2000-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)05集合函数

2000-2017年全国高中数学联赛分类汇编（精编版）05
集合函数部分 1、（2000一试1）设全集是实数，若
A
={
x
|
x?2< br>≤0}，
B
={
x
|
10
x
2
?2
=
10
x
},则
A?B
是
（ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {
x
|
x
≤2} (D)
?


2、（2001一试1）已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0, x∈R}的子集的个数
为（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
【答案】C
２２２
【解析】 M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所
２
以Ｍ含有 2个元素．故集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．
22

5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a
1
, a
2
, … , a
100
}与B={b
1
, b
2
, … , b
50
}，若从A
到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a
1< br>)≤f(a
2
)≤…≤f(a
100
)，则这样的映
射共有( )
50504949
(A)
C
100
(B)
C
90
(C)
C
100
(D)
C
99

【答案】D
【解析】不妨设b
1
2
<… 50
，将A中元素a
1
, a
2
, … , a
100按顺序分为非空的50组，定义
映射f：A→B，使得第i组的元素在f之下的象都是b
i
(i=1,2,…,50)，易知这样的f满足
题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条 件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数
第 1 页 共 20 页

49 49
与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为
C
99
，则这 样的映射共有
C
99
，
故选D。


7、（20 06一试5）设
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
，则对任意实数
a,b
，
a?b?0
是
?
?
f(a)?f(b)?0
的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】显然
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
为奇函数，且单调递增。于是若
a?b?0
，则
?
?
a??b
，有
f(a)?f(?b)? 0
，即
f(a)??f(b)
，从而有
f(a)?f(b)
.反之， 若
f(a)?f(b)?0
，则
f(a)??f(b)?f(?b)
,推出
a??b
，即
a?b?0
。
[来源:Z§xx§]
8 、（2007一试6）已知
A
与
B
是集合{1，2，3，…，100}的两个 子集，满足：
A
与
B
的元
素个数相同，且为
A
∩< br>B
空集。若
n
∈
A
时总有2
n
+2∈
B
，则集合
A
∪
B
的元素个数最多为（ ）
A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

第 2 页 共 20 页

5?4x?x
2
9、（2008一试1）函数
f(x)?
在
(??,2)
上的最小值是 （ ）。
2?x
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
1?(4?4x?x
2
)1
1
【解析】当x?2
时，因此
f(x)?
2?x?0
，
??(2?x)
?2??(2?x)

2?x2?x
2?x
?2
，当且仅当
1
?2?x
时取等号．而此方程有解
x?1?(??,2)
，因此
f(x)
在
(??,2)
上
2?x
的最小值为2．故选C.

10、(2008一试2) 设
A?[?2,4)
，
B?{xx< br>2
?ax?4?0}
，若
B?A
，则实数
a
的取值范 围
为（ ）。
（A）
[?1,2)
（B）
[?1,2]
（C）
[0,3]
（D）
[0,3)


11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋
【答案】
[1,)?[2,??)

【解析】先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）＝ｘ－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ－2）／（2
２< br>ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于
能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
２２２
的值域为______________．
3
2

13、（2002一试11）若
olg
【答案】
3

4
(x?2y)?olg
4
则|x|?|y|的最小值是 。
(x?2y)?1
，
第 3 页 共 20 页

14、（2003一试9）已知
A=
{
x
|
x
－4x
+3<0，
x
∈
R
}，
B=
{
x
|2
∈R}
若
A
?
B
，则实数
a
的取值范围是 ．
【答案】－4≤
a
≤－1
【解析】
A=
(1，3)；又，
a
≤－2
－4)．

∴ －4≤
a
≤－1．

1－
x
21 －
x
+
a
≤0，
x
－2(
a
+7)
x
+5≤0，
x
2
1
x
+5
∈(－1，－)，当
x
∈(1，3)时，
a
≥ －7∈(5－7，
42
x
2

17、（2005一试8）已知
f(x)
是定义在
(0,??)
上的减函数，若
f(2a
2
?a?1)?f(3a
2
?4a?1)
成立，则
a
的取值范围是
【答案】
0?a?
1
或1?a?5.

3
第 4 页 共 20 页

【解析】
?f(x)
在
(0,??)上定义，又
17
2a
2
?a?1?2(a?)
2
??0 ;3a
2
?4a?1?(3a?1)

48
1
?
( a?1),
仅当
a?1
或
a?
时，
3a
2
?4a?1?0.(?)

