怎么能学好高中数学-高中数学正余弦函数例题及解析
集合
高考要求
内容
集合的含义
集合的表示
基本要求
会使用符号“
?
”或“
?
”表示元素与集合之间的关系;
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题;
理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常
用数集,方程或不等式的解集等
理解集合之间包含与相等的含义,及子集的概念.在具体情景中,
了解空集和全集的含义; <
br>理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与
并集.理解在给定集合中一个子集
的补集的含义,会求给定子集
的补集
掌握有关的术语和符号,会用它们表达集合之间的关系和
运算.能
使用维恩图表达集合之间的关系和运算.
集合间的基本关系
集合的基本运算
例题精讲
板块一:集合的概念
(一)主要知识:
1.集合
①定义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每个对象叫做集合的元素。
②表示
列举法:将集合中的元素一一列举出来,用大括号括起来,如{a,b,c}
描述法:将集合中的元素的共同属性表示出来,形式为:P={x∣P(x)}.
xy?x?1},{yy?x?1},{(x,y)y?x?1}
如:
{
图示法:用文氏图表示题中不同的集合。
③分类:有限集、无限集、空集。
?A或a?A
④性质 确定性:
a
必居其一,
互异性:不写{1,1,2,3}而是{1,2,3},集合中元素互不相同,
无序性:{1,2,3}={3,2,1}
2.常用数集
1
复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N
正整数集
N
?
(或N
+
) 有理数集Q
?A或a?A
3.元素与集合的关系:
a
4.集合与集合的关系:
①子集:若对任意
x?A
都有
x?B
[或对任意
x?B都有
x?A
] 则A是B的子集。
记作:
A
A
?B或B?A
?B,B?C?A?C
②真子集:若
A?B
,且存在
x
,则A是B的真子集。
?B,但x?A
00
记作:
A
B[或“
A
”] AB,BC
?B且A?B
AC
?B且B?A?A?B
③
A
④空集:不含任何元素的集合,用
?
表示
对任何集合A有
?
?A
,若
A?
?
则
?
注:
a
?{a}?{0}?{}
5.子集的个数
若
A
,则A的子集个数、
真子集的个数、非空真子集的个数分别为2
n
个,
?{a,a,?a}
12n
2
n
-1个和2
n
-2个。
A
???
(二)主要方法:
1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么;
2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简;
3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验;
4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.
(三)例题分析:
【例1】
下列命题正确的有( )
⑴很小的实数可以构成集合;
22
y|y?x?1xy,
?
|y?x?1
⑵集合
?
是同一
个集合;
?
?
与集合
??
361
⑶
1,,,?,
0.5
这些数组成的集合有
5
个元素;
242
x,yx|y≤0,
x,y?R
⑷集合
?
是指第二和第四象限内的点集.
??
?
A.
0
个 B.
1
个
C.
2
个 D.
3
个
【解析】A;⑴错的原因是元素不确定,⑵前者是数集,而后者是点集,种类不同,
⑶
【例2】
直角坐标平面除去两点
A(1,1)
、B(2,?2)
可用集合表示为( )
361
?,??0.5
,有
重复的元素,应该是
3
个元素,⑷本集合还包括坐标轴.
242
2
?
?
x?1
?
x?2
?
??
A.
?
B.
?
(x,y)|
?
或?
(x,)y|x???1,y1,x2,y?2
?
?
??
y?1
?
y?2
?
??
?
?
x?1
?
x?2
?
??
C.
?
(x,y)|
?<
br>且
??
y?1y??2
??
??
??
2222
D.
?
(x,y)|[(x?1)?(y?1)][
(x?2)?(y?2)]?0
?
【解析】D.
考察点
(1,0)
,显然点
(1,0)
在除去点
A
和
B
以外的平面上,但点<
br>(1,0)
不在A中,
故A是错误的,另外,此点也不在B、C中,所以应选D. ?
?
x?1
?
??
本题的关键点在于:按集合表示规则知,形如
?
