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高中数学讲义集合.参考教案.教师版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:09
tags:高中数学集合

怎么能学好高中数学-高中数学正余弦函数例题及解析














集合
高考要求


内容
集合的含义
集合的表示
基本要求
会使用符号“
?
”或“
?
”表示元素与集合之间的关系;
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题;
理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常
用数集,方程或不等式的解集等
理解集合之间包含与相等的含义,及子集的概念.在具体情景中,
了解空集和全集的含义; < br>理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与
并集.理解在给定集合中一个子集 的补集的含义,会求给定子集
的补集
掌握有关的术语和符号,会用它们表达集合之间的关系和 运算.能
使用维恩图表达集合之间的关系和运算.
集合间的基本关系
集合的基本运算


例题精讲

板块一:集合的概念
(一)主要知识:
1.集合
①定义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每个对象叫做集合的元素。
②表示
列举法:将集合中的元素一一列举出来,用大括号括起来,如{a,b,c}
描述法:将集合中的元素的共同属性表示出来,形式为:P={x∣P(x)}.
xy?x?1},{yy?x?1},{(x,y)y?x?1}
如:
{

图示法:用文氏图表示题中不同的集合。
③分类:有限集、无限集、空集。
?A或a?A
④性质 确定性:
a
必居其一,
互异性:不写{1,1,2,3}而是{1,2,3},集合中元素互不相同,
无序性:{1,2,3}={3,2,1}
2.常用数集

1


复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集
N
?
(或N
+
) 有理数集Q
?A或a?A
3.元素与集合的关系:
a

4.集合与集合的关系:
①子集:若对任意
x?A
都有
x?B
[或对任意
x?B都有
x?A
] 则A是B的子集。
记作:
A

A

?B或B?A
?B,B?C?A?C
②真子集:若
A?B
,且存在
x
,则A是B的真子集。
?B,但x?A
00
记作:
A
B[或“
A
”] AB,BC
?B且A?B
AC
?B且B?A?A?B

A

④空集:不含任何元素的集合,用
?
表示
对任何集合A有
?
?A
,若
A?
?

?
注:
a

?{a}?{0}?{}
5.子集的个数

A
,则A的子集个数、 真子集的个数、非空真子集的个数分别为2
n
个,
?{a,a,?a}
12n
2
n
-1个和2
n
-2个。
A
???
(二)主要方法:
1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么;
2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简;
3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验;
4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.
(三)例题分析:
【例1】
下列命题正确的有( )
⑴很小的实数可以构成集合;
22
y|y?x?1xy,
?
|y?x?1
⑵集合
?
是同一 个集合;
?
?
与集合
??
361

1,,,?, 0.5
这些数组成的集合有
5
个元素;
242
x,yx|y≤0, x,y?R
⑷集合
?
是指第二和第四象限内的点集.
??
?
A.
0
个 B.
1
个 C.
2
个 D.
3

【解析】A;⑴错的原因是元素不确定,⑵前者是数集,而后者是点集,种类不同,


【例2】
直角坐标平面除去两点
A(1,1)
B(2,?2)
可用集合表示为( )
361
?,??0.5
,有 重复的元素,应该是
3
个元素,⑷本集合还包括坐标轴.
242

2


?
?
x?1
?
x?2
?
??
A.
?
B.
?
(x,y)|
?
?
(x,)y|x???1,y1,x2,y?2
?
?

??
y?1
?
y?2
?
??
?
?
x?1
?
x?2
?
??
C.
?
(x,y)|
?< br>且
??

y?1y??2
??
??
??
2222
D.
?

(x,y)|[(x?1)?(y?1)][ (x?2)?(y?2)]?0
?
【解析】D.
考察点
(1,0)
,显然点
(1,0)
在除去点
A

B
以外的平面上,但点< br>(1,0)
不在A中,
故A是错误的,另外,此点也不在B、C中,所以应选D. ?
?
x?1
?
??
本题的关键点在于:按集合表示规则知,形如
?
(x,y)|
??
的集合中元素的横
??
?
y? 1
??
纵坐标均不等于
1
,即横坐标或纵坐标等于
1
的点, 比如点
?
?
x?1
?
??
等都不属于集合
?
(x,y)|
?
(1,0),(1,2),(0,1),(2,1)
?
.由 此可知,平面上除
??
?
y?1
??
??
?
x?1
??
去点
(1,1)
的点的集合不应用集合
?
(x,y)|
??
表示,应该表示为
?
?
y?1
?
??

