人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

集合及函数概念
§1．1集合
（一）集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于
?
”及“不属于
?
两 种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N或N
+
；N内排除0的集.
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程 (x-2)(x-1)
2
=0的解集表示为
?
1,-2
*
?
,而不是
?
1,1,-2
?

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑴大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流；
2
⑶非负奇数； ⑷方程x+1=0的解；
⑸某校2011级新生； ⑹血压很高的人；
⑺著名的数学家； ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于
?
”及“不属于
?
”两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4
?
A，等等。 < br>练：A={2，4，8，16}，则4
?
A，8
?
A，32
?
A.
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“
?
”符号填空：
1 22

⑴8 N； ⑵0 N； ⑶-3 Z； ⑷
2
Q；
⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。
练：5页１题
例2．已知集合P的元素为
1,m,m?m?3
, 若2∈P且-1
?
P，求实数m的值。
练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？
①身材高大的人 ②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体
⑤比2大的几个数 ⑥
2
的近似值的全体
⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题
⑵给出下面四个关系:
3
?
R,0.7
?
Q,0
?
{0},0
?
N,其中正确的个数是:( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
⑶下面有四个命题:
①若-a
?
Ν,则a
?
Ν ②若a
?
Ν,b
?
Ν,则a+b的最小值是2
2
③集合N中最小元素是1 ④ x+4=4x的解集可表示为{2,2}
⑶其中正确命题的个数是(
⑷由实数-a, a,
a
,
a
2
, -
5
a
5
为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?
⑸求集合{2a,a
2
+a}中元素应满足的条件?
⑹若
2
1?t
?
{t},求t的值.
1?t

一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“
?< br>2322
?
”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}， {x，3x+2，5y-x，x+y}，…；
说明：⑴书写时，元素及元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元 素个数比较少时用列举法比较简单；若集合
中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的 情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显 示清楚后方能用省略号，
象自然数集Ｎ用列举法表示为
?
1,2,3,4,5,... ...
?

例1．用列举法表示下列集合：
(1) 小于5的正奇数组成的集合；
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3) 从51到100的所有整数的集合；
(4) 小于10的所有自然数组成的集合；
(5) 方程
x?x
的所有实数根组成的集合；
⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。
2

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。 < br>方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在 竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：
?
x?Ap(x)
?

如：{x|x-3>2} ，{(x,y)|y=x
2
+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x
2
+3x+2}及 {y|y= x
2
+3x+2}是不同的两个集
合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２ 、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能
被表面 的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：
2
(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 方程
x?2?0
的所有实数根组成的集合
(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法及描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：5页2题
1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
4
2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是 。
x?3< br>3.已知集合A＝{x|-3是
４.判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}及B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}及B={正整数}
二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {x
?
R∣02
3. {x
?
R∣x+1=0}
由此可以得到
?
有限集:含有有限个元素的集合
集合的分类
?
?
无限集:含有无限个 元素的集合
?
空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)
?
2< br>2

三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：
A
3,9,27
3 22

表示{3，9，27}
表示任意一个集合A


典型例题
【题型一】 元素及集合的关系
２
１、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a,ab｝,且A=B，求实数a，b. ２２
２、已知集合A＝｛a+2
，
（a+1)，a
+
3a+3｝ 若1∈A,求实数a的值。
【题型二】 元素的特征
１、⑴已知集合M=｛x∈N∣
⑵已知集合C=｛
6
∈Z｝,求M
1?x
6
∈Z∣x∈N｝,求C
1?x
6
是整数，集合
1?x
点拔：要注意M及C的区别，集合M中的元素是自然数 x，满足
C是的元素是整数
练习：
6
，满足条件是x∈N
1?x
１.给出下列四个关系式：①
3
∈R；②π
?
Q；③0∈N；④0< br>?
?
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
x?y?3
?
２.方程组
?
的解组成的集合是( )
?
x?y?1

A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝
3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是( )
A.｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝
4.下列说法正确的是( )
A.｛0｝是空集 B. ｛x∈Q∣
2
6
∈Z｝是有限集
x
C.｛x∈Q∣x+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝及｛1,2｝是不同的集合
二填空题：
５、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个；
２
６、以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有２个元素，则的a值为 .
７、集合M=｛y∈Z∣y=
8
,x∈Z｝,用列举法表示是M＝ 。
3?x
８、已知集合A＝｛2a,a
2
-a｝，则a的取值范围是 。
三、解答题：
2
９、设A＝｛x∣x+(b+2)x+b+1=0,b∈R｝求A的所有元素之和。
32
1 0.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x-11x+30x=0｝,若A=B，求a,b的值 。

集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,3}
，
B?{1,2,3,4,5}
； （2）
C?{北京一中高一一班全体女生}
，
D?{北京一中高一一班全体学生}
；
（3）
E?{x|x是两条边相等的三角形}
，
F?{xx是等 腰三角形}

观察可得：

⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包
含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
A?B(或B?A)
读作：A包含于B，或B包含A
表示：
A?B



⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A及集合B
中的元素是一样的，因此集合A及集合B相等，即若
A?B且B?A
，则
A?B
。
如：A={x|x=2m+1，m
?
Z}，B={x|x=2n-1，n< br>?
Z}，此时有A=B。
⒊真子集定义：若集合
A?B
，但存在元素
x?B,且x?A
，则称集合A是集合B的真子集。
记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）
4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：
?

用适当的符号填空：
当集合A不包含于集合B时，记作A?B(或B?A)

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

B

A
?