(x,y)|
??
的集合中元素的横
??
?
y?
1
??
纵坐标均不等于
1
,即横坐标或纵坐标等于
1
的点,
比如点
?
?
x?1
?
??
等都不属于集合
?
(x,y)|
?
(1,0),(1,2),(0,1),(2,1)
?
.由
此可知,平面上除
??
?
y?1
??
??
?
x?1
??
去点
(1,1)
的点的集合不应用集合
?
(x,y)|
??
表示,应该表示为
?
?
y?1
?
??
.
(x,y)|(x????1)(y1)0
??
22
2
【例3】
已知集合
A
,其中
a?0
,且
A?B
,则
q
等
??{a,ad,a?2d},B?{a,aq,aq}<
br>于___.
1
【解析】
?
.
2
?
a?d?aq
由
A?B
可得
?
或
2
?
a?2d?aq
?
a?d?aq
2
……①
?
?
a?2d?aq
2
∵
a?0
,由①得:
q?1
或
2
q?q?1?0
1
∵
q?1
,∴
q??
.
2
?AIB
【例4】
若集合
A
,
B?
{
,则
C
的非空子集
?x|x≤6,x?N
x|x
是非质数
},
C
??
的个数为 .
4
?1?15
.
【解析】
15
;
A
,
C
,非空子集有
2
?
0,1,2,3,4,5,6?0,1,4,6
????
【例5】 设
A
,若
A
?{x|1??x???3},B{x|xa}
?1
. 【解析】借助数轴直观图分析可得
a≤
B
,则
a
的取值
范围是______
3
板块二:集合的运算
(一)主要知识:
1.有关概念
①交集:
A
?B?{xx?A且x?B}
A
B
A
B
A
B
②并集:
A
?B?{xx?A或x?B}
A
B
A
B
A
B
③全集:如果集合S含有
我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以
看作一个全集,通常用U表示。
A?{xx?U且x?A}
④补集:
C
U
U
C
U
A
A
2.常用运算性质及一些重要结论
①
A
?A?AA??A?B?B?A
②
A
?A?AA??AA?B?B?A
③
A
A
?
(B?C)?(A?B)?C?A?B?C?(B?C)?(A?B)?C?A?B?C
④
A<
br>
A
?(B?C)?(A?B)?(A?C)?(B?C)?(A
?B)?(A?C)
⑤
A
?CA?A?CA?U
UU
⑥
A
?B?A?A?BA?B
?B?A?B
??
?
?
(A?B)?(CA)?(CB)C(A?B)?(C
A)?(CB)
⑦
C
UUUUUU
⑧
Card
(A?B)?Card(A)?Card(B)?Card(A?B)
(二)主要方法:
1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用;
2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题;
4
3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键.
(三)例题分析:
22
【例6】
已知集合
A
,若
A
,求实数a的
?a,a?1,??3,Ba??3,2a1,a?1
IB??3<
br>??
????
值.
2
【解析】∵
A
,∴
?3?B
,而
a
,
?1??3
IB??3
??
∴当
a
,
?3??3
,a?0,A?0,1,?3,B??3,?1,1
????
这样
A
与
A
矛盾;
IB??,1IB??3
?
3
???
当
2
符合
A
a?1??3,a??1,
IB??3
??
∴
a??1
.
UB,AIB
【例7】
设集合
A
,
B
,求
A
.
?{x|(3x
?)(x?a)?0,a?R}?{x|(x?4)(x?1)0?}
【解析】
A
B??{3,a}{4,1}
IB??
若
a?3
,
AB
,
A
U?{1,3,4}
若
a?1
,
AB
,
A
U?{1,3,4}IB?{1}
同理 若
a?4
,
AB
,
A
U?{1,3,4}IB?{4}
IB??<
br>若
a?1
或
3
或
4
,
A
,
A
.
UB?{1,3,4,a}
【例8】
下列表述中错误的是( )
IB?AUB?B
A.若
A?B
,则
A
B.若
A
,则
A?B
AIB?AU?B
C.
