高中数学竞赛专题练习——集合与函数

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竞赛试题选讲之 集合与函数
姓名： 得分：
1. （06北卷）已知
f(x)?
?
值范围是
（A）(1，+
?
) （B）(-
?
,3) (C )[
1，
?
(3?a)x?4a,x＜
是（-
?
，+
?
）上的增函数，那么
a
的取
?
log
a
x,x ?1
3
，3] (D)(1 ,3) ( )
5
19
2.（06全国II）函数f(x)＝
?
|x－n|的最小值为 ( )
i＝1
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
3.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f( x+2)=
－
f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
4.（06天津卷）已知函数
y?f(x)
的图象与函数
y?a
x
（
a?0
且
a?1
）的图象关于直线
1
y?x
对称 ，记
g(x)?f(x)[f(x)?2f(2)?1]
．若
y?g(x)
在 区间
[,2]
上是增函数，
2
则实数
a
的取值范围是 （ ）
11
22
5. （06天津卷）如果函数
f(x)?ax
(a
x
?3a
2
?1)(a?0
且
a?1)
在区间
?
0，∞?
?
上是增函
A．
[2,??)
B．
(0,1)?(1,2)
C．
[,1)
D．
(0,]

数，那么实数
a
的取值范围是 （ ）
?
2
?
Ａ．
?
0，
?
?
3
?
?
3
?
Ｂ．
?
，1
?
?

3
??
，3
?
Ｃ．
1
?
?
Ｄ．
?
，?∞
?

?
3
?
2
?
?
?
a,a?b
6.（06浙江 卷）对a,b
?
R,记max{a,b}=
?
，函数f（x）＝max{|x +1|,|x-2|}(x
?
R)的最
b,a＜b
?
小值是 （ ）
(A)0 (B)
13
(C) (D)3
22
7 ．（2006安徽初赛）若关于x的方程
1?x
2
?kx?2
恰有一个实根， 则k的取值范围
是 ．
8、（2006陕西赛区预赛）设
f(x )
是以2为周期的奇函数，且
f(?)?3
，若
sin
2
5
?
?
5
则
5
f(4cos2
?
)
的值
9. （2006吉林预赛）已知函数
f(x)?log
1
x
，设
x?
2
ab
c
，
y?
，
z?
，其
f(a)f(b)
f(c)
中010. （2006吉林预赛 ）若关于x的方程
1?x
2
?log
2
(x?a)
有正数解 ，则实数a的取值范
围为______。
11．(集训试题)对每一实数对(x, y)，函 数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若
f(-2)=-2，试求满足 f(a)=a的所有整数a=_________.
12．(集训试题)设n是正整数，集合M={1 ，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M
的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素 之和等于
13、(集训试题)．若log
4
(x+2y)+log
4
(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是________ _.
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2
14. (06重庆卷)设
a?0,a?1
，函数
f(x)?a
lgx(?x?23)
有最大值，则不等式
lo g
a
?
x
2
?5x?7
?
?0
的解集为 。
15、（2006陕西赛区预赛）(20分)设
P(x?a,y
1
)、Q (x,y
2
)、r(2?a,y
3
)
是函数
x
f( x)?2?a
的反函数图象上三个不同点，且满足
y
1
?y
3
?2y
2
的实数x有且只有一个，
试求实数a的取值范围.










?2
x
?b
16. (06重庆卷)已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。（Ⅰ）求
a,b
的值；（Ⅱ）
2?a
若对任意的
t?R
，不等式
f(t
2
?2t)?f( 2t
2
?k)?0
恒成立，求
k
的取值范围；
















17．（200 6天津）已知
?
、?
是关于
x
的二次方程
2x?tx?2?0
的两个根，且
?
?
?
，
若函数
f(x)?
2
4x?t
f(
?
)?f(
?
)
．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）对任意的正数
x
1
、
x
2
，求证：
x
2
?1
?
?
?
x
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
|f(
1
)?(
1
)|?2|
?
?
?
|
．
x
1
?x
2
x
1
?x
2








