx?C

1
?
2.
?
x
?
dx?x
1?
?
3.
4.
?1
?C
(
?
??1
)
?
?
5.
?
6.
?
sinxdx??cosx?C

7.
?
cosxdx?sinx?C

8.
?
secxdx?tanx?C

9.
?
cscxdx??cotx?C

10.
?
secxtanxdx?secx?C

12.
?
cscxcotxdx??cscx?C

1
dx?arcsinx?C??arccosx?C
13.
?
1?x
2
1
dx?lnx?C

x
1
x
a
x
dx?a?C
(
a?0
，
a? 1
)
lna
e
x
dx?e
x
?C

2
2
1
dx?arctanx?C??arccotx?C

1?x
2
本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。
14.

?
第十六章 复数
一 复数的概念
1.虚数单位
i
：
(1)它的平方等于-1，即
i??1
；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2.
i
与－1的关系:
i
就是－1的一个平方根，即方程x
2
=－1的一个根，方程x
2
=－1的另一个根是－
i

3.
i
的周期性：
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
4. 复数的定义：形如
a?bi(a,b?R)的数叫复数，
a
叫复数的实部，
b
叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即
z ?a?bi(a,b?R)
，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数
的代数形式
6 .复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
a?bi(a,b?R)
，当且仅当b=0 时，复数a+bi(a、b∈
R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠ 0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就
是实数0
7. 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC
二 复数与复平面
1. 两个复数相等的定义 ：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，
b，c，d∈R，那 么a+bi=c+di
?
a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小 也只
有当两个复数全是实数时才能比较大小
y
2.复平面、实轴、虚轴：
Z(a，b)
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b) 表示，
b
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做
2
知识改变命运
o
a
x

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实轴，y轴叫做虚
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，
虚轴上的点都表示纯虚数
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?
复平面内的点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个 复
数和它对应
这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法
三 复数的运算
1．复数z
1
与z
2
的和的定义：z< br>1
+z
2
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2. 复数z
1
与z
2
的差的定义：z
1
-z2
=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
3. 复数的加法运算满足交换律: z
1
+z
2
=z
2
+z
1

4. 复数的加法运算满足结合律: (z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
5．乘法运算规则：设z< br>1
=a+bi，z
2
=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
其实就是把两 个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i
2
换成－1，并且把实部与虚部分别合
并两个复数的积仍然是一个复数
6. 乘法运算律：(1)z
1
(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z
3
； (2)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
； (3)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1< br>z
3

一一对应
7. 除法运算规则：
a?bi(a?bi) (c?di)
ac?bdbc?ad
?
??i

c?di(c?di )(c?di)
c
2
?d
2
c
2
?d
2< br>8.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的 两
个共轭复数也叫做共轭虚数
复数z=a+bi和
z
=a－bi(a
、
b∈R)互为共轭复数
四 复数的几何意义
1. 复数加法的几何意义：如果复数z
1
，z2
分别对应于向量
OP
2
，那么，以OP
1
、OP2
为两边作平行四
1
、
OP
边形OP
1
SP< br>2
，对角线OS表示的向量
OS
就是z
1
+z
2的和所对应的向量
2. 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z
1
与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应
3．复数的模：
|z|?|a?bi|?|OZ|?a
2
?b
2

第十七章 空间向量（理科）
一 空间向量的线性运算
知识点
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。
?
??
?
运算律：⑴加法交换律：
a?b?b?a

?
?
??
?
?
⑵加法结合律：
(a?b)?c?a?(b ?c)

?
?
?
?
⑶数乘分配律：
?
(a ?b)?
?
a?
?
b

二 空间向量的基本定理
知识点
1. 共线向量

OB?OA?AB?a?b
;
BA?OA?OB?a?
;
b

OP?
?
a(
?
?R)



知识改变命运

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?
?
?
行于
b
，记作
ab
。
?
?
?
?
?
?
当我们说向量
a
、
b
共线(或
a

b
)时，表示
a
、
b
的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行
直线。
(1)如果表示空间向量的有向 线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，
a
平
?
?
?
??
?
?
?
?
(2)共线向量定理：空间任 意两个向量
a
、
b
(
b
≠
0
)，
a

b
存在实数λ，使
a
＝λ
b
。
深化：
(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面．
(2)当p、a 、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于
判定 时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内．
2. 共面向量
(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量
a,b< br>不共线，
p
与向量
a,b
共面的条件是存在实数
x,y
使
p?xa?yb
。
3. 空间向量基本定理：
如果三个向量
a,b,c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯一的有序实数组
x, y,z
，使
p?xa?yb?z
。
c