3
?f(x)
在
(0,??)
上 是减函数，
?2a
2
?a?1?3a
2
?4a?1,?a
2
?5a?0,?0?a?5,
结合（＊）知
0?a?

1
或
1?a?5.

3

19、（2008一试1 1）设
f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满足

f(x?2)?f(x)?3?2
x
，
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008)= .
方法二： 令
g(x)?f(x)?2
x
，则
g(x?2)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0
，
g(x?6)?g(x) ?f(x?6)?f(x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0
，
即
g(x?2)?g(x),g(x?6)? g(x)
，故
g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)
，得
g(x)
是
周期为2的周期函数，所以
f(2008)?g(2008)?2
2008
?g(0)?2
2008
?2
2008
?2007
．

第 5 页 共 20 页

20、（2009一试1 ）若函数
f
?
x
?
?
1

10
f
??
?
x
?
?f
?
x
?
?
1
?
f
?
f
?
f
?
x
?
?
且
f
(n)
?
x
?
?f
?
， 则
f
?
99
?
?
1
?
?
．
??
??
2
?????????
1?x
n
x< br>【答案】
【解析】
f
?
99
?
x
1?x2
，
f
?
2
?
?
x
?
?f< br>?
?
f
?
x
?
?
?
?
x< br>1?2x
2
，……，
?
x
?
?
x
1 ?99x
2
．故
f
?
99
?
?
1
?
?
1
．
10

21、（2009一试6）若方程
lgkx?2lg
?
x?1
?
仅有一个实根，那么
k
的取 值范围是 ．
【答案】
k?0
或
k?4

【解析】当且仅当
kx?0

x?1?0





①
②
③
x
2
?
?
2?k
?
x?1?0

1
对③由求根公式得
x
1
，
x
2
?
?k?2?k
2
?4k
?
④
?
2
?< br>??k
2
?4k≥0?k≤0
或
k≥4
．
?
x?x?k?2?0
(ⅲ)当
k?4
时，由③得
?
1 2
，
xx?1?0
?
12
所以
x
1
，< br>x
2
同为正根，且
x
1
?x
2
，不合题意， 舍去．综上可得
k?0
或
k?4
为所求．

22、（2010一试1）函数
f(x)?
【答案】
[?3,3]

【解析】易知
f(x)
的定义域是
?
5,8
?
，且
f(x)
在
?
5,8
?
上是增函数，从而可知
f( x)
的值域
为
[?3,3]
.
x?5?24?3x
的值域是 .
第 6 页 共 20 页

23、（2010一试5）函数
f(x)?a
2 x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为
8，则它在这个区间上的最小值是 .
【答案】
?
1

4
3
2
【解析】令< br>a
x
?y,
则原函数化为
g(y)?y
2
?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是递增的.
?2?1?1< br>当
0?a?1
时，
y?[a,a
?1
]
,
g (y)
max
?a?3a?2?8?a?2?a?
1
，
2
2
所以
g(y)
min
?()?3?
1
2
11
?2??
；
24
当
a?1
时，
y?[a
?1
,a]
，
g(y)
max
?a
2?3a?2?8?a?2
，
1
.
4
1
综上
f(x)
在
x?[?1,1]
上的最小值为
?
.
4
?2?1
所以
g(y)
min
?2?3?2?2??

24、（2011一试1） 设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4< br>}
，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的
集合为
B?{ ?1,3,5,8}
，则集合
A?
．
【答案】
{?3,0,2,6}
.


25、（2011 一试2）函数
f(x)?
x
2
?1
的值域为 ．
x?1
【答案】
(??,?
2
]?(1,??)
2
1
2sin(
?
?)
4
1
1
??< br>?
?
【解析】设
x?tan
?
,??
?
?< br>，且
?
?
，则
f(x)?
cos
?
?
tan
?
?1sin
?
?cos
?
224
?．
12
?
]?(1,??)
． 设
u?2sin(
?
?)
，则
?2?u?1
，且
u?0
，所以
f(x)??(??,?
u2
4
第 7 页 共 20 页

26、（2012一试6）设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x
?
．若对任意< br>的
x?[a,a?2]
，不等式
f(x?a)?2f(x)
恒成立，则 实数
a
的取值范围是 ．
【答案】
[2,??).
2
?
?
x(x?0)
【解析】由题设知
f(x)?
?< br>2
,则
2f(x)?f(2x).
因此,原不等式等价于
?
?
?x(x?0)
f(x?a)?f(2x).

