2015高中数学集合综合拔高训练一(有答案)

2015高中数学集合综合拔高训练（有答案）
一．选择题（共30小题）
x
1．（2014?山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨 ＜2}，B={y丨y=2，x∈[0，2]}，则A∩B=（ ）

A．[0，2] B． （1，3） C． [1，3） D． （1，4）

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
解答： 解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，
B={y丨y=2，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，
则A∩B={x丨1≤y＜3}，
故选：C
点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．

2．（20 14?温州一模）已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所 含元素的个数为（ ）


2 3 4 6
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 本题的关键 是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B 的元
素个数
解答： 解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}
则B中所含元素的个数为：3
故选：B
点评： 本题主要考查集合的元素，属于基础题．

3．（2 014?上海模拟）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※ n=m+n；
**
当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a， b）|a※b=16，a∈N，b∈N}中的元素个数是（ ）


7 11 13 14
A．B． C． D．

x
考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
**
分析：
由所给的定义，对a※b=16，a∈N，b ∈N进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两
类进行讨论，即可确定出元素的个 数
解答： 解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；
若 a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13） ，…（15，1）
满足条件的共8个；
若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b= 16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），
（4，4），（8，2） ，（16，1）共5个；
**
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N，b∈N}中的元素个数是13．
故选：C．
点评： 本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给 的定义及熟练运用分类讨论的思
想进行列举，本题属于基本题，

4．（2014 ?天门模拟）设集合A={﹣2，0，1，3}，集合B={x|﹣x∈A，1﹣x?A}，则集合B中元素的个 数为（ ）


1 2 3 4
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 首先，确定x的取值情况，然后，结合集合B中的元素特征，对x的取值情况进行逐个判断即可．
解答： 解：若 x∈B，则﹣x∈A，
∴x的可能取值为：2，0，﹣1，﹣3，
当2∈B时，则1﹣2=﹣1?A，
∴2∈B；
当0∈B时，则1﹣0∈A，
∴0?B；
当﹣1∈B时，则1﹣（﹣1）=2?A，
∴﹣1∈B；
当﹣3∈B时，则1﹣（﹣3）=4?A，
∴﹣3∈B，
综上，B={﹣3，﹣1，2}，
所以，集合B含有的元素个数为3，
故选C．
点评： 本题重点考查集合的元素特征，集合的列举法和描述法表示，属于基础题．
5．（2014?上海二模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算?：当m，n都为偶数或奇数时，m ?n=m+n；当
**
m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m?n=m?n．则在上述定义 下，集合M={（x，y）|x?y=36，x∈N，y∈N}
中元素的个数为（ ）


48 41 40 39
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 新定义．
*
分析：
根据定义，x?y =36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x?y=36；x和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．
解答：
解：x?y=36，x、y∈N
*
，
若x和y一奇一偶，则xy=36，满 足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；
若x和y同奇偶，则x+y=3 6，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1，故点（x，y）有35个，
∴满足条件的个数为6+35=41个．
故选：B．
点评： 本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．
6．（2014?佛山二模）对于集合M，定义函数f
M
（x）=，对于两个集合M，N， 定义集合M*N={x|f
M
（x）?f
N
（x）=﹣1}，已知A={2， 4，6}，B={1，2，4}，则下列结论不正确的是（ ）


1∈A*B 2∈A*B 4?A*B A*B=B*A
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 综合题；集合．
分析： 由定义得出两个集合A={2， 4，6}，B={1，2，4}中不在A*B中的元素，再结合四个选项即可得出正确答
案
解答：
解：由定义“对于集合M，定义函数f
M
（x）=”若A={2，4 ，6}，B={1，2，4}，则
当x=2，4，6时f
A
（x）=﹣1，x=1时 ，f
A
（x）=1；当x=1，2，4时f
B
（x）=﹣1，当x=6时，f
B
（x）=1

又由定义集合M*N={x |f
M
（x）?f
N
（x）=﹣1}，知f
M
（x）与f< br>N
（x）值必一为﹣1，一为1，由上列举知，
x=2，4时f
A
（x ）?f
B
（x）=1，故2，4?A*B
考查四个选项，B选项不正确
故选B
点评： 本题考查对新定义的理解及元素与集合关系的，此类题正确理解定义是解答的 关键，考查了分析与理解的
能力

7．（2014?广州一模）已知集合A=，则集合A中的元素个数为（ ）
5
D．


2 3 4
A．B． C．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 根据集合描述法的定义，用列举法表示出来即可
解答：
解：∵A={x|x∈Z且}={﹣1，1，3，5}，
∴集合A中的元素有4个，
答案：C．
点评： 本题考查了集合的描述法和列举法的表示，属于基础题．