若三向量
a ,b,c
不共面，我们把
{a,b,c}
叫做空间的一个基底，
a,b,c< br>叫做基向量，空间任意三个不共面的
向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设
O,A,B,C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在唯一的三个有序实数< br>x,y,z
，使
OP?xOA?yOB?zOC
。
深化：
(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是｛p|p＝xa＋yb＋zc，x 、y、z∈R｝．这
个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把｛a，b，c｝叫做空间的一 个基底，a、b、c都叫做基向
量．由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．
(2)推论中，若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、
?
OP?xOA?yOB?zOC
可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x, y，z为参数. A、B、C四点共面．故
?
?
?
?
x?y?z?1
三 向量的数量积
(一)平面向量
1.非零向量a和b，作OA?a,OB?b,则?AOB?
?
(0
0
?
?
?180
0
)
叫向 量a与b夹角．当
?
?0
0
时，a与b同向，当
?
?180
0
时,a与b反向。
当
?
=90
0
时，a与b垂 直.记作a?b
2.向量a与b的数量积a?b?a?bcos
?
3.b在a方向上的 投影bcos
?
4.数量积的性质：
（）1e?a=a?e=acos
?(
?
是a与e的夹角，e是单位向量）
（2）a?b?a?b?0
(3) 当a与b同向时，a?b=ab;当a与b反向时，a?b=-ab
(4)a
2
?a或 a?a?a
(5)cos
?
?
a?b
ab
2

(6)a?b?ab
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精品文档 你我共享 5.数量积满足的运算律
(1)a?b=b?a
(2)(
?
a)?b=< br>?
(a?b)=a?(
?
b);
(3)(a+b)?c=a?c+b? c
(二) 空间向量

OB?b
，则
?AOB
叫(1)空 间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点
O
，作OA?a,
做向量
a
与
b
的夹角，记作
?a,b?；且规定
0??a,b??
?
，显然有
?a,b???b,a?
；若
?a,b??
则称
a
与
b
互相垂直，记作：
a
?
2
，
?b
。
(2)向量的模：设
OA?a，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模，记作：
|a|
。
sab,?
叫做
a,b
的数量积，记作
a,b
，即(3)向量的数量积：已知向量
a,b
，则
|a|?|b|?co?
sa b,?
a,b?
|a|?|b|?co?
。
(4)空间向量数量积的性质：
①
a?e?|a|cos?a,e?
；②
a
(5)空间向量数量积运 算律：
?b?a?b?0
；③
|a|
2
?a?a
。 ①
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b )
；②
a?b?b?a
(交换律)；③
a?(b?c)?a?b?a?c(分配律)。
四 空间向量的直角坐标运算
1.空间直角坐标系：
(1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
1
，这个基底叫单位正交基底，用
{ i,j,k}
表示；
(2)在空间选定一点
O
和一个单位正交基底
{i,j,k}
，以点
O
为原点，分别以
i,j,k
的方向为正方向 建立三条
数轴：
x
轴、
y
轴、
z
轴，它们都叫坐标 轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
O?xyz
，
点
O
叫原点，向 量
i,j,k
都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为
xOy
平面，
yOz
平面，
zOx
平面；
(3)作空间直角坐标 系
O?xyz
时，一般使
?xOy?135
(或
45
)，< br>?yOz?90
；
(4)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
x
轴 的正方向，食指指向
y
轴的正方向，如
果中指指向
z
轴的正方向，称 这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右
手直角坐标系
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量
a
，设i,j,k
为坐标向量，则存在唯一的有序实数组
(a
1
,a
2
,a
3
)
，使
，有序实数组
(a
1
,a< br>2
,a
3
)
叫作向量
a
在空间直角坐标系
O ?xyz
中的坐标，记作
a?(a
1
,a
2
,a
3
)
．
a?a
1
i?a
2
j?a
3
k