?
0
?
； 0
?
；
?
{
?
}；
?
0
?
{
?
}
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有
?
?
A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A ，B，C，如果
A?B
，且
B?C
，那么
A?C
。
练习：填空：
⑴2 N；
{2}
N；
?
A;
⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C

说明：
⑴注意集合及元素是“属于”“不属于”的关系，集合及集合是“包含于”“不包含于”的关系；
⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则 其子集数为2
n
个，其真子集数为2
n
-1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

（二）例题讲解：
【题型１】集合的子集问题
１、写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。
２、已知集合M满足｛2,3｝
?
M
?
｛1,2,3,4,5｝求满足条件的 集合M
３、已知集合A＝｛
x
|x
2
-2x-3=0｝,B=｛< br>x
|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（ ）
A.｛-1,0,
2
111
｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,｝ D.｛,0｝
333
4.设集合A=｛２，８，a｝B=｛2,a< br>2
-3a+4｝且BA，求a的值。

5.已知集合
A?x?2?x ?5,B?x?m?1?x?2m?1
且
A?B
，
求实数m的取值范围。 （
m?3
）
练习：

1、判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)
2
=0}，B={y|y
2
-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x
2
-3x+2=0};
(7) A={-1,1}，B={x|x
2
-1=0}; （8）A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。

2、设A={0，1}，B={x|x
?
A}，问A及B什么关系？
3、判断下列说法是否正确？
5 22
????

（1） N
?
Z
?
Q
?
R； （2）
?
?
A
?
A； （3）{圆内接梯形}
?
{等腰梯形}；
（4）N
?
Z； （5）
?
?
{
?
}； （6）
?
?
{
?
}
4.有三个元素的集合A，B，已知A ={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
解答题：
1.已 知集合
A?{x|a?x?5}
，
B?{x|x
≥
2}
，且 满足
A?B
，求实数
a
的取值范围。
2.已知三个元素集合A＝｛x,xy,x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x及y的值。
1.1.3 集合间的基本运算（共1课时）
考察下列集合，说出集合C及集合A，B之间的关系：
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
； （1）
A?{1,3 ,5}
，
B?{2,4,6},
（2）
A?{xx是有理数}
，B?{xx是无理数},C?
?
xx是实数
?
；
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A及集合B
的并集，即A及B的所有部分，
记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
Venn图表示：


说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B及集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A
?
, A∪B＝B
?
.
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
2.交集定义：一般地，由 属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集
（intersection set），
记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：
（阴影部分即为A及B的交集）


常见的五种交集的情况：


B
A B B
A
B A
A
A(B)


说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个
集合没有交集
讨论：A∩B及A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩
?
＝ A∩B B∩A

A∩B＝A
?
A∩B＝B
?

巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。
3.一些特殊结论

⑴若A
?B
,则A∩B=A； ⑵若B
?A
,则A
?
B=A；
⑶若A，B两集合中，B=
?
，,则A∩
?
=
?
, A
?
?
=A。
【题型一】 并集及交集的运算
【例1】设A={x|-1 解：A∪B={x|-11
2
3
-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。
解：在数轴上作出A、B对应部分如图
3
-2
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2
【例3】已知集合 A＝｛y|y=x
2
-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x
2
+2x+ 13,x∈R｝求A∩B、A∪B
【题型二】 并集、交集的应用
例：设集合A＝｛∣a+ 1∣,3,5},B={2a+1,a
2
+2a,a
2
+2a-1}，当A∩ B={２，３}时，求A∪B
解：∵∣a+1∣＝2 ∴a＝1或-3
当a＝1时，集合B的元素a
2
+2a＝3，2a+1＝3，
由集合的元素应具有互异性的要求可知a≠1.
当a＝-3时，集合B={-5，２，３}
∴A∪B={-5，２，３，5}
练：.已知｛3,4，m
2
-3m-1｝∩{２m，-３}=｛-3｝,则m＝ 。

练习：
１.设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝ 。
{x|x是等腰直角三角形}。
２设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝ 。
３设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则A∪B＝ 。
4.已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于 。
４设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝ 。
6.已知集合M＝{x|y=x
2
-1},N={y|y=x
2
-1},那么M∩N等于（ ）
A.
?
B.N C.M D.R
7 、若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x
2
｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实 数x的个数有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是 。
9.已知集合A＝ ｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝
?
，则实数a的聚取 值啊范
围是 。
集合的基本运算㈡
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）. 全集、补集概念及性质：
⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作：
C
U
A
，读作：A在U中的 补集，即
C
U
A?xx?U,且x?A

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
??
7 22

U
A

说明：补集的概念必须要有全集的限制
讨论：集合A及
C
U
A
之间有什么关系？→借助Venn图分析

A?C
U
A??,
C
U
A
A ?C
U
A?U,
C
U
??U

C
U
(C
U
A)?A

C
U
U??,
巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
②．设U＝{x|x<8，且x∈N}， A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ 。
【题型1】求补集
【例1】．设全集
U?xx是小于9的正整数,A?
?
1，2，3
?
，B?
?
3，4，5，6
?
，
求
C
U
A
，
C
U
B
．
【例2】 设全集
U?xx?4,集合A?x?2?x?3,B?x?3?x?3
，求
C
U
A
，

A?B
，
A?B,C
U
(A?B),(C
U
A)?(C
U
B),(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)
。

（结论：
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)
）
【例3】设全集U为R，
A?xx?px?12?0,
??
????? ?
?
2
?
B?xx
2
?5x?q?0
，若
??