(x,y)|(x????1)(y1)0
??
22


2
【例3】
已知集合
A
,其中
a?0
,且
A?B
,则
q

??{a,ad,a?2d},B?{a,aq,aq}< br>于___.
1
【解析】
?

2
?
a?d?aq

A?B
可得
?

2
?
a?2d?aq
?
a?d?aq
2
……①
?
?
a?2d?aq
2

a?0
,由①得:
q?1

2

q?q?1?0
1

q?1
,∴
q??

2

?AIB
【例4】
若集合
A

B? {
,则
C
的非空子集
?x|x≤6,x?N
x|x
是非质数 },
C
??
的个数为 .
4
?1?15
. 【解析】
15

A

C
,非空子集有
2
? 0,1,2,3,4,5,6?0,1,4,6
????


【例5】
A
,若
A
?{x|1??x???3},B{x|xa}
?1
. 【解析】借助数轴直观图分析可得
a≤
B
,则
a
的取值 范围是______



3



板块二:集合的运算
(一)主要知识:
1.有关概念
①交集:
A

?B?{xx?A且x?B}
A
B

A
B

A
B

②并集:
A

?B?{xx?A或x?B}
A
B

A
B

A
B

③全集:如果集合S含有 我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以
看作一个全集,通常用U表示。
A?{xx?U且x?A}
④补集:
C

U
U
C
U
A
A

2.常用运算性质及一些重要结论

A

?A?AA??A?B?B?A

A

?A?AA??AA?B?B?A

A

A

? (B?C)?(A?B)?C?A?B?C?(B?C)?(A?B)?C?A?B?C

A< br>
A

?(B?C)?(A?B)?(A?C)?(B?C)?(A ?B)?(A?C)

A

?CA?A?CA?U
UU

A

?B?A?A?BA?B ?B?A?B
??
?
?
(A?B)?(CA)?(CB)C(A?B)?(C A)?(CB)

C

UUUUUU

Card

(A?B)?Card(A)?Card(B)?Card(A?B)

(二)主要方法:
1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用;
2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题;

4


3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键.
(三)例题分析:
22
【例6】
已知集合
A
,若
A
,求实数a的
?a,a?1,??3,Ba??3,2a1,a?1
IB??3< br>??
????
值.
2
【解析】∵
A
,∴
?3?B
,而
a

?1??3
IB??3
??
∴当
a

?3??3 ,a?0,A?0,1,?3,B??3,?1,1
????
这样
A

A
矛盾;
IB??,1IB??3
?
3
???

2
符合
A

a?1??3,a??1,
IB??3
??

a??1


UB,AIB
【例7】
设集合
A

B
,求
A

?{x|(3x ?)(x?a)?0,a?R}?{x|(x?4)(x?1)0?}
【解析】
A

B??{3,a}{4,1}

IB??

a?3

AB

A

U?{1,3,4}

a?1

AB

A

U?{1,3,4}IB?{1}
同理 若
a?4

AB

A

U?{1,3,4}IB?{4}
IB??< br>若
a?1

3

4

A

A

UB?{1,3,4,a}


【例8】
下列表述中错误的是( )
IB?AUB?B
A.若
A?B
,则
A
B.若
A
,则
A?B

AIB?AU?B
C.
(
D.

AIB)苘A(AUB)
??
????
UUU
IB??AAUB
【解析】C;当
A?B
时,
A


【例9】

U
为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )
痧ABU
IB??
⑴若
A
,则
?

?U
?
U
?
?
U
痧AB?
UB?U
⑵若
A
,则
?

?
I
?
U
?
?
U
UB??
⑶若
A
,则
A

?B??
A.
0
个 B.
1
个 C.
2
个 D.
3

【解析】D;⑴
()

痧AU()BA?痧(IB)???U
UUUU

()

痧AI()BA?痧(UB)?U??
UUUU
?(AUB)
,即
A??,而
??A
,∴
A??
; ⑶证明:∵
A
?B??
同理
B??
, ∴
A


2
?{(x,y)y?9?x}N?{(x,y)y?x?b}且M?N?
【例10】
已知集合
M
,求实
数b的取值范围。
?
y
3
l
2
32

5
?
32
l
1
-3
0
-3
3
x


【解析】
?
,∴两点集M与N无公共点
M?N?
?
点集M是一个半圆,点集N是随b变化的一组平行直线
,满足
M

y?x?b

l
1

l
2
外侧(不包括
l
1

l
2

IN?
?