8．（2014?眉山一模）设f（x）=（1+e）x﹣e．其中x∈R，t为常数；集合M={x| f（x）＜0，x∈R}，则对任意实
常数t，总有（ ）

A．﹣3?M，0∈M B． ﹣3?M，0?M C． ﹣3∈M，0?M D． ﹣3∈M，0∈M

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 根据题意，判定x=0，和x=﹣3是否是集合M中的元素即可；
解答：
解：根据题意，得f（x）=（1+e
t
）x﹣e
2t
＜0，
t2t
当x=0时，f（x）=﹣e＜0，∴0∈M；
t2tt2t
当x= ﹣3时，f（x）=﹣3（1+e）﹣e=﹣[3（1+e）+e
]＜0，∴﹣3∈M；
故选：D．
点评： 本题考查了元素与集合的关系，是基础题．

9． （2014?浙江二模）用n（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=
22
2t，
若A={x|x﹣ax﹣14=0，a∈R}，B={x||x+bx+2014|=2013， b∈R}，设S={b|A*B=1}，则n（S）等于（ ）


4 3 2 1
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 综合题；集合．
分析：
利用判别式确定n（A）=2，从而得到n（B）=1或3，然后解 方程|x
2
+bx+2014|=2013，讨论b的范围即可
确定S．
222
解答：
解：∵x﹣ax﹣14=0对应的判别式△=a﹣4×（﹣14）=a+56＞0，
∴n（A）=2，
∵A*B=1，∴n（B）=1或n（B）=3．
222
由|x+bx+2014|=2013，解得x+bx+1=0①或x+bx+4027=0②，
①若集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
∴b=2或﹣2．

②若集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
2
即△=b﹣4×4027=0，且b≠±2，解得b=±2，
综上所述b=±2或b=±2，
∴设S={b|A*B=1}={±2，±2}．
∴n（S）=4．
故选：A．
点评： 本题主要考查集合元素个数的判断，利用新 定义，将集合元素个数转化为对应方程根的个数，是解决本题
的关键．

10．（ 2014?徐汇区一模）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x
1
，y
1
）∈M，存在（x
2
，y
2
）∈M，使得
x1
x
2
+y
1
y
2
=0成立，则称集合M是“ 垂直对点集”．给出下列二个集合：
①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；则以下选项正确的是（ ）

A．①是“垂直对点集”，②不是“垂直对点集”

①B．不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”

①C．②都是“垂直对点集”

D．①②都不是“垂直对点集”

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 创新题型．
分析： 根据题中定义直接验证即可．
解答：
解： 对于①，任取两点（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2< br>）∈M，有x
1
x
2
+y
1
y
2
= ，
若x
1
x
2
＞0，则上式≥2；若x
1
x2
＜0，则上式≤﹣2．
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
≠0，因此①不是“垂直对点集”；
对于②，设P（x
1，y
1
）是y=sinx+1任意一点，则OP的斜率k=，
∴过原点O与OP垂直的直线为，与y=sinx+1必有交点．因此②是“垂直对点集”．
故选：B．
点评： 本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数 形结合的思想，解答的关键是对
新定义的理解．

11．（2014?厦门模拟） 若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该
点集M是“t阶稳定”点集，现有四个命题：
①对任意平面点集M，都存在正数t，使得M是“t阶稳定”点集；
②若M={（x，y）|x≥y}，则M是“阶稳定”点集；
③若M={（x，y）|x+y+2x+4y=0}，则M是“2阶稳定”点集；
22
④若M={（x，y）|x+2y≤1}，是“t阶稳定”点集，则t的取值范围是（0，1]．
其中正确命题的序号为（ ）
①② ②③ ①④ ③④

A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．
专题： 集合．
分析： 首先，对于①，直接判断即可，对于②：取（2，3），代人验证即可，对于③：取（ 1，﹣1）验证即可，对于④：
则直接根据“t阶稳定”点集进行求解．
2
22

解答： 解：对于①：平面点集M={（x，y）|x，y∈R}，
∴（tx，ty）∈M，
∴①正确；
对于②：∵M={（x，y）|x≥y}，
∴取（2，3），
而点（1，）?M，
∴②错误；
对于③：取（1，﹣1）为集合M上的一点，
则（2，﹣2）?M，
∴③错误；
对于④：∵x+2y≤1，根据题意，得
222
∴t（x+2y）≤1，
∵t∈（0，+∞），
∴t∈（0，1]．
∴④正确；
故选：C
点评： 本题重点考查了集合的元素特征，属于信息给予题，难度中等．准确理解给定的信息是解题的关键．