(
D.
痧
AIB)苘A(AUB)
??
????
UUU
IB??AAUB
【解析】C;当
A?B
时,
A
.
【例9】
若
U
为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )
痧ABU
IB??
⑴若
A
,则
?
?U
?
U
?
?
U
痧AB?
UB?U
⑵若
A
,则
?
?
I
?
U
?
?
U
UB??
⑶若
A
,则
A
?B??
A.
0
个 B.
1
个
C.
2
个 D.
3
个
【解析】D;⑴
()
;
痧AU()BA?痧(IB)???U
UUUU
⑵
()
;
痧AI()BA?痧(UB)?U??
UUUU
?(AUB)
,即
A??,而
??A
,∴
A??
;
⑶证明:∵
A
?B??
同理
B??
, ∴
A
.
2
?{(x,y)y?9?x}N?{(x,y)y?x?b}且M?N?
【例10】
已知集合
M
,求实
数b的取值范围。
?
y
3
l
2
32
5
?
32
l
1
-3
0
-3
3
x
【解析】
?
,∴两点集M与N无公共点
M?N?
?
点集M是一个半圆,点集N是随b变化的一组平行直线
,满足
M
,
y?x?b
在
l
1
与
l
2
外侧(不包括
l
1
,
l
2
)
IN?
?
?b??3或b?32
板块三:2010集合高考真题分析
题型一:集合基本性质与关系
【例11】 <
br>(2010年高考江苏卷试题1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a
2
+
4},A∩B={3},则
实数a=_____ ____.
【答案】1
【解析】考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3, a=1.
【例12】
(2010年高考上海市理科14)以集合U=
?
的子集中选出
4个不
a,b,c,d
?
同的子集,需同时满足以下两个条件:
(1)
?
,U
都要选出;
(2)对选出的任意两个子集A和B,必有
A?B
或
B?A
。那么共有__
__种不同
的选法。
【解析】36
xxa??1,x?R}
【例13】
(2010年高考天津卷理科9)设集合A=
{
,B=
{xxb??2,x?
R}
。若
A?B
,则实数
a,b
必满足
(A)
a?b?3
(B)
a?b?3
(C)
a?b?3
(D)
a?b?3
【解析】答案:D
?|a?1?xa??1
b
?2b?2
由题意可得:
Ax
,对集合B有
x?
或
x?<
br>,因
??
?2?a?1?2?a?1b?3?b??3
为
A?B
,所以有
b
或
b
,解得
a?
或
a
,即<
br>a?b?3
,选D。
6
【点评】本小题考查绝对
值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识,考查同学们数形结
合的数学思想。
【例14】
(2010年高考江苏卷试题1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,
a
2
+4},A∩B={3},则
实数a=_____ __.
【解析】答案:1
考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3,
a=1.
题型二:集合的运算
【例15】
(2010年全国高考宁夏卷1)已知集合
},
B
,则
A
A?{|x|?2,x?R}
?B?
?{x|x?4,xZ?}
(A)(0,
2) (B)[0,2] (C){0,2]
(D){0,1,2}
【解析】答案:D
。由已知得
A
,所以
AB
.
?{x?2?x?2},B?{0,1,L,16}
??{0,1,2}
【例16】
(2010年高考陕西卷理科1)集合A=
{x∣
??
},B={x∣x<1},则
1x?2
AI(?)
=
(D)
R
B
(A){x∣x>1} (B) {x∣x≥ 1}
(C) {x∣
1
} (D) {x∣
1
}
?x?2?x?2
【解析】答案:D。
∵
A
,∴
A
.故选
D
.
?x?1?x?2,CB?xx?1?(CB)?x1?x?2
RR
【例17】 (2010年高考重庆市理科12)设
U
,
A
,若
?{x?U|
x?mx?0}
?{0,1,2,3}
2
??????
C
U
A?{1,2}
,则实数
m?