因为
f(x)
在
R
上是增函数,所以
x?a?2x,
即
a?(2?1)x.又
x?[a,a?2],
所以当
x?a?2
时,
(2?1)x
取得最大值
(2?1)(a?2).
因此,
a?(2?1)(a?2),解得
a?2.
故
a
取值范
围是
[2,??).


27、（2013一试1）设集合
A?
?
2,0,1,3
?
，集合
B?
?
x|?x?A,2?x
2
?A
?< br>.则集合
B
中所有元
素的和为 .
【答案】-5


28、（2013一试5）设
a,b
为 实数，函数
f
?
x
?
?ax?b
满足：对任意
x?
?
0,1
?
，有
f
?
x
?
?1< br>.
则
ab
的最大值为 .
【答案】
1
.
4
【解析】易知
a?f
?
1
?
?f
?
0
?
，
b?f
?
0< br>?
，则
22
111
??
1
ab?f
?0
?
?
?
f
?
1
?
?f
?< br>0
?
?
??
?
f
?
0
?
? f
?
1
?
?
?
?
f
?
1
?
?
?
?
f
?
1
?
?
?
.
244
??
4
2
111
当
2f
?0
?
?f
?
1
?
??1
，即
a?b? ?
时，
ab?
.故
ab
的最大值为.
244
第 8 页 共 20 页

29、（2014一试1）若正数
a,b< br>满足
2?log
2
a?3?log
3
b?log(a?b)< br>,则
__________.
【答案】108
【解析】
设2?lo g
2
a?3?log
3
b?log
4
(a?b)?k,则a ?2
k?2
,b?3
k?1
,

11
?
的 值为
ab
11a?b6
k
a?b?6,从而???
k?2k?3?2
2
?3
3
?108

abab2?3
k

30、（2014一试3）若函数
f(x)?x
2
?a|x?1|
在
[0,??)
上单调递增，则
a
的取值范围为
_______.
【答案】[-2,0].
2
【解析】< br>在[1,??)上，f(x)?x?ax?a单调递增，等价于-
a
?1,即a??2. 在

2
[0,1]上，f(x)?x
2
?ax?a单调递增,等价于 -
a
?0，即a?0.
2
因此实数a的取值范围是[?2,0].


31、(2015一试1)设
a,b
为不相等的实数,若二次函数
f(x)?x?ax?b
满足
f(a)?f(b)
,
则
f(2)的值是 .
【答案】4
【解析】由已知条件及二次函数图象的 轴对称性，可得
2
a?ba
??
，即
2a?b?0
，所以
22
f(2)?4?2a?b?4


32、（2016一试3）正 实数
u,v,w
均不等于1，若
olg
则
log
w
u
的值为 .
【答案】
u
vw?olg
v
w?5
，
log
v
u?log
w
v?3
，
4

5
第 9 页 共 20 页

33、（2017一试1）设
f(x)
是定义在
R
上的函 数，对任意实数
x
有
f(x?3)?f(x?4)??1
.
又当0?x?7
时，
f(x)?log
2
(9?x)
，则
f (?100)
的值为 .
【答案】
?
1

2
【解析】由条件知，
f(x?1 4)??
1
?f(x).所以

f(x?7)
111
????.

f(5)log
2
42
f(?100)?f(?100?14?7)?f(?2)??
[来源:Z#xx#]< br>
113
34、（2000一试14）若函数
f(x)??x
2
?
在区间[
a
,
b
]上的最小值为2
a
，最大值 为2
b
，
22
求[
a
,
b
].
第 10 页 共 20 页

35、（2002一试15）设二次函数f(x)=ax+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
① 当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
② 当x∈(0,2)时，f(x)≤
(
2
x?1
2
)

2
③ f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
【解析】∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x= -1对称
∴
?
b
??1
b=2a
2a
由③知当x= ?1时,y=0，即a?b+c=0
由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即工+了+以=1，又a?b+c=0
111
b= c=
424
1
2
11
∴f(x)=
x?x?

