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高中一年级数学集合

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 14:18
tags:高中数学集合

人教版高中数学目录ppt-高中数学转变教学模式研究10


.. . . ..
一、集合
⒈定义:一般地, 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象
的全体构成的集合(或集),构 成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于
?
”及“不属于
?
两 种)
⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a
?
A;
⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a
?
A。
5.常用的数集及记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
*
正整数集,记作N或N
+
;N内排除0的集.
整数集,记作Z; 有理数集,记作Q; 实数集,记作R;
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如:“地球上的 四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大发
明”(造纸,印刷,火药,指南针) 可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,
“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组 成它的元素是不确定的.
⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程 (x-2)(x-1)=0的解集表示为
?
1,-2
2
?
,而不是< br>?
1,1,-2
?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
例:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
⑴大于3小于11的偶数; ⑵我国的小河流;
⑶非负奇数; ⑷某校2011级新生;
⑸ 血压很高的人;
例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4?
A,等等。
练:A={2,4,8,16},则4
?
A,8
?
A,32
?
A.
7.集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {x
?
R∣02
3. {x
?
R∣x+1=0}
由此可以得到
?
有限集:含有有限个元素的集合
集合的分类
?
< br>?
无限集:含有无限个元素的集合
?
空集:不含有任何元素的集合?(empt y?set)
?
例1.用“∈”或“
?
”符号填空:
⑴8 N; ⑵0 N; ⑶-3 Z; ⑷
2
Q;
学习参考


.. . . ..
例2.已知集合P的元素为
1,m,m?m?3
, 若2∈P且-1
?
P,求实数m的值。


练:1给出下 面四个关系:
3
?
R,0.7
?
Q,0
?
{0}, 0
?
N,其中正确的个数是:( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2
2求集合{2
a
,
a
+
a
}中元素应满足的条件?



3若


-3
2
4、已知集合A={a-2,2a+5a,10},又-3∈A,求出a之值。 a=
2


5、已知集合A={1,0,x},又x∈A,求出x之值。(解:x=-1)



22
6、已知集合A={a+2,(a+1),a+3a+3},又1∈A,求出a 之值。(解:a=0)


二、集合的表示方法
⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“
?
23
2
2
1?t
?
{t},求t的值.
1?t
?
”括起来表示集 合的方法叫列
22
举法。如:{1,2,3,4,5},{x,3x+2,5y-x,x+y} ,…;
说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开;
⑵一般不必考虑元素之间的顺序;
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;
⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元 素个数比较少时用列举法比较简单;
若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的 情况下,也可以
用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间 的规律显示清楚后方能用
省略号,象自然数集N用列举法表示为
?
1,2,3,4,5 ,......
?

例1.用列举法表示下列集合:
学习参考


.. . . ..
(1) 小于5的正奇数组成的集合;
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3) 从51到100的所有整数的集合;
(4) 小于10的所有自然数组成的集合;
(5) 方程
x?x
的所有实数根组成的集合;
⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。
方法:在花括号内先写 上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一
条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所 具有的共同特征。
一般格式:
?
x?Ap(x)
2
?

2
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x+1},{x|直角三角形},…;
22
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= x+3x+2}是不
同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{ 整数},即代表整
数集Z。
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是
错误的。
用符号描述法表示集合时应注意:
1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式?
2 、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,
而不能被表面 的字母形式所迷惑。
例2.用描述法表示下列集合:
2
(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 方程
x?2?0
的所有实数根组成的集合
(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,
一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
例 1.用适当的方法表示集合:大于0的所有奇数

4
例2.集合A={x|∈Z,x∈N},则它的元素是。
x?3

1.判断下列两组集合是否相等?
(1)A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}


2
2、已知集合B={x|a x-3x+2=0,a∈R},若B中的元素至多只有一个,求出a的取值范
围。(解:a=0或a≥9 8)


学习参考
2


.. . . ..
6
3、已知集合M={x∈N|∈Z},求出集合M。(解:M={0,1,2,5}
1+x



6
4、已知集合N={∈Z | x∈N},求出集合N。(解:N={1,2,3,6}
1+x



三、集合间的关系
⒈子集:对于两个集合A,B,如果集合
A
的任何一个元 素都是集合
B
的元素,我们说这 两个集合
有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:
A?B(或B?A)
读作:A包含于B,或B包含A
当集合A不包含于集合B时,记作A?B(或B?A)
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:


2.真子集定义:若集合
A?B
,但存在元素
x?B,且x?A< br>,则称集合
A
是集合
B
的真子集。
记作:A B(或B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A)

3.集合相等 定义:如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B
中的元素是一 样的,因此集合A与集合B相等,即若
A?B且B?A
,则
A?B

如:A={x|x=2m+1,m
?
Z},B={x|x=2n-1,n
?
Z},此时有A=B。
4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作:
?