(C
U
A)?B?
?
2
?
,A?(C
U
B)?
?
4
?
，求
A?B
。 （答案：
?
2,3,4
?
）
【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤ 3｝,A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x
2
-2x-3=0｝,求
C
U
A
，并且判断
C
U
A
和集合
B的关系。
【题型1】集合的混合运算
已知全集为R，集合P=｛x|x＝a
2
+4a +1,a∈R｝,Q=｛y|y＝-b
2
+2b+3,b∈R｝求P∩Q和P∩
CR
Q
。
（III）课堂练习：
⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C
S
A={2} ；
⑵若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C
S
B={直角三角形或钝角三角形} ；
⑶若S={1，2，4，8}，A=?，则C
S
A= S ；
⑷若 U={1，3，a
2
+2a+1}，A={1，3}，C
U
A={5}，则a = ；-1
?5

⑸已知A={0，2，4}，C
U
A ={-1，1}，C
U
B={-1，0，2}，求B={1，4}；
⑹设全集U={ 2，3，m
2
+2m-3}，A={|m+1|，2}，C
U
A={5}，求 m的值；（m= - 4或m=2）
⑺已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x
2
-5x+m=0，x∈U}，求C
U
A、m；（答案：C
U
A={2 ，3}，m=4；C
U
A={1，
4}，m=6）
⑻已知全集U=R,集合 A={x|0?
5},求C
U
A,C
U
(C
U
A)。
⑼已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N} ，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A
∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={ (1,1)，(1,2)，(2,1)}]
⑽已知集合M
?
{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；
A 3个 B 4个 C 6个 D5个
⑾设集合A={-1,1}, B={x|x
2
-2ax+b=0}, 若B
?
?
, 且B
?A
, 求a, b的值

(12)集合A?{n|
nm?1
?Z}，B?{m|?Z }，则AB?______

22
5
(13)集合A?{x|?4?x?2} ，B?{x|?1?x?3}，C?{x|x?0或x?}

2
那么ABC?____ __________,ABC?_____________;
提高内容：
⑴已知X={x |x
2
+px+q=0，p
2
-4q>0},A={1,3,5,7,9}, B={1,4,7,10}，且
X?A?
?
,X?B?X
，试
求p、q；
⑵集合A={x|x
2
+px-2=0},B={x|x
2-x+q=0},若A
?
B={-2，0，1}，求p、q；
⑶A={2，3， a
2
+4a+2}，B={0，7，a
2
+4a-2，2-a}，且A
?
B ={3，7}，求B



22.某班举行数、理、化三 科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有
25人，参加化学竞赛的 有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，
参加数学、化学两科的 有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。

集合中元素的个数
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，
用c ard(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A) =3.
结论:已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+car d(B)-card(A∩B).

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名 同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12
名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动 会中，这个班共有多少名同学参赛？
解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，
A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}
因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17.
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
１.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这
个班的学生总人数是
A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定
２. 给出下列命题： 给出下列命题：
① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ,
③ 若A∩B=Φ 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ，则card(A∩B)=card(A)
⑤ 若A
?
B，则card(A∩B)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是③④







9 22

高一数学必修1 集合练习题1


一．选择题
1．下列说法正确的是 （ ）
A．某个村子里的年青人组成一个集合
B．所有小正数组成的集合
C．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合
D．
1,0.5,,,,
2．下面有四个命题：
（１）集合Ｎ中最小的数是否；
（２）０是自然数；
（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；
（４）
a?N,B?N则a?b不小于2

其中正确的命题的个数是
A．１个 Ｂ．２个
3．给出下列关系：
（１）
（ ）
Ｄ．４个
136
224
1
这些数组成的集合有五个元素
4
Ｃ．３个
1
?R;

2
（２）
2?Q;

（３）
?3?N
?
;

（４）
?3?Q.

其中正确的个数为
Ａ．１个
4．给出下列关系：
（１）｛０｝是空集；
（２）
若a?N,则?a?N;

（３）集合
A?x?Rx?2x?1?0

（

）
Ｄ．４个 Ｂ．２个 Ｃ．３个
?
2
?
（４）集合
B ?
?
x?Q
?
?
6?
?N
?

x
?

其中正确的个数为
Ａ．１个
５．下列四个命题：
（１）空集没有了集；
（

）
Ｄ．０个 Ｂ．２个 Ｃ．３个
（２）空集是任何一个集合的真子集；
（３）空集的元素个数为零；
（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确的有
Ａ．0个
（ ）
Ｃ．2个 Ｄ．3个 Ｂ．1个
６．已知集合
A?x?Rx?5,B?x?Rx?1,
那么
A< br>Ａ．｛１，２，３，４，５｝
Ｃ．｛２，３，４｝








????
B
等于 （ ）
Ｂ．｛２，３，４，５｝
Ｄ．
x?R1?x?5

??
７ ．已知全集
I?
?
0,?1,?2.?3,?4
?
,
集合
M?
?
0,?1,?2
?
,N?
?
0,?3,?4
?
,则
?
I
M
?
Ａ．｛０｝

二．填空题
Ｂ．
?
?3,?4
?

N?
（ ）
Ｃ．
?
?1,?2
?
Ｄ．
?

８．方程的解集为
x?R2x?3x?2?0,
用列举法表 示为____________.
?
2
?
2?x7x
?
2 x?1???1,
??
?
?
32
９．用列举法表示不等式组
?
的整数解集合为____________.
?
x?5
?3x??1?
?2
10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ 之间的关系是__________.
11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合
A?x?Rx?5
，则

三．解答题
12．已知
A?xx?2x?3?0,B?xx2?5x?6?0,求A
??
A
用列举法表示为_____________.
?
2
?
??
B.

13．已知
A?yy? x?4x?6,y?N,B?yy??x?2x?18,y?N,求A
14．若集合
A?
?
1,3,x
?
,B?x
2
,1,且A
Ａ．１个 Ｂ．２个
?
2
??
2
?
B
．
??< br>?
B?
?
1,3,x
?
,
则满足于条件的实数
x
的个数有 （ ）
Ｃ．３个 Ｄ．４个
15．设集合
A?
?
?3,0,1
?
,B?t
2
?t?1,若A
?
B?A
，则实数
t?
______________．
11 22

16已知全集
U?R,A?x?4?x?2,B?x?1?x?3,P?
?
xx?0或x?
????
?
?
5?
?
,
那 么
2
?
AB?_______,AB
?
P
?
?__ ______
．
17.
A?xx?px?q?0,B?xx?px?2q?0,且A





?
2
??
2
?
B?
?
?1?
,求AB.