?b??3或b?32



板块三:2010集合高考真题分析
题型一:集合基本性质与关系
【例11】 < br>(2010年高考江苏卷试题1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a
2
+ 4},A∩B={3},则
实数a=_____ ____.
【答案】1
【解析】考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3, a=1.

【例12】
(2010年高考上海市理科14)以集合U=
?
的子集中选出 4个不
a,b,c,d
?
同的子集,需同时满足以下两个条件:
(1)
?
,U
都要选出;
(2)对选出的任意两个子集A和B,必有
A?B

B?A
。那么共有__ __种不同
的选法。
【解析】36
xxa??1,x?R}
【例13】
(2010年高考天津卷理科9)设集合A=
{
,B=
{xxb??2,x? R}
。若
A?B
,则实数
a,b
必满足
(A)
a?b?3
(B)
a?b?3

(C)
a?b?3
(D)
a?b?3

【解析】答案:D
?|a?1?xa??1
b ?2b?2
由题意可得:
Ax
,对集合B有
x?

x?< br>,因
??
?2?a?1?2?a?1b?3?b??3

A?B
,所以有
b

b
,解得
a?

a
,即< br>a?b?3
,选D。

6


【点评】本小题考查绝对 值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识,考查同学们数形结
合的数学思想。

【例14】
(2010年高考江苏卷试题1)设集合A={-1,1,3},B={a+2, a
2
+4},A∩B={3},则
实数a=_____ __.
【解析】答案:1
考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3, a=1.

题型二:集合的运算
【例15】
(2010年全国高考宁夏卷1)已知集合
},
B
,则
A

A?{|x|?2,x?R}
?B?
?{x|x?4,xZ?}
(A)(0, 2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
【解析】答案:D 。由已知得
A
,所以
AB

?{x?2?x?2},B?{0,1,L,16}
??{0,1,2}
【例16】
(2010年高考陕西卷理科1)集合A= {x∣
??
},B={x∣x<1},则
1x?2
AI(?)
= (D)
R
B
(A){x∣x>1} (B) {x∣x≥ 1} (C) {x∣
1
} (D) {x∣
1
}
?x?2?x?2
【解析】答案:D。

A
,∴
A
.故选
D
.
?x?1?x?2,CB?xx?1?(CB)?x1?x?2
RR
【例17】 (2010年高考重庆市理科12)设
U

A
,若
?{x?U| x?mx?0}
?{0,1,2,3}
2
??????
C

U
A?{1,2}
,则实数
m?
________.
1, 2
【解析】答案:-3。
?
l
U
A?
??

?
A={0,3},故m= -3.
题型三:新定义集合
【例18】
(2010年高考四川卷理科16)设S为复数集C的非空子集.若对任意
x,y?S

都有
xy
,则称S为封闭集。下列命题:
?,xy?,xyS?
①集合S ={a+bi|(
a,b
为整数,
i
为虚数单位)}为封闭集;
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
②若S为封闭集,则一定有
0?S

③封闭集一定是无限集; ?T?C
④若S为封闭集,则满足
S
的任意集合
T
也是封闭集.
w_w w. k#s5_u.c o*m
其中真命题是 (写出所有真命题的序号)
【解析】解析:直接验证可知①正确.当S为封闭集时,因为x-y∈S, 取x=y,得0∈S,
②正确对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误。取S= {0},
?T?C
T={0,1},满足
S
,但由于0-1=-1?T,故T 不是封闭集,④错误

7


答案:①②

【例19】
(2010年高考北京市理科20)(本小题共13分)
已知集合< br>S
对于
?{X|X?(x,x,…,x),xi?{0,1},?1,2,…,n}(n ?2)
n12n1

Bb
,定义A与B的差为
A?(a,a,…a,)?(,b,…b,)?S
12n12nn

A?B? (|a?b|,|a?ba|,|…?b|);
1122nn
A与B之间的距离为
dA (,B)?|a?b|

?
11
i?1
(Ⅰ)证明:
?
,且
d
;
A,,BC?S,有A?B?S
(A?C,B?C)?d(A,)B
nn
(Ⅱ )证明:
?
三个数中至少有一个是偶数
A,B,C?S,d(A,B),d(A,C),d(B,C)
n
(Ⅲ) 设P
?S
n
,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为
证明:

(P)≤
d
(P).
d
mn
.
2(m?1)
【解析】(I)设
A

B

C?(a,a, ...,a)?(b,b,...,b)?(cc,
2
,...,c)?S
n

12n12n1n
b0,1
因为
a
i

b
i?1,2,...,n)

