高中数学集合的含义与表示 知识探讨

集合的含义与表示 知识探讨
合作与讨论
一、如何理解集合的概念？
集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义
概念．教材中对集合的描述是：“指定的某些对象的全体称为集合．”应抓住“指定”“对象”“全体” 三点
加以全面理解．
1．“指定”即说明“某些对象”具有共同的特征或共同的属性，说 明已具备判定对象是否成为该集合
的元素的判定标准，而不是随意组合．
2．“对象”在 不同的集合中，应有不同的内涵．在不同的集合中元素还可能是人、物、质点或抽象事
物等等．
3．“全体”说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列 要
求、没有一定顺序关系．
4．元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号
?
表示）和不属于（用符号符号
?
表示）．如2
?
｛1，
2 ，3｝，4
?
｛1，2，3｝，｛1｝
?
｛1，2，3｝，而｛1｝
?
｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝．
5．集合具有两个方面的意义：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就一定符合条件．
二、集合中元素的三大特征是什么？应如何理解？
我们知道集合元素必具备：确定性、互异性、无序性，否则不能构成集合．
1．确定性：对于一个 给定的集合，它的元素的意义应当是明确的．依照元素公有的特征标准，可以
明确地判定某一对象是这个 集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可．例如“我
们班的高个子同学”就不具 备确定性；因为组成集合的标准不明确．身高多少时算“高个子”？再如“著
名科学家”“较大的数”“ 宇宙中的星体”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，
即元素的“指定” ．
2．互异性：一个给定集合的元素之间必须是互异的，即一个集合中的任两个元素（对象）应该是不
同的，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中．如方程（
x
－1）（< br>x
－2）＝0的根为：
x
1
?1
，
2
｛x
2
｝＝1，
x
3
?2
，而该方程的解集记为｛1，2 ｝，而不能记为｛1，2，3｝．反过来，如｛1，－1，
a
｝
2
表示一个集 合，则其中
a??1
．
3．无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分．如 ｛1，2，3，4｝与｛4，1，2，3｝表示同一
个集合．
在构成集合时元素需同时具备以上三个特征，缺一不可．
三、集合三种表示方法的要求有哪些？何时选用列举法、描述法、韦恩图法？
1．列举法：把集合 中的元素一一列举出来，置于大括号内．诸元素｛
x
1
，
x
2
，…，
x
n
｝
构成的集合记为｛
x
1
，
x
2
，…，
x
n
｝．
在使用列举法时应注意以下四 点：（1）元素间用分隔号“，”；（2）元素不重复；（3）不考虑元素顺序；
（4）对于含元素较多 的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元
素间的规律呈现出来后 ，才能用省略号表示，如N*＝｛1，2，3…，
n
｝，｛1，3，5，7，9…｝．
列举法适用于表示元素个数较少的集合，对于元素个数较多甚至有无穷多个元素的集合，一般不便于
用列举法表示．但对于一些元素经适当排列后有规律的数集，也可以用列举法表示．
2． 描述法：选用代表元素和借助元素公有的确定条件来表示集合．形如｛
x
?
A
｜
P
（
x
）｝或｛公有属
性｝，其中
x
为该集合中 元素的代号，它表明了该集合中的元素是“什么”；
A
是特定条件；
P
（x
）为该集
合中元素特有的公共属性、特征．
在使用描述法时应注意以下几 点：（1）写清元素代号；（2）说清集合中元素的特性；（3）文字表述多

层次时，应 当准确使用“且”“或”；（4）所有描述的内容都写在集合括号内；（5）语句力求简明、确切，
字句 逐一说明．
3．列举法、描述法的书写及读法：
分 类
描述法
符 号
｛1｝
应用举例
｛
x
?
A
｜
P
（
x
）｝
读 法
诸元素
x
1
，
x
2
，…
x
n
构成的集合
使
P
（
x
）为真的
A
中诸元素集合
列举法 ｛，…，｝ ｛
x
1
，
x
2
，…，
x
n
｝
4．图示法－－韦恩图法
采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合．如，用韦恩图表示为：

表示集合的图形的形 状、大小与集合的性质没有任何关系，它仅仅把集合中的元素都包括在内，从而
体现“整体”．韦恩图可 直观地表示集合，帮助我们理解、分析问题，但不能作为严密的数学工具使用．
上述的集合表示法 各有特点，根据不同的情况，可选掸适当的方法表示集合，而且表示法之间有时可
以相互转化，关键在于 正确理解集合语言、文字语言、图形语言间的转换，这标志着一个学生的理解能力
的高低．其三者关系如 下图：

四、如何理解空集？
1．
?
中含有什么
在集合
?
中含有什么样的元素？什么也没有．
空集的定义就是：不含任何元素的集合．
由集合的一般定义，集合中要有“指定的元素（对象）” ，空集既然也是集合，指定对象哪里去了呢？
里边没有元素它还叫集合吗？
由此可见，在这个地方存在矛盾，因此空集的定义不应包含在一般情况中，而是专门作了特殊规定．
正如一些其他同类问题一样，我们也规定存在一个没有元素的集合．它不同于其他普遍意义下的集合，
是 单为运算的简化、统一和表达的需要而引进的特殊记号．只要有集合的地方，就会有它的应用，和其他
集 合不同，它不含有任何元素．
你说｛0｝是空集吗？不对，它不是空集，它的内部已经有元素0了．
2．
?
和｛
?
｝是什么关系

?
是不含任何元素的集合．
｛
?
｝是只含有一个元素
?
的单元素集．虽然
?
中没有元素，但作为集合来说，｛
?
｝是含有 一个
元素
?
的，所以
?
?
｛
?
｝．
其次，在后面的学习中将规定：“空集是任何集合的子集”，所以
?
?
｛
?
｝．上面已经指出，｛
?
｝
是非空集合，根据“空集是任何非空集 合的真子集”，又可得出
?
｛
?
｝．
由此可见，这里有一个有 趣的现象，在
?
与｛
?
｝之间，我们可用四个符号
?
、?
、
?
、
中的任

意一个把它们连结起来，但不能 用等号连结．
五、列举法、描述法的优劣及使用要求．
本小节列举法和描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准，有如下的规定：
符 号
应 用
意义或读法
备注及示例
｛，…，｝
｛
x1
，
x
2
，…，
x
n
｝
诸元素｛< br>x
1
，
x
2
，…，
x
n
｝构成集
也可用｛
x
i
，i
?
｝
｛1｝
｛
x
?
A
｜
P
（
x
）｝
使命题
P
（
x
）为真的
A
中诸元素之集
｛
x
?
R｜
x
≤5｝，｛
x
｜
x
≤5｝
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集时 ，不宜采
用列举法，因为不能将无限集中元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．