________.
1,
2
【解析】答案:-3。
?
l
U
A?
??
,
?
A={0,3},故m= -3.
题型三:新定义集合
【例18】
(2010年高考四川卷理科16)设S为复数集C的非空子集.若对任意
x,y?S
,
都有
xy
,则称S为封闭集。下列命题:
?,xy?,xyS?
①集合S
={a+bi|(
a,b
为整数,
i
为虚数单位)}为封闭集;
w_w_w.k*s 5*u.c
o*m
②若S为封闭集,则一定有
0?S
;
③封闭集一定是无限集; ?T?C
④若S为封闭集,则满足
S
的任意集合
T
也是封闭集.
w_w w. k#s5_u.c o*m
其中真命题是
(写出所有真命题的序号)
【解析】解析:直接验证可知①正确.当S为封闭集时,因为x-y∈S,
取x=y,得0∈S,
②正确对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误。取S=
{0},
?T?C
T={0,1},满足
S
,但由于0-1=-1?T,故T
不是封闭集,④错误
7
答案:①②
【例19】
(2010年高考北京市理科20)(本小题共13分)
已知集合<
br>S
对于
?{X|X?(x,x,…,x),xi?{0,1},?1,2,…,n}(n
?2)
n12n1
,
Bb
,定义A与B的差为
A?(a,a,…a,)?(,b,…b,)?S
12n12nn
A?B?
(|a?b|,|a?ba|,|…?b|);
1122nn
A与B之间的距离为
dA
(,B)?|a?b|
?
11
i?1
(Ⅰ)证明:
?
,且
d
;
A,,BC?S,有A?B?S
(A?C,B?C)?d(A,)B
nn
(Ⅱ
)证明:
?
三个数中至少有一个是偶数
A,B,C?S,d(A,B),d(A,C),d(B,C)
n
(Ⅲ) 设P
?S
n
,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为
证明:
(P)≤
d
(P).
d
mn
.
2(m?1)
【解析】(I)设
A
,
B
,
C?(a,a,
...,a)?(b,b,...,b)?(cc,
2
,...,c)?S
n
12n12n1n
b0,1
因为
a
i
,
b
i?1,2,...,n)
?0,1
?
,所以
a
??
,
(
i
?i
?
i
?
www.@ks@
从而
A
?B?(|a??b|,|ab|,...,|a?b|)?S
1122nnn
又
d
(A?C,B?C)?||acbc|
i
??
i||
i
?
i
|
i?1
?
n
由题意知<
br>a
i
,
b
,
c
?
?
0,1
?
(
.
i?1,2,...,n)
当
c
i
?0
时,
|
;
|ac|?|b?c|||?|a?b|
i?iiiii
当
c
i
?1
时,
|
|ac|?|b?c||?|
(1?a)?(1?b)|?|a?b|
i?iiiiiii
所以
d
(A?C,B?C)?|ab?d(,AB)
i
?
i
|
i?1
?
n
?(a,a,...,a)?(b,b,.
..,b)?(cc,
2
,...,c)?S
n
(II)设
A
,
B
,
C
12n12n1n
dA
,
dA
.
(,B)?k(,C)?l
,
dB(,C)?h
8
记
O
,由(I)可知
?(0,0,...,0)?S
n
d
(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k
d
(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l
d
(B,C)?d(B??A,CA)?h
所以
|
中1的个数为
k
,
|
的1的
bai(?1
,2,...,)ncai(?1,2,...,)n
i
?
i
|
i<
br>?
i
|
个数为
l
。
???lk2t
设
t
是使
|
成立的
i
的个数,则
h
ba?
ca?1
i
?
i
||
i
?
i
|
由此可知,
k,l,h
三个数不可能都是奇数,
即
d(A,B)<
br>,
d(AC,)
,
d(B,C)
三个数中至少有一个是偶数。
(III)
dP()?
1
dA(,B)
,其中
?
d(A,
B)
表示
P
中所有两个元素间距离的总和,
2
?