424
∴a=
假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1时，有f(t+1)≤1
?
11
2
1
(t+1)+(t+ 1)+≤1
?
?4≤t≤0
424
第 11 页 共 20 页

对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有f(t ?m)≤m
111
?
(t+m)
2
+(t+m)+≤m
424
22
?
m??(1?t)m+(t+2t+1)≤0
?
1?t??4t
≤m≤
1?t??4t

∴m≤
1?t?4t
≤
1?(?4)??4?(?4)
=9

32
36、（2002一试15）实数a,b,c和正数?使得f(x)=x+ax+bx+c 有三个实根x
1
,x
2
,x
3
，且满
足
1
2a
3
?27c?9ab33
?
① x
2
-x
1
=
?
?, ②x
3
>(x
1
+x
2
) ，求
2
2
?
3
【解析】∵ f(x)=f(x)?f(x
3)=(x?x
3
)[x+(a+x
3
)x+x
3
+ax
3
+b]
22
∴ x
1
,x
2
是方 程x+(a+x
3
)x+x
3
+ax
3
+b的两个根
22222
∵ x
2
?-x
1
=?
?
∴ (a+x)?4(x
3
+ax
3
+b)=
?
3x
3
+2ax
3
+?+4b?a=0
∵x
3
>
2 2
11
22
(x
1
+x
2
) ∴
x
3
?[?a?4a?12b?3
?
]
(Ⅰ)
23
第 12 页 共 20 页

且 4a?12b-3?≥0 (Ⅱ)
22
a
3
a
2
a2
3
1
?b)( x?)?a?c?ab
∵ f(x)=x+ax+bx+c=
(x?)?(
333273
32

37、（2005二试2）设正数
a
、b、c、
x
、y、z满足
cy ?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.

x
2
y
2
z
2
求函数
f(x,y,z)?
的最小值.
??
1?x1?y1?z
【 解析】由条件得，
b(az?cx?b)?c(bx?ay?c)?a(cy?bz?a)?0
，
第 13 页 共 20 页

且
u
2
?1?( u?v)(u?w),v
2
?1?(u?v)(v?w),w
2
?1?(u? w)(v?w).

cos
2
A
??
1?cosA
1?
u
2
u
2
?1
u
u
2
?1< br>2
?
u
2
u?1(u?1?u)
22
?
u< br>2
(u
2
?1?u)
u?1
2

u
3
11
?u?u??u?(?),

2
2u?v u?w
(u?v)(u?w)
u?1
22
u
3
u
3
cos
2
Bv
3
11cos
2
Cw
311
22
?v?(?),?w?(?).
同理，
1?cosB2u?v u?w1?cosC2u?wv?w
1u
3
?v
3
v
3?w
3
u
3
?w
3
1
?f?u?v?w?(? ?)?u
2
?v
2
?w
2
?[(u
2
?u v?v
2
)

2u?vv?wu?w2
222
11
(uv?vw?uw)?.
（取等号当且仅当
u?v?w
，
22
11
此时，
a?b?c,x?y?z?),[f(x,y,z)]
min
?.
22
+
(v?vw?w)?(u?uw?w)]?
2222

38、（2006一试15）设
f(x)?x
2
?a
. 记
f
1
(x)?f(x)
，
f
n
(x)?f(f
n ?1
(x))，n?2,3,?
，
1
??
M?a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
. 证明：
M?
?
?2,
?
.
4
??
??
1
【解析】（１）如果
a??2
，则
f(0)?|a|?2
，
a?M
。
第 14 页 共 20 页

39、（2007一试15）设函数
f
(< br>x
)对所有的实数
x
都满足
f
(
x+
2π)
=f
(
x
)，求证：存在4个函
数
f
i
(
x
)(
i
=1，2，3，4)满足：（1）对
i
=1，2， 3，4，
f
i
(
x
)是偶函数，且对任意的实数
x
，
有
f
i
(
x+
π)
=f
i
(< br>x
)；（2）对任意的实数
x
，有
f
(
x
)
=f
1
(
x
)
+f
2
(
x
)cos
x+f
3
(
x
)sin
x+f
4
(
x
)sin2
x
。
【解析】证明：记
g(x)?