12．（2014?潍坊模拟）已知集合A={2，4}，B={1，2，4}，C={（x，y）|x ∈A，y∈B，且log
x
y∈N}，则C元素个
数是（ ）


2 3 4 5
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析：
首先，确定x∈A，y∈B时， 元素（x，y）的个数，然后，选出符合log
x
y∈N
*
的元素即可．
解答： 解：∵A={2，4}，B={1，2，4}，
∵x∈A，y∈B，
∴组成的元素（x，y）如下：
（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4），
*
其中符合log
x
y∈N的元素有：
（2，2），（2，4），（4，4）共3个，
故选：B
点评： 本题重点考查了集合的运算、集合之间的关系、对数的运算法则等知识，属于基础题．

2
22
*
13．（2014?顺义区一模）设数集M同时满足条件①M中不含元素﹣1， 0，1，②若a∈M，则
确的是（ ）

A．集合M中至多有2个元素 B． 集合M中至多有3个元素

集合M中有且仅有4个元素 C．D． 集合M中有无穷多个元素

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 根据条件分别进行推理即可得到结论．
2
解答：
解：若集合只含有一个元素，则=a，即1+a=a﹣a，
∈M．则下列结论正
即﹣a=1，不成立．
当a=3，则

2
=﹣2∈M

所以∈M
所以∈M
所以，=3
开始重复了，所以 M={3，﹣2，﹣，}，
当a=2时，即2∈M，则
若﹣3∈M，则
=﹣3∈M，
∈M，
若﹣∈M，则∈M，
若∈M，有∈M，
则A={2，﹣3，﹣，}，此时也只要四个元素，
根据归纳推理可得，集合M中有且仅有4个元素．
故选：C
点评： 本题主要考查命题的真假判断，利用元素和集合之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

14．（2014?鹰潭二模）定义A×B={z|z=xy，x∈A且y∈B}，若A= {x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，2}，则A×B=（ ）

A．{x|﹣1＜x＜2} B． {﹣1，2} C． {x|﹣2＜x＜2} D． {x|﹣2＜x＜4}

考点： 集合的表示法．
专题： 集合．
分析： 结合给定信息，直接求解z=xy，x∈A且y∈B的取值范围即可．
解答： 解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，2}，
且z=xy，x∈A且y∈B
∴﹣2＜z＜4，
∴A×B={x|﹣2＜x＜4}．
故选D．
点评： 本题重点考查了集合的元素特征，理解所给信息是解题的关键，属于中档题．

15．（2 014?浙江模拟）定义：若平面点集A中的任一个点（x
0
，y
0
），总存 在正实数r，使得集合B={（x，y）
|
①{（x，y）|x+y=1}
②{（x，y）||x+y+2|≥1}
③{（x，y）||x|+|y|＜1}

22
＜r}?A，则称A为一个开集，给出下列集合：

④{（x，y）|0＜x+（y﹣1）＜1}
其中是开集的是（ ）
③④ ②④ ①② ②③

A．B． C． D．

考点： 集合的表示法．
专题： 新定义；集合．
分析： 根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案．①表示以原 点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点
22
（x
0
，y
0< br>），即可判断；②表示两条平行直线之外的区域，（含两直线），在直线上任取一点（x
0
，y
0
），即可
判断；③表示中心为原点的正方形的内部，在该正方形中任取一点（ x
0
，y
0
），即可判断；④表示以（0，1）
为圆心，1为半径， 除去圆心和圆周的圆面．在该平面点集A中的任一点（x
0
，y
0
），即可判 断．
22
解答：
解：①{（x，y）|x+y=1}表示以原点为圆心，1为半径 的圆，则在该圆上任意取点（x
0
，y
0
），
以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}?A，
故①不是开集； ②{（x，y）||x+y+2|≥1}表示两条平行直线x+y+1=0，x+y+3=0之外的区域，（ 含两直线），
在直线上任取一点（x
0
，y
0
），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足
{（x，y）|＜r}?A，
故②不是开集；
③{（x ，y）||x|+|y|＜1}表示中心为原点，顶点为（1，0），（﹣1，0），（0，1），（0，﹣1）
的正方形的内部，在该正方形中任取一点（x
0
，y
0
），则该点到 正方形边界上的点的最短距离为d，
取r=d，则满足{（x，y）|
故③是开集；
④{（x，y）|0＜x+（y﹣1）＜1}表示以（0，1）为圆心，1为半径，除去圆心和圆周的圆面．
在该平面点集A中的任一点（x
0
，y
0
），则该点到圆周上的点的 最短距离为d，取r=d，
满足{（x，y）|＜r}?A，
22
＜r}?A．
故④是开集．
故选：A．
点评： 本题主要考查学生的阅读能力和对新定义的理解 ，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该是不含
边界的平面区域．本题的难点在于对新定义的理 解．