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竞赛试题选讲之 《集合与函数练习》答案

1.解 ：依题意，有a?1且3－a?0，解得1?a?3，又当x?1时，（3－a）x－4a?3－5a，
当x?1时，log
a
x?0，所以3－5a?0解得a?
19
3
， 所以1?a?3故选D
5
2.解析:
f(x)?
?
x?n?x?1 ?x?2?x?3
n?1
?x?19
表示数轴上一点到
1,2,3…19的距 离之和,可知x在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选
C
本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求
范围内 ,只在线性回归中简单提到过.
3解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f （x＋4）＝－f（x＋2）
＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－ f（0）＝0，选B
4.解析：已知函数
y?f(x)
的图象与函数
y?a
x
（
a?0
且
a?1
）的图象关于直线
y?x对称,则
f(x)?log
a
x
，记
g(x)?f(x)[f( x)?f(2)?1]
=
(log
a
x)
2
?(loga
2?1)log
a
x
．当a>1时，若
y?g(x)
在
11
区间
[,2]
上是增函数，
y?log
a
x
为增函数，令
t?log
a
x
，t∈[
log
a< br>,
log
a
2
]，要求
22
log
a2?1
11
≤log
a
，矛盾；当0y?g(x )
在区间
[,2]
上是增函数，对称轴
?
222
loga
2?1
11
≥log
a
，令
t?log
a< br>x
，t∈[
log
a
2
,
log
a
]，要求对称轴
?
y?log
a
x
为减函数，
222
11
解得
a≤
,所以实数
a
的取值范围是
(0,]
,选D.
22
x
5.解析：函数y
?a
x
(a
x
?3a
2
?1)(a?0
且
a?1)
可以看作是关于a
的二次函数，若
3a
2
?1
a>1，则
y?a
是增函数，原函数在区间
[0,??)
上是增函数，则要求对称轴≤0，
2
x
矛盾；若0y?a
是减函数，原函数在区间
[0,??)上是增函数，则要求当
x
3a
2
?1
t?a
(0y?t?(3a?1)t
在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴
2
1
3
a
2
≥
，∴实数
a
的取值范围是[,1)
，选B.
3
3
x
22
6.解：当x?－1时 ，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－
3?0，所以2－ x?－x－1；当－1?x?
－x）＝2x－1?0，x＋1?2－x；当
＝x－2，显然x＋ 1?x－2；
1
时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（22
1
?x?2时，x＋1?2－x；当x?2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|
2
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?
2?x(x?(??,?1)
?
?
2 ?x(x?[?1,
1
))
?
2
据此求得最小值为
3
。选C 8。-3 故
f(x)?
?
2
?
x?1(x?[
1
,2))
?
2
?
x?1(x?[2,? ?))
?
11. 1或-2; 解：令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由 f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又
令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以
f(y+1 )-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y， f(y)>0，
*
因此y∈N时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1 的正整数t，恒有f(t)>t，由①得
f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面证明： 当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：
f(t)-f(t+1 )=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f( t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因 为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1
或t=2。
12.解：考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和
不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．将M的元配为n对，B
i
=(i，2n+1-i)，
1≤i≤n． 对M的任一n+3元子集A，必有三对
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
同属于 A(i
1
、i
2
、i
3
两两不同)．又
将M的元配为n-1对，C (i，2n-i)，1≤i≤n-1．对M的任 一n+3元子集A，必有一对
C
i
4
i

同属于A，这一对
C
i
4
必与
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和
为 2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310．
?
x?2y?0
?x?2|y|
?
?
?
2
13. 解：
?
x?2y?0

