高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (32)

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第1课时 集合的含义
知识点一 集合的含义
1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．
3．元素与集合的符号表示
?
?
元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
表示
?

?< br>集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
?
1．集合含义中的“研究对象”指的 是集合的元素，研究集合问
题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确
集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一
些物．
知识点二 集合中元素的特征与集合相等
1．集合中元素的特征
特征 含义
集合中的元素是 确定的，即给定一个集合，任何元素在不在
确定
这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构 成集合的标
性
准
互异给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，
性 在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序
集合中的元素无先后顺序之分
性
2.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等
的．例 如，集合{－1,1}与集合
{1，－1}是相等的．
知识点三 元素与集合的关系

关系 语言描述 记法 示例
a是集合
a属于集合A a∈A
若A表示由“世界四大
A中的元素
洋”组成的集合，则太
a不属于集a不是集合
平洋∈A，长江?A
a?A
合A A中的元素

2．对元素和集合之间关系的两点说明

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(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一 个
元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是
错误的．


知识点四 常用数集及符号表示
常用数集的字母表示
常用数集 简称 记法
全体非负整数的非负整数集(或自然数
N
集合 集)
所有正整数的集
正整数集 N
*
或N
＋

合
全体整数的集合 整数集
Z
全体有理数的集
有理数集
Q
合
全体实数的集合 实数集 R

3．准确认识集合的含义
( 1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、
不加定义的概念，这与我们初中学过的 点、直线等概念一样，都是用
描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非 常广泛，现实生活中我
们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一
些抽 象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集
合．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
-=答案=-：(1)√ (2)× (3)×
2．下列各项中，不能组成集合的是( )
A．所有的正数 B．所有的老人
C．不等于0的数 D．我国古代四大发明

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解析：“ 老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观
地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选 B.
-=答案=-：B
3．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A
D．－1?A
解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
-=答案=-：C
4 ．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a?N，则a∈N；
③a∈N，b∈N，则a＋b的最 小值是2.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3解析：根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝
2
，则
－a?N且a?N ，显然②不正确．
-=答案=-：A
类型一 集合的概念
例1 下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距
离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不
能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的
三要素，因此选D.
【-=答案=-】 D
构成集合的元素具有确定性．



方法归纳,
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的
标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )

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A．所有的负数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对
象不能构成集合．故选C.
-=答案=-：C

C中元素不确定．

类型二 元素与集合的关系
例2 (1)下列关系中，正确的有( )
1
①
2
∈R；②2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N 且4－a∈N”，有且只有2个
元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
1
【解析】 (1)
2
是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整 数，|－
3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)∵a∈A且4－a∈A，a ∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，
此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3 ，此时A＝{1,3}满足要
求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2
个元素的集合A有2个，故选C.
【-=答案=-】 (1)C (2)C
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4还讨论吗？


方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如 果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素
在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪 些元素构成
的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的

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关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此
时应首先明确已知集合的元 素具有什么属性，即该集合中元素要符合
哪种表达式或满足哪些条件．,

跟踪训练2 下列说法正确的是( )
A．0?N B.2∈Q C．π?R D.4∈Z
解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无
理数，Q是有 理数集合，2?Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，
故本选项错误；D.4＝2,2是正整数 ，则4∈Z，故本选项正确．故
选D.
-=答案=-：D

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．

类型三 集合元素的特性
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试
求实数a的值．
【解析】 因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以a－3＝－3或
2a－1＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3}，符合题
意．
综上可知，满足题意的实数a的值为0或－1.

首先根据－3∈A，求a的所有可 能取值，然后根据元素的互异
性逐个检验，最后确定实数a的值．


方法归纳


由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

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跟踪训练3 (1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则
△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三
角形
(2) 已知集合A含有两个元素a和a
2
，若1∈A，则实数a的值为
________．
解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素
都不相同，故选D.
(2)若1∈A，则a＝1或a
2
＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有
重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，
符合元素的互异性，所以a＝ －1.
-=答案=-：(1)D (2)－1

由元素互异性知边不能相等．


[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
-=答案=-：C
2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的
是( )
A．－1∈A B．－11∈A

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C．15∈A D．32∈A
解析：－11＝3×(－4)＋1，故选B.
-=答案=-：B
3．已知集合A中元素x满足－5≤x≤5，且x∈N
*
，则必有
( )
A．－1∈A B．0∈A
C.3∈A D．1∈A
解析：x∈N
*
，且－5≤x≤5，所以x＝1,2.所以1∈A.
-=答案=-：D
4．设A是方程x
2
－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值
为( )
A．－4 B．4
C．1 D．－1
解析：因为－5∈A，所以 (－5)
2
－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.
故选A.
-=答案=-：A
5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，
则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而
四边形中没有边长相等的边．
-=答案=-：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．判断下列说法正确的是________．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
36
?
1
?
1
(2)1，
2
，
4
，
?
－
2
?
，
2
这些数组成的集合含有五 个元素；
??
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；
(4)方程(x－3)(x－2)
2
＝0的解组成的集合有3个元素．
解析：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确
定性，不能组成集合． 31
(2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，
2
，
2< br>组成
的．

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(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个
集合．
(4)不正 确．方程(x－3)(x－2)
2
＝0的解是x
1
＝3，x
2
＝x
3
＝2，因此
写成集合时只有3和2两个元素．
-=答案=-：(3)
1
7．给出下列关系：(1)
3
∈R；(2 )5∈Q；(3)－3?Z；(4)－3?N，
其中正确的是________．
1
解析：
3
是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，
(3)错误； －3是无理数，(4)正确．
-=答案=-：(1)(4)
8．已知集合A含有三个元素1 ,0，x，若x
2
∈A，则实数x＝________.
解析：因为x
2< br>∈A，所以x
2
＝1，或x
2
＝0，或x
2
＝x，所 以x＝±1，
或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝
－1.
-=答案=-：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
31
(3)1,0.5，
2
，
2
组成的集合含有四个元素；
(4)接近于0的数的全体组成一个集合．
解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可 构成一个集合，
故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定
13
的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝
2
，所以1,0. 5，
2
，
1
2
组成的集合含有3个元素，故(3)错误．
1＋a
1
10．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若
3
∈A， 求
1－a
集合中的其他元素．

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1
1＋
3
1
解析：因为
3
∈A，所以
1
＝2∈A，
1－
3
1＋2
所以＝－3∈A，
1－2
1－3
1
所以＝－
2
∈A，
1＋3
1
1－
2
1
所以
1
＝
3
∈A.
1＋
2
11
故当
3
∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－2
.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，
那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：集合A含有三个元素2,4,6， 且当a∈A，有6－a∈A，a
＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
-=答案=-：B
12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为
(2,7)________P(填“∈”或“?”)．
解析：直线y＝2x＋3上的点的横 坐标x和纵坐标y具有y＝2x
＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，
故(2,7)∈P.
-=答案=-：∈

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13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且
3a∈A，求a的值．
解析：因为a∈A且3a∈A，
?
a<6，
所以
?
?
3a<6，

解得a<2.又a∈N，
所以a＝0或1.
14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且
a
b∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是
否分别为“闭集”？若是，请说 明理由；若不是，请举反例说明．
解析：数集N，Z不是“闭集”，
数集Q，R是“闭集”．
3
例如，3∈N,2∈N，而
2
＝1.5?N；
3∈Z，－2∈Z，
3
而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
－2
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
a
即a±b，ab，
b
(b≠0)仍是有理数，
故Q是闭集．同理R也是闭集．