16．（2014?顺义区一模）设非空集合M同时满足下列两个条件：
①M?{1，2，3，…，n﹣1}；
②若a∈M，则n﹣a∈M，（n≥2，n∈N
+
）．
则下列结论正确的是（ ）

A．
若n为偶数，则集合M的个数为个

B．
若n为偶数，则集合M的个数为

C．
若n为奇数，则集合M的个数为

D．
若n为奇数，则集合M的个数为
个
个
个

考点： 集合的表示法；元素与集合关系的判断．
专题： 集合．
分析： 首先，针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．

解答： 解：若n为偶数，
则集合{1，2，3，…，n﹣1}的元素个数为奇数个，
因为a∈M，则n﹣a∈M，
所以从集合{1，2，3，…，n﹣1}中取出两数，使得其和为n，
这样的数共有对，
所以此时集合M的个数为
若n为奇数，
则单独取出中间的那个数，
所以此时集合M的个数为
个，
个，
故选：B．
点评： 本题重点考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．

17．（2014?江西一模）设集合


1
A．

3
B．
，则满足条件
4
C．
的集合P的个数是（ ）
8
D．
考点： 子集与真子集；并集及其运算．
专题： 计算题．
分析：
先利用列举法求出，再根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的
元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解集合P即可．
解答：
解：∵
∵
∴P=
，
或或或{0}
=
故选C．
点评： 本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．

18．（2014?佛山二模）若集合M，N满足M∪N=Ω，则称[M，N]是集合Ω的 一组双子集拆分，规定：[M，N]和[N，
M]是Ω的同一组双子集拆分，已知集合Ω={1，2，3 }，那么Ω的不同双子集拆分共有（ ）

A．16组 B． 15组 C． 14组 D． 13组

考点： 子集与真子集．
专题： 计算题．
分析： 根 据题意，由Ω的子集，结合题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义分情况讨论其不同双子集拆分的个数，
即可得答案．
解答： 解：∵Ω={1，2，3}，其子集是φ，{1}，{2}，{3}，{1， 2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共 两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，
与{1， 2}，共两组；
{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组 ，同理与{2，3}是一组双子集拆分有四组，
和{1，3}是一组双子集拆分共四组，
{1，2，3}与{1，2，3}一组；
但有6组重合的，所以共有20﹣6=14组，
∴A的不同双子集拆分共有14组，

故选C．
点评： 本题考查集合的子集，关键正确理解题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义，其次注意不要忽 视其中重复的
集合．

19．（2014?蚌埠三模）用card（A）表示非空 集合A中的元素个数，已知集合P={x|x+a﹣1=0，a∈R}，集合Q={x∈
32
（ 0，+∞）|x﹣x﹣x+c=0}，则当|card（P）﹣card（Q）|=1时实数c的取值范围是（ ）


c∈R
A．B． c＞0 C． c＞1 D． c＞0且c≠1

考点： 集合中元素个数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．
专题： 综合题；数形结合；函数思想；导数的综合应用；集合．
分析： 对于集合P，借助于换元法和二次函 数的图象可知，P只有一个元素，则由|card（P）﹣card（Q）|=1得，
集合Q含有零个或 两个元素，对于三次方程根的个数判断，利用导数研究其函数图象即可．
解答：
解：对于集 合P，令t=≥0，则t
2
+at﹣1=0，（t≥0），借助于图象可知，该方程必有且只有 一个正根，即card
（P）=1，
又因为|card（P）﹣card（Q）|=1，所以card（Q）=0或2，
对于方程 x﹣x﹣x+c=0，令f（x）=x﹣x﹣x+c，则f′（x）=3x﹣2x﹣1，由f′（x）=0得x=
由f′（x）=3x﹣2x﹣1可知，函数f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增， < br>所以要使x﹣x﹣x+c=0在（0，+∞）有2个或0个根，只需
32
2
32 322
，
，解得c＞1，或
0＜c＜1．
故选D
点评： 关于 方程根的个数、根所在范围等判断问题，一般是利用函数图象结合不等式来解，此题综合考查了一元
二次 方程在指定区间上方程根的判断，利用导数研究三次函数的性质然后进一步研究函数的图象，最后对
三次 方程根的个数加以判断．所以作为一个选择题难度有些大．

