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3、视频教学高中数学集合的运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:17
tags:高中数学集合

高中数学函数的平移转换-高中数学几大块


激发学习兴趣,重树学习信心
3、视频教学高中数学集合的运算
复习引入
1、 集合的概念:
1、定义 每一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象 集在一起就成为一个集合,也简
称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
2、常用数集及记法
(1)非负整数集(自然数集):记作N, (2)正整数集:记作N
*
或N
+



(3)整数集: 记作Z , (4)有理数集:记作Q ,
(5)实数集: 记作R (6)质数(素数)、合数;因数;奇数、偶数
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
a?A

注意:“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写
4、集合中元素的特征
(1)确定性: (2)互异性: (3)无序性:
2、 集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合
2、描述法:用确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法

格式:{x∈A| P(x)}
含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合
注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分 如:{直角三角形};{大于10
4
的实数}
(2)错误表示法:{实数集};{全体实数}
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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3、韦恩图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、字符表示
3、 理解集合的要点
1、范畴 2、范围
4、 子集概念
1、定义:
子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元 素,我们就说集合
..
A包含于集合B,或集合B包含集合A 记作:
A?B或B?A
,A
?
B或B
?
A
读作:A包含于B或B包含A
即:
若任意x?A?x?B,则A?B

当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:A
?
?
B或B
?
?
A
注意:
A?B
有两种可能 (1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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2、集合相等:一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集
..
合B的任何一个元素都是集合A的元 素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B
..
3、真子集:对于两个集合A与B,如果< br>A?B
,并且
A?B
,我们就说集合A是集合B的真子集,
记作:AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
4、空集是任何集合的子集 Φ
?
A
空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A≠Φ,则ΦA
任何一个集合是它本身的子集
A?A

5、易混符号
①“
?
”与“
?
”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系如
1 ?N,?1?N,N?R,
Φ
?
R,{1}
?
{1,2,3}
②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合
如 Φ
?
{0}不能写成Φ={0},Φ∈{0}
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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5、 子集的个数:
结论: 含n个元素的集合
?
a
1
,a
2
?,a
n
?
的所有子集的个数是
2
n

所有真 子集的个数是
2
-1,非空真子集数为
2?2
6、 全集与补集
1 补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即
A?S
),由S中所有不属于A的元素 组成
的集合,叫做S中子集A的补集(或余集), 记作
C
S
A
, 即C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

2、性质:C
S
(C
S
A)=A ,C
S
S=
?
,C
S
?
=S
3、全集 :如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通
常用U表 示
nn

7、 前堂练习:
1、已知S={a,b},A
?S,则A与
C
S
A的所有组对共有的个数为 (D)
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2、设全集U(U≠
?
),已知集合M、N、 P,且M=
C
U
N,N=
C
U
P,则M与P的关系是 M=P
3、已知U=﹛(x,y)︱x∈﹛1,2﹜,y∈﹛1,2﹜﹜,A=﹛(x,y)︱x- y=0﹜,求
(
U
U
A
A=﹛(1,2),(2,1)﹜)
U
4、设全集U=﹛1,2,3,4,5﹜,A=﹛2,5﹜,求A的真子集的个数

新课讲解
8、 交集并集:
1.交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A
?
B(读作‘A交B’), 即A
?
B={x|x
?
A,且x
?
B}.
如: {1,2,3,6}
?
{1,2,5,10}={1,2}.
A B
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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又如:A={a,b,c,d,e},B={c ,d,e,f}.则A
?
B={c,d,e}.
2.并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.
记作:A
?
B(读作‘A并B’), 即A
?
B ={x|x
?
A,或x
?
B}).
如:{1,2,3,6}
?
{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}.
9、 例题讲解:
例1 设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A
?
B.
解:A
?B={x|x>-2}
?
{x|x<3}={x|-2例2 设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A
?
B.
解:A
?
B={x|x是等腰三角形}
?
{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}.
例3 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A
?
B.
解:A
?
B={3,4,5,6,7,8}.
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
例4设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A
?
B.
解:A
?
B={x|x是锐角三角形}
?
{x|x是钝角三角形}
={x|x是斜三角形}.
例5设A={x|-1解:A
?
B={x|-1?
{x|1说明:求两个集合的交集、并集时,往往先将集合化简,
两个数集的交集、并集,可通过数轴直观显示;
利用韦恩图表示两个集合的交集,有助于解题
例6设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},求A
?< br>B.
解:A
?
B={(x,y)|y=-4x+6}
?
{( x,y)|y=5x-3}
y??4x?6
={(x,y)|
?
}={(1,2)}
?
y?5x?3
?
注:本题中,(x,y)可以看作是直线上的的坐标,也可以看作二元一次方 程的一个解.
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
例7设集合A={-4,2m-1,m
2
},B={9,m-5,1-m},又A
?
B={9},求实数m的值.
解:∵A
?
B={9},A={-4,2m-1,m
2
},B={9,m-5 ,1-m},
∴2m-1=9或m
2
=9,解得m=5或m=3或m=-3. 若m=5,则A={-4,9,25},B={9,0,-4}与A
?
B={9}矛盾;
若m=3,则B中元素m-5=1-m=-2,与B中元素互异矛盾;
若m=-3,则A={ -4,-7,9},B={9,-8,4}满足A
?
B={9}.∴m=-3.
例1 0.设A={x|x
2
+ax+b=0},B={x|x
2
+cx+15=0 },又A
?
B={3,5},A∩B={3},求实数a,b,c的值.
解:∵A∩B={3},∴3∈B,∴3
2
+3c+15=0,
∴c=-8.由方程x
2
-8x+15=0解得x=3或x=5,
∴B={3,5}.由A
?
(A
?
B={3,5}知,
3∈A,5
?
A(否则5∈A∩B,与A∩B={3}矛盾)
故必有A={3},∴方程x
2
+ax+b=0有两相同的根3,
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
由韦达定理得3+3=-a,3
?
3=b,即a=-6,b=9,c=-8.
10、 交集、并集的性质
用韦恩图表示
(1)若A
?
B,则A
?
B=A,A
?
B=B
(2)若A
?
B则A
?
B=B,A
?
B=A
(3)若A=B, 则A
?
A=A A
?
A=A
(4)若A,B相交,有公共元素,但不包含
则A
?
B
A
?
B
A,A
?
B B
B