18．设
A?xx?1,B?xx?a,且A?B,
求a的取值范围．





19．试用适当的符号把
2?3?





20．已知集合
????
2?3和a?b6a?R,b?R
连接起来．
??
A?x x
2
?4x?3?0,B?xx
2
?ax?a?1?0,C?xx
2
?mx?1?0,
??????

且AB?A,AC?C,求a,m
的值或取值范围．

第1讲 §1.1.1 集合的含义及表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属 于”关系；能选择自然语言、图形语言、
集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语 言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用
数集及其记法、集合元素的三个特征.
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形
式为
{a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
}
，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表< br>示，基本形式为
{x?A|P(x)}
，既要关注代表元素x，也要把握其属性
P(x)
，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母
A,B,C,???
表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集 N，正整数集
N
*
或
N
?
，整数集Z，有理数集Q，实数集 R.
?
表示，4. 元素及集合之间的关系是属于（belong to）及不属于（not belong to），分别用符号
?
、例如
3?N
，
?2?N
.

¤例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程
x(x
2
?2x?3)?0
的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
解：（1）用描述法表示为：
{x?R|x(x2
?2x?3)?0}
；
用列举法表示为
{0,?1,3}
.
（2）用描述法表示为：
{x?Z|2?x?7}
；
用列举法表示为
{3,4,5,6}
.
【例2】用适当的符号填空：已知
A ?{x|x?3k?2,k?Z}
，
B?{x|x?6m?1,m?Z}
，则有：
17 A； －5 A； 17 B.
解：由3k?2?17
，解得
k?5?Z
，所以
17?A
；
7
?Z
，所以
?5?A
；
3
由
6m?1 ?17
，解得
m?3?Z
，所以
17?B
.
由
3 k?2??5
，解得
k?
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P
6
练习题2， P
13
A组题4）
（1）一次函数
y?x? 3
及
y??2x?6
的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数
y?x
2
?4
的函数值组成的集合；
（3）反比例函数
y?
2
的自变量的值组成的集合.
x
?
y?x?3
}?{(1,4)}
. 解：（1）
{(x ,y)|
?
y??2x?6
?
2
x
（2）
{y|y ?x
2
?4}?{y|y??4}
.
（3）
{x|y?}?{x|x?0}
.
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为
{1,4 }
，也注意对比
（2）及（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同 ，分析时一定要细心.
*【例4】已知集合
A?{a|
解：化方程
x?a< br>?1有唯一实数解}
，试用列举法表示集合A．
x
2
?2
x ?a
?1
为：
x
2
?x?(a?2)?0
．应分以下三种情 况：
2
x?2
91
⑴方程有等根且不是
?2
：由 △=0，得
a??
，此时的解为
x?
，合．
42
⑵方程有 一解为
2
，而另一解不是
?2
：将
x?2
代入得
a ??2
，此时另一解
x?1?2
，合．
⑶方程有一解为
?2
，而另一解不是
2
：将
x??2
代入得
a?2
，此时另一 解为
x?2?1
，合．
综上可知，
A?{?,?2,2}
．
9
4
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现
象.

第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系
¤学习目标：理解集合之间包含及相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集及空集
的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.
¤知识要点：
1. 一般地，对于 两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包
含关系，其中集 合A是集合B的子集（subset），记作
A?B
（或
B?A
），读作“A 含于B”（或“B包含A”）.
2. 如果集合A是集合B的子集（
A?B
），且集 合B是集合A的子集（
B?A
），即集合A及集合B的元
素是一样的，因此集合A及集 合B相等，记作
A?B
.
3. 如果集合
A?B
，但存在元素< br>x?B
，且
x?A
，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作
A
?
B（或B
?
?
A）.
?
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作
?
，并规定空集是任何集合的子集.
13 22

5. 性质：
A?A
；若
A?B
，
B?C< br>，则
A?C
；

若
AB?A
，则< br>A?B
；若
AB?A
，则
B?A
.
¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）
?

{x?R|x
2
?2?0}
； 0 {0}；
?
{0}； N {0}.
解：（1）， ；
（2）=， ∈， ，.
【例2】设集合
A?{x|x
?

A
B



A． B． C． D．
易知B
?
A，故答案选A．
n1
则下列图形能表示A及B关系的是（ ）.
,n?Z}
,B?{ x|
x?n?,n?Z}
，
22
B
A
B
A
A
B
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
113
222
解：简单列举两个集合的一些元素，
A?{??? ,??1,?,0,,1,,???}
，
B?{???,?,?,,,???}
，
?
2n?1
,n?Z}
，易知B
?
A，故答案选A． ?
2
【例3】若集合
M?x|x
2
?x?6?0,N?
?
x|ax?1?0
?
，且
N?M
，求实数
a
的值 .
另解：由
B?{x|
x?
??
解：由
x
2?x?6?0?x?2或?3
，因此，
M?
?
2,?3
?
.
（i）若
a?0
时，得
N??
，此时，
N?M
；
（ii）若
a?0
时，得
N?{}
. 若
N?M
, 满足
故所求实数
a
的值为
0
或
1
a
111 1
?2或??3
，解得
a?或a??
.
aa23
11
或
?
.
23
点评：在考察“
A?B
”这一关系时，不要忘记“
?
” ，因为
A??
时存在
A?B
. 从而需要分情况讨论. 题
中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax
2
}. 若A=B，求实数x的值.
?
a?b?ax
?
a+ax
2
-2ax=0, 所以a(x-1)
2
=0，即a=0或x=1. 解：若
?
2
?a?2b?ax
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
?
a?b?ax
2
?
2ax
2
-ax-a=0. 若
?
?
a?2b?ax
因为a≠0，所以2x
2
-x-1= 0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有
x??
经检验，此时A=B成立. 综上所述
x??
1
.
2
1
.
2
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）
¤学习目标：理解两个集合的并集及交集的含义，会求两个简单集合的并集及交 集；理解在给定集合中一
个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系 及运算，体会直观图示对理解抽
象概念的作用.
¤知识要点：
集合的基本运算有三 种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到
掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.