20．（2014?抚州一模 ）设集合A={x，y|y=}，B={x，y|y=k（x﹣b）+1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠? ，则
实数b的取值范围是（ ）

A．C． D．

B．


考点： 集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 依题意，可作出集合A与集合B中曲线的图形，依题意，数形结合即可求得实数b的取值范围．
解答：
解：∵集合A={（x，y）|y=}，B={（x，y）|y=k（x﹣b）+1}，
当0≤k≤1时，都有A∩B≠?，作图如下：

集合A中的曲线为以（0，0）为圆心，2为半径的上半圆，B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的 直线
上的点，
由图知，当k=0时，显然A∩B≠?，
当k=1，y=（x﹣b）+1经过点B（2，0）时，b=3；
当k=1，直线y=（x﹣ b）+1与曲线y=相切与点A时，由圆心（0，0）到该直线的距离d==2
得：
b=1﹣2或b=1+2（舍）．
∵0≤k≤1时，都有A∩B≠?，
∴实数b的取值范围为：1﹣2≤b≤3．
故选C．
点评： 本题考查集合关系中 的参数取值问题，考查数形结合思想的应用，考查作图与分析运算的能力，属于中档
题．

21．（2014?天津三模）设X
n
={1，2，3…n}（n∈N），对X
n
的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当
A取遍X
n
的所 有非空子集时，对应的f（A）的和为S
n
，则S
5
=（ ）


104 120 124 129
A．B． C． D．

考点： 集合关系中的参数取值问题；子集与真子集．
专题： 计算题；集合．
﹣
分析：
由题意得X
n
的任意非空子集A一共有2
n﹣1个，在所有非空子集中每个元素出现2
n1
次，可以推出有2
n
*< br>个子集含n，有2个子集不含n含n﹣1，有2子集不含n，n﹣1，含n﹣2，…，有2
n，n ﹣1，n﹣2…，k﹣1，含k，进而利用错位相减法求出其和，令n=5，即可求出S
5
．
﹣
解答：
解：由题意得，在所有非空子集中每个元素出现2
n1
次．
n
﹣< br>1n
﹣
2
故有2个子集含n，有2个子集不含n含n﹣1，
n
﹣
3
有2子集不含n，n﹣1，含n﹣2，…，
k
﹣
1
有2个子集不含n，n﹣1，n﹣2…k﹣1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴S
n
=2×n+2×（n﹣1）+…+2×2+1，
123n
﹣
1
即S
n
=1+2×2+2×3+2×4+…+2×n①
234n
又2S
n
=2+2×2+2×3+2×4+…+2×n②
123n
﹣
1n
∴①﹣②可得﹣S
n
=1+2+2+2+…+2﹣2 ×n
∴﹣S
n
=﹣2×n，
n
n
n
﹣
1n
﹣
21
﹣
1n
﹣
2n
﹣
3k
﹣
1
个子集不含
∴S
n
=（n﹣1）2+1，
5
∴S
5
=（5﹣1）×2+1=129．
故选：D．
点评： 本题主要考查集合的子集的概念，解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方 法求其和
即可，找出规律是关键．

22．（2014?江西二模）设集合P={ 3，log
2
a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）

A．{3，0} B． {3，0，1} C． {3，0，2} D． {3，0，1，2}

考点： 并集及其运算．
专题： 计算题．
分析：
根据集合 P={3，log
2
a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log
2
a=0，b=0，从而求得P∪Q．
解答： 解：∵P∩Q={0}，

∴log
2
a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
点评： 此题是个基础题．考查 集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正
数等基础知识的应用．

23．（2014?湖北模拟）已知M=且M∩N=?，则a=（ ）

A．﹣6或﹣2 B． ﹣6 C． 2或﹣6 D． ﹣2

考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 集合M表示y﹣3=3（x﹣2）上除去（2，3 ）的点集，集合N表示恒过（﹣1，0）的直线方程，根据两集
合的交集为空集，求出a的值即可．
解答： 解：集合M表示y﹣3=3（x﹣2），除去（2，3）的直线上的点集；
集合N中的方程变形得：a（x+1）+2y=0，表示恒过（﹣1，0）的直线方程，
∵M∩N=?，
∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过（2，3），
将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=﹣2；
若两直线平行，则有﹣=3，即a=﹣6，
综上，a=﹣6或﹣2．
故选：A．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