C
,B?P
A,B?P
m
A
www.@ks@
设
P
种所有元素的第
i
个位置的数字中共有
t
个1,
m?t
i<
br>个0
则
A,B?P
?
d(A,B)
=
?
t
(m?t)
ii
i?1
n
2
m
(i?1,2,...,n)
由于
t(m?t
i
)
?
4
nm
所以
?
d(A,B)
?
4
A,B?P
2
2
1nmmn
从而
d
()P?
2
?d(,AB)?
2
?
C4C2(m?1)
A,B?P
mm
22222
?,,aa,,a
?,aa,,aa,
【例20】
已知
Aa
,
Baa
,
a
.
??N(i1
,2,3,4,5)
??
??
12345
12345
i
IB
?a,a
设
a
,且
A
,
a?a?a?a?aa10
,又
AUB
中所有元素之
??
14
123451
?
4
?
和为
224
.
222
求⑴
a
1,
a
4
;⑵
aaaa
.
?????
2352
a
3
a
5
22222
IB?a,a
【解析】 ⑴由
已知可得
a
,且
A
,∴
a
1
?a
1
2
,则
a
1
?0
或
≤a≤a≤a≤a
??
14
12345
a
1
?1
若
a
1?0
,则
a
4
?10
,又集合
B
中必存在某个
数的平方为
10
,即
A
中存在
10
,
9
这与
a
矛盾,因此有
a
1
?1
,∴
a
4
?9
??N
(
i
1<
br>,
2
,
3
,
4
,
5)
i
⑵
由
A
可知
AUB
中必然只有
8
个元素,若
IB?a
,a
??
14
2222222
,且
a
,
a?a?
a?a?a?a?a?a?a?a?224?10?234a82
?
4
?222
∴
a
?a?a?a?a?a?234?10?82?142
235235
【变式】 ⑶
a
5
;⑷
A
.
2
【解析】
⑶由
a
4
?9
,且
a
4
?a
5
,
可知
a
5
?10
或
a
5
?11
且
a
a142
5
?
5
?
222
若
a
5
?11
,则
a
,则
a
a132?a
?a?a?142?132?10
5
?
5
?
2233
又a
2
2
?9
或
a
3
2
?9
,
则必有
a
2
?3
或
a
3
?3
,有
931
,矛盾∴
a
5
?11
不符
??21?0
合题
意
222
若
a
5
?10
,
a
,则
a
a110?a?a?a?142?110?32
5
?
5
?
2233
22
又
a
2
2
?9
或
a
3
2
?9
,则
a
2
?3
或
a
3
?3
,则有
a
或
aa20a20
2<
br>?
2
?
3
?
3
?
解得:
a
2
?4
或
a
3
?4
,∵
3?4
,∴
a
2
?3
,
a
3
?4
∴
a<
br>1
?1
,
a
2
?3
,
a
3
?4
,
a
4
?9
,
a
5
?10
⑷
A
?1,3,4,9,10
??
【例21】
(2009年北京)
已知数集
?
具有性质
P:
对任意的<
br>a,a,L,a1≤a?a?L?a,n≥2
????
12n12n
1≤i≤j
≤n
i,j
??
,
a
i
a
j
与
a
a
两数中至少有一个属于
A
.
⑴分别判断数集
?
是否具有性质
P
,并说明理由;
1,,
341,2,3,6
?
与
??
⑵证明:
a
1
?1<
br>,且
【解析】 ⑴由于
3?4
与
aa
L
?a
1
?
2
?
n
?a
n
.
?1?1?1a?a?
L
?a
12n
4
均不属于数集
?
1,
,34
?
,所以该数集不具有性质
P
.
3
661236<
br>由于
1?2
,
1?3
,
1?6
,
2?3,,,,,,都属于数集
?
,
1,2,3,6
?
231236<
br>所以该数集具有性质
P
.