并集 交集 补集
由所有属于集合A或属于集由属于集合A且属于集合B对于集合A,由全集U中不属于
概念 < br>合B的元素所组成的集合，的元素所组成的集合，称为集合A的所有元素组成的集

记号
符号
图形
表示
称为集合A及B的并集
（union set）
）
AB
（读作“A并B”
集合A及B的交集
（intersection set）
）
AB
（读作“A交B”
合，称为集合A相对于全集U
的补集（complementary set）
）
U
A
（读作“A的补 集”
U
AB?{x|x?A,或x?B}

AB?{x|x?A,且x?B}

A?{x|x?U,且x?A}


U


A

¤例题精讲：
【例1 】设集合
U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9},求A
解：在数轴上表 示出集合A、B，如右图所示：
AB?{x|3?x?5}
，
B,
U
(AB)
.
A
-1
C
U(A
（1）
A
解：
B)?{x|x??1,或x?9}
，
A?B

3 5
B
9 x
【例2】设
A?{ x?Z||x|?6}
，
B?
?
1,2,3
?
,C?
?
3,4,5,6
?
，求：
(BC)
； （2）
A
A
(BC)
.
A?
?
?6,?5,?4 ,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6
?
.
B
B
C?
?
3
?
，∴
A(B
C?
?
1,2,3,4 ,5,6
?
，
（1）又
（2）又
得
C
A
(B
C)?
?
3
?
；
C)?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?1,0
?
.
∴
AC
A
(BC)
?
?
?6,?5,?4,?3 ,?2,?1,0
?
.
【例3】已知集合
A?{x|?2?x?4}
，
B?{x|x?m}
，且
A
解：由
AB?A
，可得A?B
.
在数轴上表示集合A及集合B，如右图所示：
由图形可知，
m?4
.
B?A
，求实数m的取值范围.
B A
-2 4 m x
点评：研 究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，
得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的 问题.
【例4】已知全集
U?{x|x?10,且x?N
*
}
，< br>A?{2,4,5,8}
，
B?{1,3,5,8}
，求
C
U
(AB)
，
C
U
(AB)
，
(C
U
A)(C
U
B)
，
(C
U
A)(C
U
B)
，并比较它们的关系.
B)?{6,7,9}
.
B)?{1,2,3,4,6,7,9}

解：由
A
由
A
B?{1,2,3,4,5,8}
，则C
U
(A
B?{5,8}
，则
C
U
(A
(C
U
B)?{6,7,9}
，
由
C
U
A? {1,3,6,7,9}
，
C
U
B?{2,4,6,7,9}
， < br>则
(C
U
A)
(C
U
A)(C
U
B )?{1,2,3,4,6,7,9}
.
由计算结果可以知道，
(C
UA)(C
U
B)?C
U
(AB)
，
(C
U
A)(C
U
B)?C
U
(AB)
.
另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn图 研究
(C
U
A)(C
U
B)?C
U
(AB)
及
(C
U
A)(C
U
B)?C
U
(A
此 结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

B)
，在理解的基础记住
第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤学习目标：掌握集 合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中
的一些数学思想方法 .
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握
各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过 图形，我们还可以发现一些集合性质：
C
U
(AB)?(C
U
A)( C
U
B)
,
C
U
(AB)?(C
U
A)( C
U
B)
.
2. 集合元素个数公式：
n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB)
.
15 22

3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
¤例题精讲：
【例1】设集合
A??4,2a?1 ,a
2
,B?
?
9,a?5,1?a
?
，若
A解：由于
A??4,2a?1,a
2
,B?
?
9,a?5,1? a
?
，且
A
??
B?
?
9
?
，求 实数
a
的值.
??
B?
?
9
?
，则有：
当
2a?1＝9时，
解得
a＝5
，此时
A={－4, 9, 25}，B={9, 0, －4}
，不合题意，故舍去；
当
a
2
＝9
时，解得
a＝3或－3
.
不合题意，故舍去；
a＝3时， A={－4,5,9}， B={9,－2,－2}，
a＝－3，A={－4, －7， 9}，B={9, －8, 4}
，合题意.
所以，
a＝－3
.
【例2】设集合
A? {x|(x?3)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?4)(x?1)?0}
，求
A
B组题2）
解：
B?{1,4}
.
B
,
AB
.（教材P
14

B?{1,3,4}
，
AB??
；
当
a?1
时，
A?{1,3}
，则
AB?{1,3,4}
，
AB?{1}
；
当
a?4
时，
A?{3,4}
，则
AB?{1,3,4 }
，
AB?{4}
；
当
a?3
且
a?1
且
a?4
时，
A?{3,a}
，则
AB?{1,3,4,a}
，
AB??
.
当
a?3
时，
A?{3}
，则< br>A
点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据 集合的性质
和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={
x
|
x
2
?4x?0
}， B ={
x
|
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
，
a? R
}，若A
的值．
解：先化简集合A=
{?4,0}
. 由AB=B，求实数
a
B=B，则B
?
A，可知集合B可为
?
，或为{0}，或{－4}，或
{?4,0}
.
(i)若B=
?
，则
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
，解得a
＜
?1
；
(ii)若
0?
B，代入得
a< br>2
?1
=0
?
a
=1或
a
=
?1< br>，
当
a
=1时，B=A，符合题意；
当
a
=
?1
时，B={0}
?
A，也符合题意．
(iii)若－4
?
B，代入得
a
2
?8a?7?0
?
a
=7或
a
=1，
当
a
=1时，已经讨论，符合题意；
当
a
=7时，B={－12，－4}，不符合题意．
综上可得，
a
=1或
a
≤
?1
．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合 之
间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该 题时，
特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=
?
的情形，从而造成错误．这需要在 解题过程中要全方位、多角度审
视问题.
【例4】对集合A及B，若定义
A?B? {x|x?A,且x?B}
，当集合
A?{x|x?8,x?N
*
}
，集合
B?{x|x(x?2)(x?5)(x?6)?0}
时，有
A?B
= . （由教材P
12
补集定义“集合A相对于全集U的补
集为
C
U
A?{x|x?,且x?A}
”而拓展）
解：根据题意可知，
A?{1,2 ,3,4,5,6,7,8}
，
B?{0,2,5,6}