用适当的符号填空:
?

?
0
?
; 0
?

?
{
?
};
?
0
?
{
?
}
5.几个重要的结论:
⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合A都有
?
?
A。
⑵空集是任何非空集合的真子集;
⑶任何一个集合是它本身的子集;
⑷对于集合A ,B,C,如果
A?B
,且
B?C
,那么
A?C

练习 ⑴2 N;
{2}
N;
?
A;

⑵已知集合A={x|x-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则
A B; A C; {2} C; 2 C
说明:
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;
⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。
nn
⑶结论:一般地,一个集合元素若为n个,则其子集数为2个,其真子集数为2-1个,
特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为0。
考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间的关系:
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
; (1)
A?{1,3,5}

B?{2,4,6},
学习参考
2


.. . . ..
(2)
A?{xx是有理数}

B?{xx是无理数},
22
C?
?
xx是实数
?

例1、已知集合P={x|x-5x+4≤0},Q={x|x-(b+2)x+2b≤ 0}且有P?Q,求实数b的取值范围。
解:{b|1≤b≤4};注意利用数轴去加以判断。

,2,3,4,5,6}

S
1
,S
2
,...,S
k
都是
M
的含两个元素的子集,且满足:对任例2设集合M?{1
意的
S
i
?{a
i
,b
i
}

S
j
?{a
j
,b
j
}
i?j
,2,3,,k}
),都有,
i、j?{1
?
?
ab
?
?
a
j
b
j
?
?
min< br>?
i

i
?
?min
?

?

min{x,y}
表示两个数
x,y
中的较小者),则
k
的最大值是
?
b
j
a
j
?
?
?
b
i
a
i
?
?
( B )
A.10 B.11 C.12 D.13
例题3记关于
x
的不等式
x?a
?0
的解集为
P
,不等式
x?1≤1
的解集为
Q

x?1
(I)若
a?3
,求
P
; (II)若
Q?P
,求正数
a
的取值范围.
解:(I)由
x?3
?0
,得
P?
?
x?1?x?3
?

x?1
(II)
Q?xx?1≤1?x0≤x≤2

??
?
?
?
??)
. 由
a?0
,得P?x?1?x?a
,又
Q?P
,所以
a?2
,即
a< br>的取值范围是
(2,

课堂练习:

2
1、已知集合A={2,8,a}, B={2,a-3a+4},又A?B,求出a之值。(解:a= -1或4)





2、已知集合A={x|-3≤x≤4}B={x|2m-1≤x≤m+1},当 B?A时,求出m之取值范围。(解:m≥
-1)
特别注意:当B?A时,B一定包括有两种 情形:B=?或B≠?,解题时极易漏掉B=?这一情况从而出
错!



学习参考
?


.. . . ..
四、集合的基本运算
1.并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B
的并集,即A与B的所有部分,
记作A∪B, 读作:A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示:


2.交集定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A、B的交集
( intersection set),
记作:A∩B 读作:A交B 即:A∩B={x|x∈A,且x∈B}

Venn图表示:
(阴影部分即为A与B的交集)


常见的五种交集的情况:


B
B
A B
A
B A
A
A(B)


说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集

3. 全集、补集概念及性质:
全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么
就称这个集合为全集,记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
补集的定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作:
C
U
A
,读作:A在U中的 补集,即
C
U
A?xx?U,且x?A

Venn图表示:(阴影部分即为A在全集U中的补集)
??
U
A

说明:补集的概念必须要有全集的限制
例:已知全集
A.
练习
1、已知集合
的取值范围.
(Ⅰ)
学习参考
C
U
A
,
C.
,则
B. D.
,.求分别满足下列条件的
; (Ⅱ).


.. . . ..



2、设全集是实数集
(1)当
(2)若




3、已知集合
(1)求
(2)




和;

时,求
,求实数的取值范围。




备用练习
1、
U
={1,2,3,4,5 },若
A

B
={2},(
C
U
A
)∩< br>B
={4},(
C
U
A
)∩(
C
U
B
)={1,5},则下
列结论正确的是 .
①、3
③、3
A
且3
A
且3
B
;②、3
B
;④、3
A
且3
A
且3
B

B

,则
k
的取值范围是 2、设集合
M
={
x
|-1≤
x
<2},
N
={
x

x

k
≤0},若
M

N



3、已知全集
U?Z

A?{?1,0,1,2},B?{x|x
2
?x}
,则
AC
U
B



b
?
4、设
a,b?R
,集合
?1,a?b,a
?
?
?
?
0,,b
?
,则b?a?