3

2?
(x?2y)(x?2y)?4
?
x?4y?4
?
由对称性只 考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x-4y=4，
222
有3y-2uy+(4-u)=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u-3)≥0。
22
,a?1
，14.解析：设
a?0
函数
f(x)?a
lg(x
2
2
?2x?3)
有最大值，∵
lg(x?2x?3)≥l g2
2
?
x
2
?5x?7?0
有最小值，∴ 0log
a
?
x?5x?7
?
?0
的解为< br>?
2
，解得2x?5x?7?1
?
1
所以 不等式的解集为
?
2,3
?
. 15.
(a??或a?0）

2
b?11?2
x
?0?b?1?f (x)?
16.解析：（Ⅰ）因为
f(x)
是奇函数，所以
f(0)
=0，即
a?2a?2
x?1
1
1?
1?2
又由f（1）= -f（-1）知
??
2
?a?2.

a?4a?1
1?2
x
11
???
（Ⅱ）解法一 ：由（Ⅰ）知
f(x)?
，易知
f(x)
在
(??,??)
上
x?1x
2?222?1
22
为减函数。又因
f(x)
是奇函数，从而不等式：
f(t?2t)?f(2t?k)?0

222
等价于
f(t?2t)??f(2t?k)?f(k?2t)
，因
f(x)
为减函数，由上式推得：
t
2
?2t?k?2t
2
．即对一切t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
，
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从而判别式
??4?12k?0?k??.

解 法二：由（Ⅰ）知
1
3
1?2
x
f(x)?
．又由题设条件 得：
2?2
x?1
1?2
t
2?2
2< br>?2t
2?2
222
即 ：
(2
2t?k?1
? 2)(1?2
t?2t
)?(2
t?2t?1
?2)(1?2
2t? k
)?0
，
2
t
2
?2t?1
?
1?2
2t
2
?k
2t
2
?k?1
?0
，
整理得
2
3t
2
?2t?k
?1,因底数2>1,故:< br>3t
2
?2t?k?0

1
3
上式对一切
t ?R
均成立，从而判别式
??4?12k?0?k??.


17． 【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达定理得有
?
?
?
?
t
，?
?
?
??1

2
，
4
?
? t4
?
?2(
?
?
?
)2
????2
?< br>22
?
?
?1
?
?
??
4
?
?t4
?
?2(
?
?
?
)2
f(
?)?
2
????2
?
，
2
?
?
?1
?
?
??
f(
?
)?f(
?
)?2
?
?2
?
??2
………………………………………5分 ∴
?
?
??
?
?
f(
?
)?
4x?t
?2(2x
2
?tx?2)
（Ⅱ）已知函数
f(x)?
2
， ∴
f
?
(x)?

22
x?1
(x?1)
而且对
x?[
?
,
?
]
，
2x
2
?tx?2?2(x?
?
)(x?
?
)?0
，于是
f
?
(x)?0
，
∴函数
f(x)?
4x?t
在
[
?
,
?
]
上是增函数 ……………………………………………10
2
x?1
分
注意到对于任意的正数
x
1
、
x
2

x< br>1
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)x
?
?x
2
?
x(
?
?
?
)< br>?
?
?
2
?0
，
1
?
?
?
1
?0

x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
即
?
?
1
?
?
，同理
?
?< br>1
?
?
． ………………………15分
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
?
?x
2< br>?
x
?
?x
2
?
∴
f(
?
)?f(
1
)?f(
?
)
，
f(
?
)?f (
1
)?f(
?
)
，
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
?
?x
2
??f(
?
)??f(
1
)??f(
?
)
． < br>x
1
?x
2
x
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
于是
?[f(
?
)?f(< br>?
)]?f(
1
)?f(
1
)?f(
?
)? f(
?
)
，
x
1
?x
2
x
1< br>?x
2
x
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
∴
|f(
1
)?f(
1
)|?f (
?
)?f(
?
)
．
x
1
?x
2
x
1
?x
2
而
f(
?
)?f(
?
)?2
?
?2
?
?2|
?
?
?
|
，
∴
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|f(
x
1
?
?x
2
?
x
?
?x
2
?
)?(
1
)|?2|
?
?
?
|
． ……………………………………20分
x
1
?x
2
x
1
?x
2





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