由定义
A?B?{x|x?A,且x?B}
，则
A?B?{1,3,4,7,8}
.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是 一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这
里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则
A?B
也相当于
A


(C
U
B)
.
第5讲 §1.2.1 函数的概念
¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学
习用集合及对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

¤知识要点：
1. 设A、B是非空的数集 ，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集合B
中都有唯一确定的数
y
和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A到 集合B的一个函数（function），记作
y
=
f(x)
，
，及 x的值对应的y值叫函数值，函数值的
x?A
．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域 （domain）
集合
{f(x)|x?A}
叫值域（range）.
2. 设a、b是两个实数，且a{x|a≤x[a,b)
， {x|a(a,b]
，都叫半开半闭区间.
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
{x |x?a}?(a,??)
，
{x|x?a}?[a,??)
，
{x|x?b }?(??,b)
，
{x|x?b}?(??,b]
，
R?(??,??)< br>.
3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才
是同一函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域： （1）
y?
1
；（2）
y?
x?2?1
x?3
3
x?1?2
.
解：（1）由
x?2 ?1?0
，解得
x??1
且
x??3
，
所以原函数定义域为
(??,?3)(?3,?1)(?1,??)
.
?< br>?
x?3?0
（2）由
?
3
，解得
x?3
且
x?9
，
x?1?2?0
?
?
所以原函数定义域为
[3,9)(9,??)
.
3x?2
； （2）
y??x
2
?x?2
.
5?4x
55
解： （1）要使函数有意义，则
5?4x?0
，解得
x?
. 所以原函数的定义域是
{x|x?}
.
44
3x?2112x?813(4 x?5)?23323333
y???????????0??
，所以值域为
{y|y ??}
.
5?4x45?4x45?4x45?4x444
199
（2）< br>y??x
2
?x?2??(x?)
2
?
. 所以原函数的定义域是R，值域是
(??,]
.
244
1?x
【例 3】已知函数
f(
（1）
f(2)
的值； （2）
f(x)
的表达式
)?x
. 求：
1?x
1?x 11
解：（1）由
?2
，解得
x??
，所以
f(2)??< br>.
1?x33
1?x1?t1?t1?x
（2）设，所以
f(t)?
，即
f(x)?
.
?t
，解得
x?
1?x1?t 1?t1?x
【例2】求下列函数的定义域及值域：（1）
y?
点评：此题解法中突出 了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需
要结合换元法、特值代入、方程思想等.
x
2
【例4】已知函数
f(x)?,x?R
.
1?x2
1111
（1）求
f(x)?f()
的值；（2）计算：
f( 1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
.
x234
12
2
1xx
2
11?x
2
x
解：（1）由f(x)?f()??????1
.
x1?x
2
1?
1
1?x
2
1?x
2
1?x
2
x
2
111 17
（2）原式
?f(1)?(f(2)?f())?(f(3)?f())?(f(4)?f ())??3?

23422
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

第6讲 §1.2.2 函数的表示法
¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析 法）表示函数；
17 22

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.
¤知识要点：
1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关 系，优点：简明，给自变量
可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象， 反应变化趋势）；列表法（列出表
格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.
2. 分段函数的表示法及意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.
3. 一般地 ，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元
素x，在 集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应
f:A?B
为从集合A到集合B的一个 映射
（mapping）．记作“
f:A?B
”.
判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
¤例题精讲：
【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正
方形，然后折成一 个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的
定义域为_______．
解：盒子的高为x，长、宽为
a－2x
，所以体积为V＝
x(a－2x)2
.
又由
a－2x?0
，解得
x?
a
.
2
a
2
所以，体积V以x为自变量的函数式是
V?x(a－2x)
2
，定义域为
{x|0?x?}
.
3
?
?
x
3
?2x?2
x?(??,1)
【例2】已知f(x)=
? ，求f[f(0)]的值.
3?3
x?(1,??)
?
?
x?x
解：∵
0?(??,1)
， ∴ f(0)=
3
2
.
又 ∵
3
2
>1，
∴ f(
3
2
)=(
3< br>2
)
3
+(
3
2
)
-3
=2+155
=，即f[f(0)]=.
222
【例3】画出下列函数的图象：
（1）
y?|x?2|
； （教材P
26
练习题3）
（2）
y?|x?1|?|2x?4|
.
?
x?2,x?2解：（1）由绝对值的概念，有
y?|x?2|?
?
.
2?x,x?2
?
所以，函数
y?|x?2|
的图象如右图所示.
?
3x?3,x?1
?
（2）
y?|x?1|?|2x?4|??
x?5,?2?x?1
，
?
?3x?3,x??2
?
所以，函数
y?|x?1|?|2x?4|
的图象如右图所示.
点评：含有绝对 值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数
式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况 ，选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数
f(x)?[x]
的函数值表示不 超过x的最大整数，例如
[?3.5]??4
，
[2.1]?2
，当
x?(?2.5,3]
时，写出
f(x)
的解析式，并作出函数的图象.
?
?3,?2.5?x??2
?
?2,?2?x??1
?
?1,?1 ?x?0
?
解：
f(x)?
?
0,0?x?1
. 函数图象如右：
?
1,1?x?2
?
2,2?x?3
?
?
3,x?3
点评：解题关键是理解符号
?
m
?
的概念，抓住 分段函数的对应函数式.
第7讲 §1.3.1 函数的单调性
¤学习目标：通过已学 过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理

