高中数学：1.1.2集合的表示方法 (1)_1

1．1．2 集合的表示方法
1．理解列举法、描述法的定
义． 2．会用两种方法表示一些简单的集合．


1．列举法
(1)定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．
(2)用列举法 表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多”或“少”)或有(填
“有”或“无”)明显规律．
2．描述法
(1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫 做特征
性质描述法，简称描述法．它的一般形式是{x∈I|p(x)}，其中“x”是集合元素的代表 形式，“I”
是“x”的范围，“|p(x)”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．

(2)描述法的语言形式有以下三种：文字语言，符号语言，图形语言．

1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．
答案：{0，1，2，3，4，5}
2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．
答案：{x∈N|0≤x≤5}或{x∈Z|0≤x≤5}(答案不唯一)
3．用列举法表示集合需要注意什么？
解：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)元素不能遗漏．
4．用描述法表示集合需要注意什么？
解：用描述法表示集合时应注意以下六点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号)；(2)说明该集合中元素的
性质； (3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时应当准确使用“且”“或”；(5)所有描
述的内容 都写在集合符号内；(6)用于描述条件的语句力求简明、准确．

(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)
2
( x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组
?
?
?
2x＋y＝ 8，
?
的解组成的集合B；
?
x－y＝1

(4)15的正约数组成的集合N．
【解】 (1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因为2和3是方程的根，
所以M＝{2，3}．
(3)解方程组
?
?
?
2x＋y＝8，
?
?
x＝3，
?
?< br>x－y＝1，
得
?
?
?
y＝2，

用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：

所以B＝{(3，2)}．
(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，
所以N＝{1，3，5，15}．

(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
(2)列举法适合表示有限集 ，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，
且使人一目了然．
用列举法表示下列集合：
6
??
(1)A＝
?
x∈N|
6 －x
∈N
?
；
??
(2)已知M＝{0，2，3，7}，P＝{x |x＝ab，a，b∈M，a≠b}，写出集合P．
解：(1)A＝{0，3，4，5}．
(2)P＝{0，6，14，21}．

用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x
2
＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；

(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【解】 (1)函数 y＝－2x
2
＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x
2
＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． 31
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1， xy≥0}．
22
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的正的公倍数构成的集合是 {x|x＝12n，n∈N
＋
}．

用描述法表示集合应注意的问题
(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同属性；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．

用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)使式子
1
有意义的实数x的取值范围．
x（x－1）（x＋1）
解：(1){x|x＝2n，n∈N
＋
}．
(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3){x|x≠0，且x≠－1，且x≠1}．
集合的表示方法的综合应用

集合M＝{x|ax
2
－2x＋2＝0，a∈R}中
只有一个元素，求实数a的值．
【解】 (1)当a＝0时，方程转化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件；
1
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a＝0，即a＝，此时方程有 两
2
个相等的实数根．
1
综合(1)(2)可知， 当a＝ 或0时，集合M中只有一个元素．
2
若将本例中“只有一个”改为“有
两个”，求实数a的取值范围．
1
解：因为集合M ＝{x|ax
2
－2x＋2＝0，a∈R}中有两个元素，则Δ＝(－2)
2
－8a>0，即a<．
2

此题容易漏解a＝0，漏解的原因是默认 所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a
＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当a≠0时，所 给的方程才是一个一元二次方程，
求解时要注意对a进行分类讨论．
1．设－5∈{ x|x
2
－ax－5＝0}，则集合
{x|x
2
－5x－a＝0}中 所有元素之和为________．
解析：因为－5∈{x|x
2
－ax－5＝0}，
所以(－5)
2
＋5a－5＝0，即a＝－4．
所以{x|x
2
－5x－a＝0}＝{x|x
2
－5x＋4＝0}
＝{x|(x－1)(x－4)＝0}＝{1，4}．
故集合{x|x
2
－5x－a＝0}中的所有元素之和为5．
答案：5 < br>6
??
2．设集合B＝
?
x∈N
?
2＋x
∈ N
?
．
?
?
?

(1)试判断元素1，2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合 B
．

6
解：(1)当x＝1时，＝2∈N．
2＋1
63
当x＝2时，＝?N．所以1∈B，2? B
．

2＋2
2
6
(2)因为∈N，x∈N，
2＋x
所以2＋x只能取2，3，6．
所以x只能取0，1，4．所以B＝{0，1，4}．

1．寻找适当的方法来表示 集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数
无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素 一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限
的集合，也适合元素个数有限的集合．
2．用列 举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；
三要根据集合中元素的个 数来选择适当的方法表示集合．

一定要注意该集合的代表元素是什么，看清 楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充
分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．

1．下列集合的表示方法正确的是( )
A．{1，2，2}
B．{比较大的实数}
C．{有理数}
D．不等式x
2
－5＞0的解集为{x
2
－5＞0}
答案：C
2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示，正确的是( )
A．{1，2，3}
B．{0，1，2，3}
C．{－2，－1，0，1，2}

