高中数学教案集合与简易逻辑

集合与简易逻辑
一.知识网络
以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.

二．高考考点
1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.
2．对集合知识的综合应用， 重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决
问题的能力.
3．理解逻辑联结 词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，
重点考查逻辑推理和分析问题的 能力. 4．充分条件与必要条件的判定与应用.
三．知识要点
（一）集合
1.集合的基本概念
（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集
合的 元素须具备以下三个特性：
（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的 元素是明确的，
只有“是”与“否”两种情况.
（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.
（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.
（2）集合的表示方法
集合的一般表示方法主要有
（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.
提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己
表示有误或被他人 迷惑.
（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
① 描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的
代表元素” ，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属
于集合的确定的条件）.
②认知集合的过程：
认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结 合前面的考察与集合的
意义认知集合本来面目.
例：认知以下集合：
；;，其中M=｛0，1｝.
分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y） 点（x,y）坐标满足函数式
y=x-1(x∈R) 点（x,y）在抛物线y=x－1上 集合A是抛物线y=x-1(x∈R)上的点所组成的
集合.
对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范
围集合B是二次函数y=x-1( x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x-1(x∈R)的值域，故
B=｛y|y≥－1｝.
对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x-1的自变量集合C是二次函数y=x-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x-1(x∈R)的定义域，即C=R.
对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，
｛1｝，｛0，1｝｝.
（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集
合 的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.
评注：集合的符号语言与文字语言的相 互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的
继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.
2．集合间的关系
（1）子集
（I）子集的定义（符号语言）：若x∈Ax∈B,则AB（注意：符号的方向性）
规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φA 显然：任何一个集
合都是自身的子集, 即AA.
（II）集合的相等：若AB且BA，则A=B.
（III）真子集定义：若AB且A≠B；则AB（即A是B的真子集）. 特例：空集是任何
非空集合的真子集.
（2）全集，补集

2
22
22
2
222

（I） 定义：设I是一个集合，AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中
子集A的补集（或余集 ），记作 A，即 A=｛x|x∈I,且xA｝. 在这里，如果集合I含有我
们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.
（II）性质： φ=U； U=φ； （A）=A
（III）认知：补集思想为我 们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范
围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时 ，要想到运用“间接法”进行转化求解.
（3）交集，并集
（I）定义：
①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝;
②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与 B的并集，记作A∪B，
即A∪B=｛x|x∈A,或x∈B｝.
（II）认知：上面定义 ①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集
的个性，又展示二者之间的关系.在这 里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用
语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生 活，但又高于生活中的“或”：生活用
语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有； 而并集概念中的“或”是
“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三 种情形：x∈A且
xB；x∈B且xA；x∈A且x∈B.
（III）基本运算性质
①“交”的运算性质 A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩A =φ；（A∩B）∩C= C∩
（A∩B）= A∩B∩C
②“并”的运算性质 A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B
∪C）= A∪B∪C
③交.并混合运算性质
A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）； A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）
=A A∪（A∩B）=A
（ IV ）重要性质
①A∩B=AAB； A∪B=BAB；
② A∩B=（A∪B）； A∪B=（A∩B）
上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.
（二）简易逻辑
1.命题
（1）定义
（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由
简 易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. 复合命题的构成形式：①p或q；②p且
q；③非p（即命题p的否定）.
（2）复合命题的真假判断
（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；
（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；
（III）“非p”与p的真假相反.
（3）认知
（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”

来定义的：A∪B=
｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立 的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p
不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B 中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的
是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.
（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q” p
或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）
（4）四种命题
（I）四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题
的形式为
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p; 否命题：若p则q 逆否命题：若q则p.
（II）四种命题的关系
①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据
和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
2.充分条件与必要条件
（I）定义：若pq则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq则说p 是q的充
分必要条件（充要条件）.
（II）认知：
①关注前后顺序：若pq则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.
②辨析条件、结论
若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.
③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.
“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且 只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为
充要条件的同义词语.
四.经典例题
例1．判断下列命题是否正确.
（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;
（2）设P=｛x|y=x｝,Q=｛(x,y)|y=x｝,则pQ;
（3）设，则MN；
（4）设，，则集合等于M∪N；
分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序 实数对（-1，2），而－1或2不是有
序实数对，故命题为假.
正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝
（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.
（3）为认知 集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素
表达式实施通分，对于集合M， 其代表元素，2k+1为任意奇数； 对于集合N，其代表元素，
k+2为任意整数.由此便知MN，故命题正确.
（4）不正 确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠
－3 且
x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.

22
注意到条件与结论的相对性.

揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有
例2．设集合A= ｛x|x+4x=0｝,B=｛x|x+2(a+1)x+a－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；
（2）若A∪B=B，求a的值.
解：集合A=｛－4，0｝
（1）A∩B=BBA即B｛－4，0｝
由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.
（I）若0∈B，则有a－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.
又当a=－1时，方程x+2(a+1)x+a－1=0x=0x=0
此时B=｛0｝符合条件；
当a=1时，方程x+2(a+1)x+a－1=0x+4x=0x(x+4)=0
此时B=A符合条件.
（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a－1=0a－ 8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或
a=7
当a=1时，由（I）知B=A符合条件；
当a=7时，方程x+2(a+1)x+a－1=0x+16x+48=0(x+12)(x+4)=0 x=－12或x=－4
此时B=｛－12，－4｝A.
（III）注意到BA，考 察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）－4(a－1)<0a<－1,此时集
合B显然满足条件.
于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.
（2）集合B中至少有两个元素①
而方程x+2(a+1)x+a－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②
∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A 此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为
a=1.
点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为
重要 ：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；
对集合B的存 在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级
讨论.“特殊”（特殊关 系或特殊取值）是分类讨论的切入点.
（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是 设置陷阱的幽灵，注意到“一
般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去 构建“特殊”与
“一般”的辩证统一.
例3．已知A=｛x|x-4x+3<0,x∈R ｝,B=｛x|2+a≤0且x-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若AB，
试求实数a的取值范围.
解：A=｛x|12(a+7)x+5≤0总成立.
（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两 实根，且一根不
大于1，而另一根不小于3
①
（2）令g(x)=－2
1－x
2
1-x2
21-x2
22
22
22222
222
222
2
222
, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，2
1－x
+a≤0总成立. a≤g(x)总成
立a≤g
min
(x) a≤－1 ②
∴将①.②联立得－4≤a≤－1. ∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.
点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：
（1）当f(x)在给定区间上有最值时 a≤f(x)恒成立a≤f
min
(x) a≥f(x)恒成立
a≥f
max
(x)

（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界 a≥f(x)恒成
立 a≥f(x)的上确界
例4．已知p:-2≤x≤10,q:1- m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m
的取值范围.
分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.
解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).
令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,
则由是q的必要而不充分条件得BA或m9
∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.
点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类
问题的又一基本策 略.
例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式 恒
成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.[2,＋∞) C.[-2,2] D.(-2,2)
（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2
∴P: －2＜a＜2 ① 又 不等式恒成立a小于的最小值 ②
＋≥＝2 ③ ∴由②、③得 a﹤2 即Q: a﹤2
（ⅱ）分析、转化已知条件 “P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④
“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2 ⑤
于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2 ∴实数a的取值范
围为（－∞，－2].
例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q
的什么条件？
分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程
的两 个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.
解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝
又由韦达定理得 ∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1 即 qp ③
另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式
△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q ④
于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.
点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的 图像易得关于x的二次方程有两个小于1
的正根的充要条件为

在这里容易产生错误结论为：方程x+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是

分析：
2
想一想：错在哪里？你能举出反例吗？
注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.
五.高考真题
1．设I为全集，S
1
，S
2
，S
3
是I的三 个非空子集，且S
1
∪S
2
∪S
3
=I，则下面判断正确的
是（ ）
A．S
1
∩（S
2
∪S
3
）=φ B. S
1
（S
2
∩S
3
）

C．S
1
∩S
2
∩S
3
=φ D. S
1
（S
2
∪S
3
）
分析：对于比较复杂 的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特
取法或文氏图筛选.
解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，
∴S
1
∩S
2
∩S
3
=（S
1
∪S
2
∪ S
3
）=I=φ，故选C
解法二（特取法）：令S
1
=｛1， 2｝，S
2
=｛2，3｝，S
3
=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S
1
=
｛3｝S
2
=｛1｝S
3
=｛2｝由此否定A、B； 令S
1
=S
2
=S
3
=｛a｝，则I=｛a｝，S
2
=S
3
=φ，由此否
定D. 故本题应选C
2．已知向量集合，则M∩N等于（ ）
A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ
分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得
，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y +2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.
同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝
∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C
点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.
3．设集合I=｛(x,y )|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那< br>么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（ ）
A． m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5
分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈B （※）
又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A

4．设函数， 区间M=[a,b](a有（ ）
A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个
分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达 式
中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析 .
∴当x>0时，f(x)<0; 当x=0时，f(x)=0； 当x<0时，f(x)>0.
由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；
又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在 a题应选A.
点评：解决分段函数问题的基 本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是
解题成败的关键所在.
5．函数，其 中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=
｛y |y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ； ②若P∩M≠φ，
则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R 其中正确判断有（ ）
A． 1个 B 2个 C 3个 D 4个
分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数 y=f (x)(x
∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0 ｝,M=｛x|x<0｝,
则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝
此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R 由此判断①.③不正
确
（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（ 否则便由f(x)的解析式导出矛

盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.
（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M) 若存在非零
x
0
P∪M,(※),易知x
0
f(P)
当x
0
f(M)时，有x
0
f(P)∪f(M)；当x
0
∈ f(M)时，则易知－x
0
∈M.注意到这里－x
0
≠0，所
以－x
0
P，从而－x
0
f(P).
又∵x
0
M， ∴－x
0
f(M)， ∴－x
0
f(P)∪f(M) （※※）
∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.
点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.
6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);
（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.
分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.
（2）从确定 A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结
为不等式（组）的求解问题.
解：（1）原不等式|x－1|>1－a 当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；
当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;
当1－a>0，即a<1时，原不等式x－11－ax2－a
于是综 合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集
为（－∞，a）∪（ 2－a,+ ∞）
（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝ 注意到 =
= ∴
∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三 个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2
－a]的右端点的限制)
(对A=[a,2－a]的左端点的限制)
故得 －1 点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含
三个 整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），
又要考虑相关 区间的左右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条
件的等价不等式组.