解和研 究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.
¤知识要点：
1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个
区间D内的任意 两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时 ，都有f(x
1
)2
)，那么就
说f(x)在区间D上是增 函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可
定义减函数.
2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一
区间上具有（ 严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，
增函数的图象是从左向右是上升的（ 如右图1），减函数的图象从左向右
是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升及下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3. 判断单调 性的步骤：设x
1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
；→计算f(x
1
)－f(x
2
) →判断符号→下结论.
¤例题精讲：
2x
在区间（0，1）上的单调性.
x?1
2x< br>1
2x
2
2(x
2
?x
1
)
解：任 取
x
1
,x
2
∈(0,1)，且
x
1
?x
2
. 则
f(x
1
)?f(x
2
)?
.
??
x
1
?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)
由于
0?x
1
?x
2
? 1
，
x
1
?1?0
，
x
2
?1?0
，
x
2
?x
1
?0
，故
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
.
2x
所以，函数
f(x)?
在（0，1）上是减函数.
x?1< br>【例2】求二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的单调区 间及单调性.
【例1】试用函数单调性的定义判断函数
f(x)?
解：设任意
x
1
,x
2
?R
，且
x
1
?x
2
. 则

f(x
1
)?f(x
2
)?(ax
1
2
?bx
1
?c)?(ax
2
2
?bx
2
?c)?a(x
1
2
?x
2
2
)?b( x
1
?x
2
)
?(x
1
?x
2
) [a(x
1
?x
2
)?b]
.
bb
时，有
x
1
?x
2
?0
，
x
1
?x
2
??
，即
a(x
1
?x
2
)?b?0
，从 而
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
2aa
bb
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以
f (x)
在
(??,?]
上单调递增. 同理可得
f(x)
在
[?,??)
上单调递减.
2a2a
若
a?0
，当
x
1
?x
2
??
【例3】求 下列函数的单调区间：
（1）
y?|x?1|?|2x?4|
；（2）
y? ?x
2
?2|x|?3
.
?
3x?3,x?1
?
解：（1）
y?|x?1|?|2x?4|?
?
x?5,?2?x?1
，其图 象如右.
?
?3x?3,x??2
?
由图可知，函数在
[?2, ??)
上是增函数，在
(??,?2]
上是减函数.
2
?
?
?x?2x?3,x?0
（2）
y??x?2|x|?3?
?
2< br>，其图象如右.
?
?
?x?2x?3,x?0
由图可知，函数在(??,?1]
、
[0,1]
上是增函数，在
[?1,0]
、< br>[1,??)
上是减函数.
2
点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也
可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到
f(|x|)
的图象. 由图象
研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

3x?1
，指出
f(x)
的单调区间.
x?2
3(x?2)?5?5
解：∵
f(x)?
，
?3?
x?2x?2
?5
∴ 把
g(x)?
的图象沿x轴方 向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，
x
得到
f(x)
的图象， 如图所示.
由图象得
f(x)
在
(??,?2)
单调递增，在(?2,??)
上单调递增.
【例4】已知
f(x)?
点评：变形后结 合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知
f(x?a)?b
平移变换规律.

19 22

第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何 意义；学会运用函数
图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.
¤知识要点：
1. 定义最大值：设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果 存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)
≤M；
存在x
0
∈I，使得
f(x
0
)
= M. 那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可
以给出最小值（Minimum Value）的定义.
b
2
4ac?b
2
2. 配方法：研究二次函数
y?ax? bx?c(a?0)
的最大（小）值，先配方成
y?a(x?)?
后，
2a4 a
4ac?b
2
4ac?b
2
当
a?0
时，函数取 最小值为；当
a?0
时，函数取最大值.
4a4a
2
3. 单调法 ：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单
调性求函数 的最大值或最小值.
4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
¤例题精讲：
6
的最大值.
x?x?1
66
133
?8
. 解：配方为
y?
， 由
(x?)
2
??
，得
0?
1
2
313< br>244
(x?)?(x?)
2
?
2424
【例1】求函数y?
2
所以函数的最大值为8.
【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用 提高售
出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他 将售出价定
为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.
解：设他 将售出价定为x元，则提高了
(x?10)
元，减少了
10(x?10)
件， 所赚得的利润为
y?(x?8)[100?10(x?10)]
.
即
y? ?10x
2
?280x?1600??10(x?14)
2
?360
. 当
x?14
时，
y
max
?360
.
所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.
【例3】求函数
y?2x?x?1
的最小值.
解：此函数的定义域为
?
1,??
?
，且函数在定义域上是增函数，
所以当
x?1
时，
y
min
?2?1?1?2
，函数的最小值为2.
点评：形如
y?ax?b?cx?d
的函数最大值或 最小值，可以用单调性法研究，
也可以用换元法研究.
【另解】令
x?1?t
，则
t?0
，
x?t
2
?1
，所以
y?2t2
?t?2?2(t?)
2
?
在
t?0
时是增函数，当
t?0
时，
y
min
?2
，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：
（1）
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
； （2）
y?|x?1|?|x?2|
.
1
4
15
，
8
53
22
b
，即
x??1
.
2a
3 9
画出函数的图象，由图可知，当
x??1
时，
y
max
? 4
； 当
x?
时，
y
min
??
.
2 4
539
所以函数
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
的最 大值为4,最小值为
?
.
224
解：（1）二次函数
y?3?2x ?x
2
的对称轴为
x??