⑵因为
Aa
具有性质
P<
br>,所以
a
n
a
n
与
?,a,L,a
??12n
a
a
n
n
中至少有一个属于
A
. 由于
1
,所以
a≤a?a?L?a
12nn
a
n
?a
n
,故
a
n
a
n
?A
.
a
从而
1
?
n
?A
,故
a
1
?1
.
a
n
aA??k2,3,L,n
因为
1
,所以
a
.
?a?a?L?a
??
kn
12nk
an
?a
n
,故
a
a
n
?Ak?
1,
2
,
3
,L,n
??
.
a
k
aaaa
L?
n
?
n
,
又
因为
n
?
n
?
aaaa
nn?121
由
A
具有性质
P
可知
10
aaaa
nnnn
.
?a,?a,L,?a,?a
12n?1n
aaaa
nn?121
aaa
nn
a
n
从而
n
,
??L???a?a?L?a?a
12n?1n
aaa
a
nn?121
aa
L
?a
1
?
2
?n
故
?
?a
n
.
1?1?1
a?a?
L
?a
12n
所以
家庭作业
习题1. ⑴由
a
2
,
2?a
,4
组成一个集合
A
,
A
中含有
3
个元素,则实
数
a
的取值可以是
( ).
A.
1
B.
?2
C.
6
D.
2
⑵(2009年山东卷)
2
B?
?
1,a
集合
A
,若
A
,则
a
的值为( )
?0,2,aUB?0,1,2,4,16
????
?
,
A.0
B.1 C.2 D.4
22
【解析】 ⑴当
a?1
时,
a
矛盾,
?2?a
矛盾,当
a??2
时,
a?2?a?4
当
a?2
时,
a
2
?4
,矛盾
故选C
⑵答案:D
习题2. 已知非空集合
A
满足:①
A;②若
a?A
,则
5?
,符合上述要
a?A
?1234
,,,
??
求的集合
A
的个数为 .
【解析】
答案:
3
个
2
3,m
习题3. 已知集合
A<
br>,集合
B?
??1,3,2m?1
??
??
.若
B?
A
,求实数
m
.
22
?2m?1?m?2m?1?0?m?1
【解析】 由已知
m
习题4. (2007福建)
?xx?a?x1?x?2UB
已知集合<
br>A
,且
A
,则实数
a
的取值范围
?
?
?
?R
??
,
B
??
R
是( )
A.
a≤2
B.
a?1
C.
a≥2
D.
a?2
UB
【解析】 答案:C
.
?
或
x≥2}
,因为
A
,所以
a≥2
.
B?{|xx≤1
?
?
?
?R
R
R
习题5. 定义集合运算:
A
,设集合
A
,
eB?{z|z
?xy(x?y),x?A,y?B}?{0,1},B?{2,3}
则集合
AeB
的所有元素之和为( )
A.
0
B.
6
C.
12
D.
18
【解析】
⑴当
x?0
时,无论
y
为何值,都有
z?0
1,y?2
时,由题意
z?6
⑵当
x?
⑶当
x?
时,由题意
z?12
1,y?3
eB?
{
?12?18
故集合
A
,故选D
0,6,12}
,元素之和为
6
11
222
习题6. 已知
A
,其中<
br>a?R
,如果
?xx?4x?0,B?xxa?2(?1)x?a?1?0
??
??
,
AIB?B
求实数
a
的取值范围.
【解析】
化简得
A?
?
,∴
B?A
.
IB?B
0,?4<
br>?
,∵
A
22
⑴当
B??
时,
?
,
解得
a??1
;
?4(a??1)4(a?1)0?
22
⑵当B?
?
0
?
或
?
?4
?
时,即
B?A
时,
?
,解得
a??1
,
?4(a??1)4(
a?1)0?
此时
B?
?
0
?
,满足
B?A
;
?
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
?
⑶当
B?
?
,解得
a?1
.
0,?4
?
时,
?
?2(a?1)??4
?
a
2
?1?0
?
综上所述,实数
a
的取值范围是
?
aa?1
或<
br>a≤?1
?
.
12
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