?
a
?


学习参考


.. . . ..
5、已知集合
A?
?
x|x?a≤1
?

B ?xx
2
?5x?4≥0
.若
AB??
,则实数
a
的取值范围是


6、设集合
A?{x0?x?3且x?
N}的真子集的个数是
...



7、以下六个关系式:
0?
?
0
?

?
0
?
??

0.3?Q
,
0?N
,
?
a,b
?
?
?
b,a
?

??
?
x|x




2
?2?0,x?Z
?
是空集中,错误的个数是
8、若
A?{?2,2,3,4}

B?{x|x?t,t?A}
, 用列举法表示
B






课后作业
2
1、已知全集U=R,集合A={x|x﹣2x<0},B={x|x﹣ 1≥0},那么A∩?
U
B=( )
A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2}
2、已知集合
A、
3、集合
B、
,,若
,则
C、
( )
D、
,则的值为( )

2
A.0 B.1 C.2 D.4
4、已知集合
A.

,,则为
D B. C.
学习参考


.. . . ..
5、记全集
( )
A、
C、
B、
D、
2
则图中阴影部分所表示的集合是


6、设集合M={-1,0,1},N={
a

a
},则 使成立的
a


A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
7、已知集合

A.(-1,1) B.
8、已知集合
A. B.

C.
C.[-1,1] D.
,则集合


的取值范围
D.
,则m的取值范围是 9、已知集合A
A.
10、设集合
B.

C.
,若
D.
,则实数的值为

( )
A. -4 B. 4 C. -6 D. 6
11、已知集合
A. B.
,
C.

C.

,若,则实数的取值范围是( )
D.
( )
D.
等于
C.A D.B


12、设全集
A. B.
13、定义集合A与B的运算
A. B.
学习参考


.. . . ..
14、设集合A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元
素共有( )
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
15、对于非空集合,定义运算:
,其中

A.

16、已知集合
A
={2,3},
B
={
x
|
m x
-6=0},若
B
?
A
,则实数
m
=( )
A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3
17、集合{1,2,3}的真子集共有( )
A.5个 B.6个 C.7
个 D.8个
18、已知集合A={x|-3x+2>0},集合B={x|-5
B. C. D.
满足
,已知
,,
A、{x|x<} B、{x|-519、设U=Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2 ,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是
A.{1,3,5} B.{1,2,3,4,5}
C.{7,9} D.{2,4}
20、已知
A.N B.M C.R D.
21、设全集
=( )
A. B. C.

D.
;③{0,1,2}{1,2,0};④0

等于
,集合,,则
22、下列五个写法:①{0}{0,1,2};②;⑤,< br>其中错误写法的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2
23 、已知集合A={x|2x-x>0},B={x|x>1},R为实数集,则(CuB)∩A=
A. (0,1) B.[1,2) C. (0,1] D.(一∞,0)
学习参考


.. . . ..
24、已知集合
A. B.
,,则
C.
等于
D.
.记集合S=

25、设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)

列结论不可能的是
A.
C.
=1且
=2且
=0 B.
=2 D.

2
,分别为集合元素S,T的元素个数,则下

=2且=3
26、已知集合{b}={x∈R|ax-4x+1=0, a,bR }则a+b=
A、0或1 B、
27、若集合
A.
C、 D、或
=
B. C. D.
28、如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(S) D.(M∩P)∪(
2
S)
29、已知集合A={x|x﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( )
A.A?B B.B?A C. A=B D. A∩B=?
30、设全集
( )
A. B. C. D.
,集合,,则
二、填空题
31、已知集合
M=
{
x|x-
2
<
0},
N=
{
x|x},若“
x

M
”是“
x
∈N” 的充分条件,则实数
a
的取值范
围是
.

222< br>32、已知集合A={
x
|
x
-4
x
+3<0},B ={
x
|
x
-6
x
+8<0},C={
x
|2
x
-9
x
+
m
<0}.若对任意的
x
∈A∩B都有
x
∈C,求实数
m
的取值范围.
33、集合
三、解答题
学习参考
是单元素集合,则实数
a
= .


.. . . ..
34、已知U为全集,集合A={x
|
x
+
px
+
q
=0},B={
x
|
qx
+
px
+1=0},同时满足:①A∩B≠
(?U
B)={-2},其中
p

q
均为不等于零的实数,求
p

q
的值.




35、已知集 合M={0,1},A={(
x

y
)|
x
∈M,
y
∈M},B={(
x

y
)|
y
=-
x
+1}.
(1)请用列举法表示集合A;
(2)求A∩B,并写出集合A∩B的所有子集.