D．{－3，－2，－1，0，1，2，3}
解析：选B．满足－3≤x≤3的自然数有0，1，2，3．
3．用列举法表示集合A＝{y |y＝x
2
－1，－2≤x≤2，且x∈Z}是________．
解析：因为x＝－2，－1，0，1，2，
所以对应的函数值y＝3，0，－1，0，3，
所以集合A用列举法表示为{－1，0，3}．
答案：{－1，0，3}
4．集合A＝{(1，2)，(0，3)}中共有________个元素．
答案：2

[A 基础达标]
1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是( )
A．0∈A
C．－1?A
B．1．5?A
D．6∈A
解析：选D．A＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}．
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1}
C．{1}
B．{x|x
2
＝1}
D．{y|(y－1)
2
＝0}
解析：选B．{x|x
2
＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B．
579
??
3．集合
?
3，
2
，
3
，
4
，…
?
用描述法可表示为( )
??
A．
?
x
?
x＝
?
?
?
?
2n＋1
n
，n∈N
＋
?

2
?
B．
?
x
?
x＝
?
?
?
?
?
?
?
2n＋3
，n∈N
?

＋
n
?
?
2n－1
，n∈N
＋
?

n
?
?
2n＋1
，n∈N
＋
?

n
?
C．
?
x
?
x＝
?
?
D．< br>?
x
?
x＝
?
2n＋1
5793579
解析 ：选D．由3，，，，即，，，，从中发现规律，x＝，n∈N
＋
，故可
234123 4n
用描述法表示为
?
?
?
2n＋1
?
x
x＝，n∈N
＋
?
．
n
?
?
?
4．设 集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的
个数为( )

A．3
C．5
B．4
D．6
解析：选B．因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B }，
所以M中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B．
5．已知M＝{(x，y)| 2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
解析：选B．因为M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}
＝{(2，2)，(5，0)}，所以M为有限集．
N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x ，y∈R}中有无限多个点满足4x－3y＝1，故N为无限集．
6．已知集合A＝{－1，0，1} ，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________．
解析：因为|－1|＝1，故B＝{0，1}．
答案：{0，1}
7．已知集合A ＝{m＋2，2m
2
＋m}，若3∈A，则实数m的值为________．
解析： 因为3∈A，所以m＋2＝3或2m
2
＋m＝3．当m＋2＝3，即m＝1时，2m
2
＋m＝
3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m
2＋m＝3时，解得m
3313
＝－或m＝1(舍去)，当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题 意．所以m＝－．
2222
3
答案：－
2
8．已知集合A＝{x |x
2
－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a－b＝________．
解析 ：由A＝{2，3}知，方程x
2
－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得，
?
?
2＋3＝a，
?
因此a＝5，b＝6．故a－b＝－1．
?
2×3＝b，
?
答案：－1
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于6的有理数；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
解：(1)由于 大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以
用描述法表示该集合为
{x∈Q|2＜x＜6}．
(2)用描述法表示该集合为
{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；

或用列举法表示该集合为
{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．
b
??10．含有三个实数的集合A＝
?
a
2
，
a
，a
?
，若0∈A且1∈A，求a
2 017
＋b
2 017
的值．
??
b
解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a
2
≠0， 所以＝0，即b＝0．又1∈A，
a
可知a
2
＝1或a＝1．
当a＝1时，得a
2
＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a
2
＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a
2 017
＋b
2 017
的值为－1．
[B 能力提升]
11．已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )
A．3
C．8
B．6
D．9
解析：选D．集合 B中的元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，
1 )，(4，2)，(4，4)，共9个．故选D．
12．已知x，y为非零实数，则集合M＝
xyxy
??
?
?
m
m＝＋＋
?
|x||y|| xy|
?
为( )
?
?
A．{0，3}
C．{－1，3}
B．{1，3}
D．{1，－3}
解析：选C． 当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝
－1；当x <0，y>0时，m＝－1．故M＝{－1，3}．
13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算 “※”如下：当m，n都为正偶数或正
奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正 奇数时，m※n＝mn，在此定
义
下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N＋
，b∈N
＋
}中的元素的个数．
解：从定义出发，抓住a，b的奇偶 性对12实行分拆是解决本题的关键．当a，b同奇
偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶 数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n
＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即 可．
若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种 可以交
换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；
若a，b 一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所
以共有11＋ 4＝15(个)．
14.
(选做题)设y＝x
2
－ax＋b，A＝{x|y －x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试

用列举法表示集合B ．
解：将y＝x
2
－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x
2
－ (a＋1)x＋b＝0．
因为A＝{－3，1}，
所以方程x
2
－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1．
?
?
－3＋1＝a＋1，
由根与系数的关系得
?

?
－3×1＝b，
?
?
?
a＝－3，
解得
?
所以y＝x
2
＋3x－3．
?
?
b＝－3.
将y＝x< br>2
＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x
2
＋6x－3＝0，
解得x＝－3±23，
所以B＝{－3－23，－3＋23}．