24 ．（2014?蚌埠二模）若集合A={（x，y）|y=cosx，x∈R}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）
{x|x≥0}


?
A．{x|﹣1≤x≤1} B． C． {x|0＜x≤1} D．

考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 判断集合A与集合B元素的含义，即可得到它们的交集．
解答： 解：因为集合A={（x，y）|y=cosx，x∈R}，A是点的集合，
B={x|y=lnx}，是函数的定义域，
两个集合的元素没有相同部分，
所以A∩B=?．
故选D．
点评： 本题考查集合的交集的求法，注意集合中元素的属性，是解题的关键．

25．（2014 ?南海区模拟）对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知M={x| a＜x＜b}，N={x|c
＜x＜d}，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，ab＜cd＜0， 则M⊕N=（ ）

A．（a，d）∪（b，c） B． （c，a]∪[b，d） C． （c，a）∪（d，b） D． （a，c]∪[d，b）

考点： 子集与交集、并集运算的转换．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 本题可先由 知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，ab＜cd＜ 0，得到a，b，0，
c，d的大小关系，再由新定义M⊕N的意义即可求出．
解答： 解：由已知M={x|a＜x＜b}，∴a＜b，又ab＜0，∴a＜0＜b，
同理可得c＜0＜d，

由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0，∴
又∵a+b =c+d，∴a﹣c=d﹣b，∴
，∴
，
，
又∵c＜0，b＞0，∴d﹣b＜0，因此，a﹣c＜0，
∴a＜c＜0＜d＜b，
∴M∩N=N，∴M⊕N={x|a＜x≤c，或d≤x＜b}=（a，c]∪[d，b）．
故选D．
点评： 本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换，充 分理解以上概念及运算法则是
解决问题的关键．

26．（2014?开封二模） 设全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|（x﹣1）cosa+ysina=2}，则 集合?
U
A对应的
封闭图形面积是（ ）
2π 4π 6π

A．B． C． D．
8

π

考点： Venn图表达集合的关系及运算；补集及其运算．
专题： 集合．
分析：
根据 点（1，0）到直线（x﹣1）cosa+ysina=2的距离恒为2，判断集合A表示的平面区域，从而得集 合?
U
A
对应的封闭图形，利用面积公式求解．
解答：
解：∵点（1，0）到直线（x﹣1）cosa+ysina=2的距离d==2，
∴直线（x﹣1）cosa+ysina=2始终与圆（x﹣1）+y=4相切，
22
∴集合A表示除圆（x﹣1）+y=4以外所有的点组成的集合，
22
∴集合?
U
A表示圆（x﹣1）+y=4，
2
∴对应的封闭图形面积为π×2=4π．
故选：B．
点评： 本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

27．（2013?江西）若集合A={x∈R|ax+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（ ）


4 2 0
A．B． C． D． 0或4

考点： 集合的确定性、互异性、无序性．
专题： 计算题．
分析： 当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．
解答： 解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件
22
2
当a≠0时，△=a﹣4a=0，解得a=4
故选A．
点评： 本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．

28．（2013?上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}， B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，2） B． （﹣∞，2] C． （2，+∞） D． [2，+∞）

考点： 并集及其运算；一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当 a=1时，易
得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的 解集得到a的范围．综
上，得到满足题意的a范围．
解答： 解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
2

若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选B．
点评： 此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

29．（2013?上海）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）

A．B． C．
D．
?

U
{0}
?
U
（?
u
?）
Z∪?
U
N N∩?
U
N

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．
解答： 解：∵全集U=R，
∴Z∪?
U
N=R，N∩?
U
N=?，?
U
（?
u
?）=?，?
U
{0}={x∈R| x≠0}．
故选A．
点评： 本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．

30．（2013?宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集 合A={a
1
，a
2
，a
3
}是S的子集，且a
1
，a
2
，a
3
满足a
1
＜a
2
＜ a
3
，a
3
﹣a
2
≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）


78 76 84 83
A．B． C． D．

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 计算题．
分析：
从集合S中 任选3个元素组成集合A，一个能组成C
9
3
个，再把不符合条件的去掉，就得到满足 条件的集
合A的个数．
3
解答：
解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C
9
个，
其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，
3
所以满足条件的集合A的个数C
9
﹣1=83．
故选D．
点评： 本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．