f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
，
h(x)?
，则
f
(
x
)=
g
(
x
)+
h
(
x
)，且
22
g
(
x
)是偶函数，
h
(
x
)是奇函数，对任意的
x< br>∈
R
，
g
(
x+
2π)
=g
(x
)，
h
(
x+
2π)
=h
(
x)。令
f
1
(x)?
g
(
x
)?
g< br>(
x
?
π
)
2
?
h
(
x< br>)?
h
(
x
?
π
)
?
f
3
(x)?
?
2sinx
?
0
?
?
g
(
x
)?
g
(
x
?
π
)
?2cosx
，
f
2
(x)?
?
?
0
?
?
h
(
x
)?
h
(
x
?
π
)
x?
?
2sin2x
x?kπ
，
f
4
(x)?
?
?
x?kπ
0x?
?
π
2，
π
x?kπ?
2
kπ
2
，其中
k
为 任意整
kπ
2
x?kπ?
数。[来源:Z_xx_]
容易验证f
i
(
x
)，
i
=1，2，3，4是偶函数，且对任意 的
x
∈
R
，
f
i
(
x+
π)=f
i
(
x
)，
i
=1，2，3，
第 15 页 共 20 页

40、（2008二试2）设
f(x )
是周期函数，
T
和1是
f(x)
的周期且
0?T?1．证明：
（1）若
T
为有理数，则存在素数
p
，使
1
是
f(x)
的周期；
p
（2）若
T
为无理数，则 存在各项均为无理数的数列
{a
n
}
满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n?1,2,???)
，且每个
a
n
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期．

1
（2）若
T
是无理数，令
a
1
?1?
??
T
，则
0?a
1
?1
，且
a
1
是无理数，令
?
?
T
?
?
?
1
?
?
1
?
a
2
?1?
??a
1
，
a
n?1
?1?
??
a
n
， 由数学归纳法易知< br>a
n
均为无理数且
0?a
n
?1
．又
?a
1
?
?
a
n
?
?
1
??< br>1
?
1
?
1
?
?
??
?1
，故
1?a
n
?
??
a
n
，即
a
n?1
?1?
??
a
n
?a
n
．因此
{a
n
}
是递减数列．
a
n
?
a
n
?
?
a
n
??
a
n
?
1
最后证： 每个
a
n
是
f(x)
的周期．事实上，因1和
T
是
f(x)
的周期，故
a
1
?1?
??
T
亦 是
?
?
T
?
?
第 16 页 共 20 页

1
?
也是
f(x)
的周期．由数学归纳
f(x)
的周期．假设
a
k
是
f(x)
的周期，则
a
k?1
?1?
?
??
a
k
?
a
k
?法，已证得
a
n
均是
f(x)
的周期．

41、（2011一试9）设函数
f(x)?|lg(x?1)|
，实数< br>a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a?6b?21)?4lg2
，求
a,b
的值．
b?1
)
，
b?2
【 解析】因为
f(a)?f(?
b?1b?11
)
，所以
|lg(a? 1)|?|lg(??1)|?|lg()|?|lg(b?2)|
，
b?2b?2b?2< br>所以
a?1?b?2
或
(a?1)(b?2)?1
，又因为
a ?b
，所以
a?1?b?2
，所以
(a?1)(b?2)?1
．
又由
f(a)?|lg(a?1)|
有意义知
0?a?1
，从而0?a?1?b?1?b?2
，
于是
0?a?1?1?b?2
．
所以
(10a?6b?21)?1?10(a?1)?6(b?2)?6(b?2)?
从而
f(10a?6b?21)?|lg[6(b?2)?
10
?1
．
b?2
1010
]|?lg[6(b?2)?]
．
b?2b?2
10
]?4lg2
，
b?2
又
f( 10a?6b?21)?4lg2
，所以
lg[6(b?2)?
故
6(b?2 )?
101
．
?16
．解得
b??
或
b??1
（舍去）
b?23
1221
把
b??
代入
(a?1 )(b?2)?1
解得
a??
． 所以
a??
，
b??
．
3553

42、（2014二试3）（本题满分50分）设S={1，2,3，…， 100}.求最大的整数k，使得S有
k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不 同子集，若它们的交非空，
则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.
A
i
?A
j
?
?
,且min(A
i
?Aj
)?maxA
i
.(1)显然只需对m?2
n?1
的情形证明 上述结论.