A

B

B



A

A(B)


B
A
A, A
?
B


A

B
(5) )若A,B无公共元素,则A
?
B=Φ
从图中观察分析、思考、讨论,完全归纳以下性质,并用集合语言证明:
1.交集的性质
(1)A
?
A=A A
?
Φ=Φ,A
?
B=B
?
A (2)A
?
B
?
A, A
?
B
?
B.
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


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2.并集的性质
(1)A
?
A=A (2)A
?
Φ=A (3)A
?
B=B
?
A (4)A
?
B
?
A,A
?
B
?
B
联系交集的性质有结论:Φ
?
A
?
B
?
A
?A
?
B.
3. 摩根定律:(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B),
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)(可以用韦恩图来理解).
结合补集,还有①A
?
(C
u
A)=U, ②A
?
(C
u
A)= Φ.
容斥原理
一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A,B,有
card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B).
11、 例题讲解:
例1设U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7, 8},求C
u
A, C
u
B, (C
u
A)
?
(C
u
B), (C
u
A)
?
(C
u
B), C
u
(A
?
B) ,
C
u
(A
?
B).
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
解:C
u
A={1,2,6,7,8} C
u
B={1,2,3,5,6}
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)={1,2,6}
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)={1,2,3,5,6,7,8}
例2 已知集合A={y|y=x-4x+5},B={x|y=
5?x
}求A∩B,A∪B.
解:A∩B= {x|1≤x≤5}, A∪B=R.
例3 已知A={x|x≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围.
解:a≧2
例4 集合M={(x,y) |∣xy∣=1,x>0},N={(x,y) |xy=-1},求M∪N.
解:M∪N={(x,y) |xy=-1,或xy=1(x>0)}.
例5 已知全集U= {x|x-3x+2≥0},A={x||x-2|>1},B=
?
x
2
2< br>2
?
x?1
?
?0
?

?
x?2
?
求C
U
A,C
U
B,A∩B,A∩(C
U
B),(C
U
A)∩B
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激发学习兴趣,重树学习信心
解:∵U={x|x-3x+2≥0}={x|x
?
1或x
?
2},
A={x||x-2|>1}={x|x<1或x>3},
B=
?
x
2
?
x?1
?
?0
?
={x| x
?
1或x>2}
?
x?2
?
∴C
U
A =
xx?1或2?x?3

C
U
B=
xx?2

A∩B=A={x|x<1或x>3},={x|x<1或x>3},
A∩(C
U
B)=
?

(C
U
A)∩B=
2xx?1或2?x?3

12、 作业:
1.P={a
2
,a+2,-3},Q={a-2,2a+1,a
2
+1},P
?
Q={-3},求a.(a=-2)
??
??
??
教育教学是互动的、是交流的、是思考的、是感悟的、是有成就的、是不断进步的


激发学习兴趣,重树学习信心
2.已知集合A={y|y=x
2-4x+5},B={x|y=
5?x
}求A
?
B,A
?
B.
(A
?
B= {x|1
?
x
?
5}, A
?
B=R.)
3.已知A={x|x
2
?
4}, B={x|x>a},若A
?
B=
?
,求实数a的取值范围.(a>2)
4.集合M={(x,y) |∣xy∣=1,x>0},N={(x,y) |xy=-1},求M
?
N.
(M
?
N={(x,y) |xy=-1,或xy=1(x>0)}.)
5.已知全集U=A
?
B={1,3,5,7,9},A
?
(C
U
B)={3,7}, (C
U
A)
?
B={5,9}.则A
?
B=____.
6. 已知集合 A={x|x
2
+4x-12=0}、B={x|x
2
+kx-k=0}.若
A?B?B
,求k的取值范围
(-4 4. 若集合M、N、P是全集S的子集,则图中阴影部分表示的集合是(C )
A.
(M?N)?P
B.
(M?N)?P

M
N
P
第9题
C.
(M?N)?C
S
P< br> D.
(M?N)?C
S
P

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激发学习兴趣,重树学习信心

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