36、已知集合
(1)求
(2)若



37、已知集合
(1)若
(2)若



38、已知集合
(1)求(




参考答案
学习参考
22
,②A∩



a
的取值范围.

,求a的取值范围;
,求
a
的取值范围。

A)∩B; (2)若,求

的取值范围。


.. . . ..

一、选择题

1、A.考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 分别求出A与B中不等式的解集,确定出A与B,找出A与B补集的交集即可.
解答: 解:由A中的不等式变形得:x(x﹣2)<0,
解得:0<x<2,即A={x|0<x<2},
由B中的不等式解得:x≥1,即B={x|x≥1},
∵全集U=R,
∴?
U
B={x|x<1},
则A∩(?
U
B)={x|0<x<1}.
2、C
3、∵,,∴∴,故选D.
答案:D
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算, 并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属
于容易题.
4、C
5、 C
6、A
7、C
8、
9、A
10、B
11、C
12、C
13、D
14、,

15、C
16、D 命题立意:本题考查了集合的运算及子集的概念,体现了分类讨论思想的灵活应用.
故选A。也可用摩 根律:
解题思路:当
m
=0时,
B
=??
A
;当< br>m
≠0时,由
B


m
=3或
m
= 2.综上可得,实数
m
=0或2或3,故选D.
17、C
18、A
学习参考
?{2,3},可得=2或=3,解


.. . . ..
19、D
20、A
21、B
22、C
23、C
24、B
25、D
26、D
27、C
28、C
29、【答案】B
【解析】由题意可得,A={x|﹣1<x<2}
∵B={x|﹣1<x<1}
在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定 在集合B中,例如x=,B?A,故
选B
30、B

二、填空题

31、 [2,
+∞
)
【解析】由题意得
M=
{
x|x-
2
<
0}
=
{
x|x<
2}, 因为“
x

M
”是“
x
∈N”的充分条件,所以
M

a
≥2
.

22
32、因为
A=
{
x|x-
4
x+
3
<
0}
=
(1,3 ),
B=
{
x|x-
6
x+
8
<
0}=
(2,4),
所以
A

B=
(2,3)
.

2

f
(
x
)
=
2
x-
9
x+m< br>,
则对任意的
x

A

B
都有
x

C
,即
f
(
x
)
<
0在(2, 3)上恒成立,
N
,所
则解得
m
≤9
.

综上,实数
m
的取值范围是(
-∞
,9]
.

33、0,2或18
三、简答题

学习参考


.. . . ..
34、设
x
0

A
,则
x
0
≠0,否则
q=
0,与题设矛盾< br>.

+px
0
+q=
0,两边同除以,得
q
故集合
A

B
中的元素互为倒数
.


+p+
1
=
0,知∈
B

由①知存在
x
0

A
,使得∈
B
,且
x
0< br>=
,得
x
0
=
1或
x
0
=-
1
.

由②知
A=
{1,
-
2}或
A=
{
-
1,
-
2}
.


A={1,
-
2},则
B=
,得
p=
1,
q=-< br>2
.

同理,若
A=
{
-
1,
-< br>2},则
B=
,得
p=
3,
q=
2
.

综上,
p=
1,
q=-
2或
p=
3,
q=
2
.

35、
.
(1)
A=
{(0, 0),(0,1),(1,0),(1,1)}
.

(2)集合
A
中 元素(0,0),(1,1)
B
,且(0,1),(1,0)∈
B

所以
A

B=
{(1,0),(0,1)}
.

集合
A

B
的所有子集为
四、计算题

36、解:(1)


(2)如图,

,{(1,0)},{(0,1)},{(1,0),(0,1)}
.


a>3
37、解:
(1)



学习参考


.. . . ..
a
<0时,

a=0时显然不符合条件。

(2)要满足
∵此时B
故所求的a值为3
38、解:∵
∴(A)∩B=
,∴A=



时成立
(2)∵

,∴
,解得。

1. 若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海,哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世 里,为自己留下一片纯静的心灵空间,不管是潮起潮落,也不管是阴晴圆缺,你都可以免去浮躁,义无反顾,勇往 直前,轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间,总会看清一些事。用一些事情,总会看清一些人。有 时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己,又打扰了别人。努力过后,才知道许多事情,坚持坚持,就过来了。4 .岁月是无情的,假如你丢给它的是一片空白,它还给你的也是一片空白。岁月是有情的,假如你奉献给她的是一 些色彩,它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力,当有一天蓦然回首时,你的回忆里才会多一些色彩斑斓,少一 些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。



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