?0,1
?
,所以
a
??
,
(
i
?i
?
i
?
www.@ks@
从而
A

?B?(|a??b|,|ab|,...,|a?b|)?S
1122nnn

d

(A?C,B?C)?||acbc|
i
??
i||
i
?
i
|
i?1
?
n
由题意知< br>a
i

b

c
?
?
0,1
?
(
.
i?1,2,...,n)

c
i
?0
时,
|
;
|ac|?|b?c|||?|a?b|
i?iiiii

c
i
?1
时,
|

|ac|?|b?c||?| (1?a)?(1?b)|?|a?b|
i?iiiiiii

所以
d

(A?C,B?C)?|ab?d(,AB)
i
?
i
|
i?1
?
n
?(a,a,...,a)?(b,b,. ..,b)?(cc,
2
,...,c)?S
n
(II)设
A

B

C
12n12n1n

dA

dA
.
(,B)?k(,C)?l

dB(,C)?h

8



O
,由(I)可知
?(0,0,...,0)?S
n

d

(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k

d

(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l

d

(B,C)?d(B??A,CA)?h
所以
|
中1的个数为
k

|
的1的
bai(?1 ,2,...,)ncai(?1,2,...,)n
i
?
i
|
i< br>?
i
|
个数为
l

???lk2t

t
是使
|
成立的
i
的个数,则
h
ba? ca?1
i
?
i
||
i
?
i
|
由此可知,
k,l,h
三个数不可能都是奇数,

d(A,B)< br>,
d(AC,)
,
d(B,C)
三个数中至少有一个是偶数。
(III)
dP()?
1
dA(,B)
,其中
?
d(A, B)
表示
P
中所有两个元素间距离的总和,
2
?
C
,B?P
A,B?P
m
A
www.@ks@

P
种所有元素的第
i
个位置的数字中共有
t
个1,
m?t
i< br>个0

A,B?P
?
d(A,B)
=
?
t (m?t)

ii
i?1
n
2
m
(i?1,2,...,n)

由于
t(m?t
i
)
?
4
nm
所以
?
d(A,B)
?
4
A,B?P
2

2
1nmmn
从而
d

()P?
2
?d(,AB)?
2
?
C4C2(m?1)
A,B?P
mm

22222
?,,aa,,a
?,aa,,aa,
【例20】
已知
Aa

Baa

a

??N(i1 ,2,3,4,5)
??
??
12345
12345
i
IB ?a,a

a
,且
A

a?a?a?a?aa10
,又
AUB
中所有元素之
??
14
123451
?
4
?
和为
224

222
求⑴
a
1
a
4
;⑵
aaaa

?????
2352
a
3
a
5
22222
IB?a,a
【解析】 ⑴由 已知可得
a
,且
A
,∴
a
1
?a
1
2
,则
a
1
?0

≤a≤a≤a≤a
??
14
12345
a
1
?1


a
1?0
,则
a
4
?10
,又集合
B
中必存在某个 数的平方为
10
,即
A
中存在
10


9


这与
a
矛盾,因此有
a
1
?1
,∴
a
4
?9

??N
(
i
1< br>,
2

3

4

5)
i
⑵ 由
A
可知
AUB
中必然只有
8
个元素,若
IB?a ,a
??
14
2222222
,且
a

a?a? a?a?a?a?a?a?a?a?224?10?234a82

?
4
?222

a

?a?a?a?a?a?234?10?82?142
235235

【变式】 ⑶
a
5
;⑷
A

2
【解析】 ⑶由
a
4
?9
,且
a
4
?a
5
, 可知
a
5
?10

a
5
?11

a

a142
5
?
5
?
222

a
5
?11
,则
a
,则
a

a132?a ?a?a?142?132?10
5
?
5
?
2233
a
2
2
?9

a
3
2
?9
, 则必有
a
2
?3

a
3
?3
,有
931
,矛盾∴
a
5
?11
不符
??21?0
合题 意
222

a
5
?10

a
,则
a

a110?a?a?a?142?110?32
5
?
5
?
2233
22

a
2
2
?9

a
3
2
?9
,则
a
2
?3

a
3
?3
,则有
a

aa20a20

2< br>?
2
?
3
?
3
?
解得:
a
2
?4

a
3
?4
,∵
3?4
,∴
a
2
?3

a
3
?4


a< br>1
?1

a
2
?3

a
3
?4

a
4
?9

a
5
?10


A

?1,3,4,9,10
??