?
3 (x?2)
?
（2）
y?|x?1|?|x?2|?
?
2x?1 (?1?x?2)
.
?
?
?3 (x??1)
作出函数的图象，由图可知，
y?[?3,3]
. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间及对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝
对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性
¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、
偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.
¤知识要点：
1. 定义：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f(?x)?f(x)
，那么函数
f(x)
叫偶函数（even
function）. 如果对于 函数定义域内的任意一个x，都有
f(?x)??f(x)
），那么函数
f(x)叫奇函数（odd function）.
2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函 数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴
对称.
3. 判别方法：先考察定义域是 否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别
f(?x)
及
f(x)
的
关系.
¤例题精讲：
【例1】判别下列函数的奇偶性：
1
； （2）
f(x)?|x?1|?|x?1|
；（3）
f(x) ?x
2
?x
3
.
x
解：（1）原函数定义域为
{x|x?0}
，对于定义域的每一个x，都有
11

f(?x)?(?x)
3
???(x
3
?)??f(x)
， 所以为奇函数.
?xx
（1）
f(x)?x
3
?
（2）原 函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有

f(?x)?|?x?1|?|?x? 1|?|x?1|?|x?1|?f(x)
，所以为偶函数.
（3）由于
f(?x) ?x
2
?x
3
??f(x)
，所以原函数为非奇非偶函数.
【例2】已知
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，且
f(x) ?g(x)?
解：∵
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，
∴
f(?x)??f(x)
，
g(?x)?g(x)
.
1
，求
f(x)
、
g(x)
.
x?1
1 1
??
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?
??
??
x?1 x?1
则
?
，即
?
.
11
?
f(?x) ?g(?x)?
?
?f(x)?g(x)?
??
?x?1?x?1
? ?
x1
两式相减，解得
f(x)?
2
；两式相加，解得
g( x)?
2
.
x?1x?1
【例3】已知
f(x)
是偶函数 ，
x?0
时，
f(x)??2x
2
?4x
，求
x? 0
时
f(x)
的解析式.
解：作出函数
y??2x
2?4x??2(x?1)
2
?2,x?0
的图象，其顶点为
(1,2)< br>.
∵
f(x)
是偶函数， ∴ 其图象关于y轴对称.
作出
x?0
时的图象，其顶点为
(?1,2)
，且及右侧形状一致，
∴
x?0
时，
f(x)??2(x?1)
2
?2??2x
2
?4x
.
点评：此题中的函数实质就是
y??2x
2
?4|x|
. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此
类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.
【另解】当
x?0
时，
?x?0
，又由于
f(x)
是偶函数，则
f(x)?f (?x)
，
所以，当
x?0
时，
f(x)?f(?x)??2(? x)
2
?4(?x)??2x
2
?4x
.
【例4】设函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，且在区间
(??,0)
上是减函数，实数a 满足不等式
f(3a
2
?a?3)?f(3a
2
?2a)
， 求实数a的取值范围.
21 22

解：∵
f(x)
在区间
(??,0)
上是减函数， ∴
f(x)
的图象在y轴左侧递减.
又 ∵
f(x)
是奇函数，
∴
f(x)
的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.
又
f(?0)??f(0)
，解得
f(0)?0
， 所以
f(x)
的图象在R上递减.
∵
f(3a
2
?a?3)?f(3a
2
?2a)
，
∴
3a
2
?a?3?3a
2
?2a
，解得
a?1
.
点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函 数在关于原点对称区间上
单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.


第10讲 第一章 集合及函数概念 复习
¤复习目标：强化对集合及集合关系 题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性
研究问题，注意运用文氏图解题方法 的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概
念.掌握对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，
并会运用.
¤例题精讲：
【例1已知a,b为常数，若
f(x)?x
2
?4x ?3,f(ax?b)?x
2
?10x?24
，则
5a?b?
.
解：由
f(x)?x
2
?4x?3
，则
f(ax?b) ?(ax?b)
2
?4(ax?b)?3?x
2
?10x?24
，
整理得
a
2
x
2
?2abx?b
2
?4a x?4b?3?x
2
?10x?24
，
?
a
2
? 1
?
比较系数得：
?
2ab?4a?10
，
2
?
?
b?4b?3?24
解得：
a??1,b??7
；或
a? 1,b?3
. 则
5a?b?2
.
【例2】已知
f(x)
是偶函数，而且在
(0,??)
上是减函数，判断
f(x)
在
(?? ,0)
上是增函数还是减函数，
并加以证明.
解：设x
1
＜x2
＜0，则－x
1
＞－x
2
＞0，
因为
f( x)
在
(0,??)
上是减函数，则
f(?x
1
)?f(? x
2
)
.
因为
f(x)
为偶函数，所以
f(x< br>1
)?f(x
2
)
，
由此可得
f(x)
在
(??,0)
上是增函数.
【例3】 集合
A?{x|?1?x?7}
，
B?{x|2?m?x?3m?1}
，若< br>A
解：由
A
B?B
，求实数m的取值范围.
B?B
，得
B?A
.
当
B??
时，有：
2?m?3m?1
，解得
m?
当
B??
时，如右图数轴所示，则
?
2?m?3m?1
1
?
，解得
?m?2
. ?
2?m??1
4
?
3m?1?7
?
综上可知，实数m 的取值范围为
m?2
.
1
.
4
-1 2-m 3m+1 7 x
点评：已知两个含参集合的关系或者运算结果时，可以结合数轴分析区间端点的 位置情况，列出相关不等
式后求解参数范围. 注意当
B?A
时，不能忽视
B??
的情况.