在空间直角坐标系
O?xyz
中，对空间任一点
A
，存在唯一
?
的有序实数组
(x,y,z)
，使
OA?xi?yjzk
，有 序实数组
(x,y,z)
叫作向量
A
在空间直角坐标系
O?xyz< br>中的坐标，记作
A(x,y,z)
，
x
叫横坐标，
y
叫纵坐标，
z
叫竖坐标．如上图
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3．空间向量的直角坐标运算律：
(1)如右图：若
a?(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，
则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2< br>,a
3
?b
3
)
，
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
，
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)，
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2< br>?a
3
b
3
，

ab?a
1
?< br>?
b
1
,a
2
?
?
b
2
, a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
， < br>a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0
．
(2)若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
，
B(x
2
,y
2
,z
2
)
，
则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1< br>)
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标如下图。























第十八章 计数原理(理科)
一 分类、分步原理 < br>（一）分类原理：
N?m
1
?m
2
??m
n
.
分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：
1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类
2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数
3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类
（二）分步原理：
N?m
1
?m
2
??m
n
.
两种典型现象：
1．涂颜色
(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块
(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举
2．映射
按步骤用A集合的每一个元素到B集合里选一个元素，可以重复选。

二 排列组合
（一）常规题型求情况数
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1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。捆绑法，插空法。
2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。
（二）七种常考非常规现象
1．小数量事件需要分类列举：
凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举(例1，例2)
2．相同元素的排列：
用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序(例3例4)
3．有序元素的排列:
用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序(例5例6)
4．剩余元素分配：
有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。(例7例8)
5．迈步与网格现象: (例9例10)
要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况
6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数(例11)
7．平均分组现象: (例12例13)
先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n组， 就除以
A
n
，有几套平均分组就除
几个
A
x

（三）排列数，组合数公式运算的考察
1.排列数公式
x
n
A
n
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
注:规定
0!?1
.
2. 排列恒等式
mm?1
(1)
A
n
?(n?m?1)A
n
; < br>n！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．
(n?m)！
n
m
A
n?1
;
n ?m
mm?1
(3)
A
n
?nA
n?1
; (2)
A
n
?
m
nn?1n
(4)
nA
n
?A
n?1
?A
n
;
mmm?1
(5)A
n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!?
3. 组合数公式
m
n
?n?n!?(n?1)!?1
.
n！
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
C
=
m
==(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
1?2?
?
?m
A
m
4. 组合数的两个性质
(1)
C
n
=
C
n
m
n?m

m
m?1m
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
0
注:规定
C
n
?1
.
5. 组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mm(2)
C
n
?C
n?1
;
n?m
n
m?1m
(3)
C
n
?C
n?1
;
m
(1)
C
n
?
m
(4)
?
C
r? 0
r
r
n
r
n
=
2
;
n
rrrr?1
(5)
C?C
r?1
?C
r?2
???C< br>n
?C
n?1
.
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(6)
C
0
C
12r
??C
nn
n
?
n
?C
n
???C
n
?
n
?2
.
(7)
C
135024n?1
n
?C
n< br>?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
? ?2
.
(8)
C
123n
n2
n?1
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?
.
( 9)
C
r0r?1
C
10rrr
m
C
n
? C
mn
?
?
?C
m
C
n
?C
m? n
.
(10)
(C
021222
C
n2n
n)?(C
n
)?(C
n
)???(
n
)?C
2 n
.
6. 排列数与组合数的关系
A
m
m！?C
m
n
?
n
.

三 二项式定理

（一） 公式
1．二项式定理：
(a? b)
n
?C
n
0
a
n
b
0
?C< br>n
1
a
n?1
b?
?
?C
n
ra
n?r
b
r
?
?
?C
n
n
a
0
b
n
.
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
n?1
项；
② 系数：依次为组合数
C
n
0< br>,C
n
1
,C
n
2
,?,C
n
r< br>,?,C
n
n
;

③ 每一项的次数是一样的，即为
n
次，展开式依
a
的降幂排列，
b
的升幂排列展开.
2．二项展开式的通项.
（a?b)
n
展开式中的第
r?1
项为：
T
r? 1
?C
n
r
a
n?r
b
r
(0?r?n, r?Z)
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨，
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。



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半夜凉初透。