【例21】
(2009年北京)
已知数集
?
具有性质
P:
对任意的< br>a,a,L,a1≤a?a?L?a,n≥2
????
12n12n
1≤i≤j ≤n
i,j
??

a
i
a
j

a
a
两数中至少有一个属于
A

⑴分别判断数集
?
是否具有性质
P
,并说明理由;
1,, 341,2,3,6
?

??
⑵证明:
a
1
?1< br>,且
【解析】 ⑴由于
3?4

aa
L
?a
1
?
2
?
n
?a
n

?1?1?1a?a?
L
?a
12n
4
均不属于数集
?
1, ,34
?
,所以该数集不具有性质
P

3
661236< br>由于
1?2

1?3

1?6

2?3,,,,,,都属于数集
?

1,2,3,6
?
231236< br>所以该数集具有性质
P

⑵因为
Aa
具有性质
P< br>,所以
a
n
a
n

?,a,L,a
??12n
a
a
n
n
中至少有一个属于
A
由于
1
,所以
a≤a?a?L?a
12nn
a
n
?a
n
,故
a
n
a
n
?A

a
从而
1
?
n
?A
,故
a
1
?1

a
n
aA??k2,3,L,n
因为
1
,所以
a

?a?a?L?a
??
kn
12nk
an
?a
n
,故
a
a
n
?Ak?
1
2

3
,L,n
??

a
k
aaaa
L?
n
?
n

又 因为
n
?
n
?
aaaa
nn?121

A
具有性质
P
可知

10


aaaa
nnnn

?a,?a,L,?a,?a
12n?1n
aaaa
nn?121
aaa
nn
a
n
从而
n

??L???a?a?L?a?a
12n?1n
aaa a
nn?121
aa
L
?a
1
?
2
?n

?
?a
n

1?1?1
a?a?
L
?a
12n
所以
家庭作业


习题1. ⑴由
a
2

2?a
4
组成一个集合
A

A
中含有
3
个元素,则实 数
a
的取值可以是
( ).
A.
1
B.
?2
C.
6
D.
2

⑵(2009年山东卷)
2
B?
?
1,a
集合
A
,若
A
,则
a
的值为( )
?0,2,aUB?0,1,2,4,16
????
?

A.0 B.1 C.2 D.4
22
【解析】 ⑴当
a?1
时,
a
矛盾,
?2?a
矛盾,当
a??2
时,
a?2?a?4


a?2
时,
a
2
?4
,矛盾
故选C
⑵答案:D

习题2. 已知非空集合
A
满足:①
A;②若
a?A
,则
5?
,符合上述要
a?A
?1234 ,,,
??
求的集合
A

的个数为 .
【解析】 答案:
3


2
3,m
习题3. 已知集合
A< br>,集合
B?
??1,3,2m?1
??
??
.若
B? A
,求实数
m

22
?2m?1?m?2m?1?0?m?1
【解析】 由已知
m


习题4. (2007福建)
?xx?a?x1?x?2UB
已知集合< br>A
,且
A
,则实数
a
的取值范围
?
?
?
?R
??

B
??
R
是( )
A.
a≤2
B.
a?1
C.
a≥2
D.
a?2

UB
【解析】 答案:C .
?

x≥2}
,因为
A
,所以
a≥2

B?{|xx≤1
?
?
?
?R
R
R

习题5. 定义集合运算:
A
,设集合
A

eB?{z|z ?xy(x?y),x?A,y?B}?{0,1},B?{2,3}
则集合
AeB
的所有元素之和为( )
A.
0
B.
6
C.
12
D.
18

【解析】 ⑴当
x?0
时,无论
y
为何值,都有
z?0

1,y?2
时,由题意
z?6
⑵当
x?

⑶当
x?
时,由题意
z?12

1,y?3
eB?
{
?12?18
故集合
A
,故选D
0,6,12}
,元素之和为
6

11



222
习题6. 已知
A
,其中< br>a?R
,如果
?xx?4x?0,B?xxa?2(?1)x?a?1?0
?? ??

AIB?B
求实数
a
的取值范围.
【解析】 化简得
A?
?
,∴
B?A

IB?B
0,?4< br>?
,∵
A
22
⑴当
B??
时,
?
, 解得
a??1

?4(a??1)4(a?1)0?
22
⑵当B?
?
0
?

?
?4
?
时,即
B?A
时,
?
,解得
a??1

?4(a??1)4( a?1)0?
此时
B?
?
0
?
,满足
B?A

?
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
?
⑶当
B?
?
,解得
a?1

0,?4
?
时,
?
?2(a?1)??4
?
a
2
?1?0
?
综上所述,实数
a
的取值范围是
?
aa?1
或< br>a≤?1
?



12

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