当n=3时，将{1，2,3}的全部7个非空子集分成3组，第一组：{3}， {1,3}，{2,3}；第二
组：{2}，{1,2}；第三组：{1}，{1,2,3}.由抽屉原 理，任意4个非空子集必有两个在同一
第 17 页 共 20 页

组中，取 同组中的两个子集分别记为
A
i
,A
j
，排在前面的记为
A
i
，则满足（1）.
假设结论在n(n≥3)时成立，考虑n+1的情形.若
A
中至少有
2
1
,A
2
,?,A
2
n< br>n+1，对其中的
2
若至多有
2
n?1
n?1
n?1
个子集不含
个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足（1）.
?1
个子集 不含n+1,则至少有
2
n?1
?1
个子集含n+1,将其中
2n?1
?1
子集都去掉
n?1
n+1,得到{1,2，…，n}的
2?1
个子集.
n?1
由于{1,2，…，n}的全体子集可分成
2在上述
2
n?1
组，每组两个子集互补，故由抽屉原理,
?1
个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集
，故n+1时结论成立.
A
i
,A
j
，满足
A< br>i
?A
j
={n+1},这两个集合显然满足（1）
综上所述，所求< br>k
max
?2
99
?1
.
43、（2015一试 10）(本题满分20分)设
a
1
,a
2
,a
3
, a
4
是四个有理数,使得
{a
i
a
j
|1?i?j ?4}
,
31
?{?24,?2,?,?,1,3}
求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值.
281
?
aa??
?
12
8
?
?
aa?1

?
13
?
a
2
a
4
?3
?
?
?
a
3
a
4
??24
于是a
2
??
11313
,a
3
?,a
4
???24a
1
.故{a
2
a
3
,a
1
a
4< br>}?{?
2
,?24a
1
2
}?{?2,?},
< br>8a
1
a
1
a
2
8a
1
2
1
结合a
1
?Q,只可能a
1
??.

4
1111
由此易知a
1
?，a
2
??,a
3
?4, a
4
??6或者a
1
??，a
2
?,a
3
??4,a
4
?6.

4242
经检验知这两组解均满足问题的条件.

第 18 页 共 20 页

9
故
1
a
1
+a
2
? a
3
?a
4
??.

4

44、（2 015二试2）(本题满分40分)设
S?{A
1
,A
2
,?,A< br>n
}
,其中
A
1
,A
2
,?,A
n
是
n
个互不相
同的有限集合
(n?2)
,满足对任意
A
i
,A
j
?S
,均有
A
i
?A
j
?S
,若
k?min|A
i
|?2
,证明:存
1?i?n
在
x??A
i
,使得
x
属于
A
1
,A
2
,?,A
n
中的至少
i?1
n
n
个集合(这里
|X|
表示有限集合
X
的元素
k
个数 )

显然f是单映射，于是s?t.


设A
1
={A
1
，A
2
，???,A
k
}.在A
1
，A
2
，???,A
n
中除去B
1
，B
2
，???,B
s
，
C
1
，C
2
，???,Ct
后，在剩下的n?s?t个集合中，设包含

a
i
的集合有x个（1?i?k),由于剩下的n-s-t个集合中

每个集合与A
1
的交非空，即包含某个a
i
，从而

x
1
+x
2
?????x
k
?n?s?t.
< br>不妨设x
1
?maxx
i
,则由上式知x
1
?
1?i?k
n?s?t
,即在剩下的n?s?t个集合中，

k
包 含a
1
的集合至少有
n?s?t
个，又由于A
1
?C
i
(i?1,???,t),故C
1
，C
2
，???,C
t
都

k
包含a
1
,因此包含a
1
的集合个数至少为
< br>n?s?tn?s?(k?1)tn?s?tn
+t??(利用k?2)?(利用t?s)

kkkk

45、（2016一试10）（本题满分20分）已知
f (x)
是R上的奇函数，
f(1)?1
，且对任意
x?0
，
均有
f(
x
)?xf(x)
.
x?1
第 19 页 共 20 页

1111111
)?f()f()?f()f()?
…?f()f()
的值.
1
1
【解析】设
a
n
?f()(n
=1，2，3，…），则
a
1
?f(1)?1
. n
1
?
x
x1
k
?
1
，及
f (x)
为奇
)?xf(x)
中取
x??(k?N*)
，注意到在f(
?
1
x?1k
x?1k?1
??1
k
求< br>f(1)f(
函数.可知
f(
11111
)??f(?)?f()

k?1kkkk
n?1
a
k?1
1
a
k?1
n?1
11
?
，从而
a
n
?a
1
?
?
?
??
即.
a
k
kak(n?1)!
k?1k?1
k5049
11

?
?
?
?
?(99?i)!< br>i?1
(i?1)!(100?i)!
i?0
i!
50
因此< br>?
aa
i?1
i101?i
1
49
i
149
i
11
99
2
98
99?i

? C
99
?(C
99
?C
99
)???2?
??99!
i?0
99!
i?0
99!299!

来源:]




第 20 页 共 20 页