「精品」高中数学第一章集合1.1集合与集合的表示方法学习导航学案新人教B版必修1

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1.1 集合与集合的表示方法
自主整理
1.与集合有关的概念
一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是 由这些对象的全体构
成的集合(或集).常用大写字母A、B、C、D……表示;构成集合的每个对象叫 做这个集合的
元素(或成员),常用小写字母a、b、c、d……表示.
2.元素与集合的从属关系
a是集合A的元素,记作a∈A,读作“a属于A”;a不是集合 A的元素,记作a
?
A,读作“a不
属于A”.
3.空集
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作
?
.
4.集合元素的特征
(1)确定性:对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的.
(2)互异性:对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:对于一个给定的集合,它的任何两个元素的位置都是可以交换的.
5.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集.
(1)有限集——含有有限个元素的集合.
(2)无限集——含有无限个元素的集合.
6.一些常见的数集及其记法
全体非负整数组成的集合,叫做非负整数集(或自然数集),记作N;
*
所有正整数组成的集合,叫做正整数集,记作N或N
+
;
全体整数组成的集合,叫做整数集,记作Z;
全体有理数组成的集合,叫做有理数集,记作Q;
全体实数组成的集合,叫做实数集,记作R.
7.集合的表示方法
(1)列举法:
把集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,元素之间用逗号分隔,但列举时与元素
的次序无关.
注意:如果两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等.
(2)特征性质描述法:
如果在集合I中,属于集合A的任一元素x都具有性质P(x),而 不属于集合A的元素都不具
有性质P(x),则性质P(x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A 可以用它的特征性质P(x)
描述为{x∈I|P(x)},它表示集合A是由集合I中具有性质P(x )的所有元素构成的.
高手笔记
1.集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始 接触集合,最好还是要通过一些实例
了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确 定性、互异性和无序性,
这有助于我们对集合的理解.
2.元素、集合的字母表示,以及元素 与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟
悉.
3.学习列举法时,要知道集合 中元素的列举与元素次序无关,即集合元素的无序性.学习特征
1

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性质描述法时,可针对具体的集合,先用自然语言表示 集合的元素具有的共同属性,再用描述
法来表示集合.
4.列举法和描述法在表示集合时各有 优点,一般情况下,对有限集,在元素不太多的情况下,
宜采用列举法,它具有直观明了的特点;对无限 集,一般采用描述法.
5.对于含参数的集合问题,要注意元素的互异性、分类讨论思想的应用.
名师解惑
1.怎样正确地理解集合、元素及其关系?
剖析:
(1)集合是由元素构成的,认识集合应该从认识它的元素开始:
①不能把整数集与{整数集 }看作是相同的集合,因为前一个集合的元素是整数,而后一个集
合中的元素是集合;
②a与{a}不同,a表示一个元素,{a}表示由一个元素a构成的集合,一般称{a}为单元素集;
③{0}是含有一个元素0的集合,同理,{
?
}是含有一个元素
?
的集合,而
?
却是不含有任
何元素的集合,三者都表示集合,但却是三个不同的集合.
(2)研究集合还应着眼对元素构成的“全体”的整体研究.
集合可以由离散型元素构成(例 如{π,2π,3π}),也可以由连续型元素构成(例如
{x|-3≤x<7}),还可以由有序实数 对构成({(x,y)|5x+6y=3,x、y∈R})等等,有时还要研究不
给出具体元素的抽象集 合.
(3)元素与集合是“属于”与“不属于”的关系.符号“∈,
?
”只能用于集 合与元素之间,
表示元素与集合之间的从属关系,不能用来表示集合与集合之间的关系,这一点千万要记 准.
2.集合的表示法常见的有描述法和列举法,通过本节学习你能归纳如何选择这两种方法吗？
剖析:
2
(1)当集合中元素的个数有限但公共属性难以概括时,只能用列举法,如 {x,x+1,x-y}.
(2)当集合中元素的个数无法一一列出时,可先抽象出元素的特征性质,用描述法描述它.
(3)当集合的元素不是实数或式子,常采用自然语言表示,当用自然语言来描述集合中元素的
特征和性 质时,分隔号及前面的部分常常省去.如“所有四边形组成的集合”记为{x|x是四
边形}.在不致混 淆的情况下,可以省去“|”及其左边的部分,直接写成{四边形}.
(4)对于用自然语言描述的集 合,要试着分别用列举法和描述法去表示它,如B={大于10且小
于20的整数},可以写作B={x ∈Z|10述法、列举法也可相互转化,同时也可转化成自然语言表示.
(5)在不致引起混淆的情况下,所有 的非负数组成的集合可记为{x|x≥0}.当集合是数集时,
在没有标明x范围的前提下,我们认为x 的值是使式子有意义的所有x的值.如{y|y=
1
},此
x
时我们认为x∈ R且x≠0,由反比例函数的性质,可知该集合可化为{y|y∈R且y≠0}.
3.为何说用描述法 表示的集合,认识它要看清集合的代表元素是什么?在使用描述法时,应注
意什么?
剖析:
(1)描述法是将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来的方法,
它 反映了集合元素的形式.
2
如{y|y=x-2x+3}与{y|y≥2}、{x|x≥2}均为同一集合;
222
又如,集合A={y|y=x-2x+3,x∈R},B={y|y=x-2x+3,x>2}与 C={(x,y)|y=x-2x+3}不是同一集
2
合.这是因为集合A={y|y=x-2 x+3,x∈R}中的代表元素是“y”,它代表一个数,所以集合A
2
是个数集,且A={y |y=(x-1)+2}={y|y≥2};集合B同样也是一个数集,但由于x的取值不一样,
2

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所以有B={y|y=(x-1)+ 2,x>2}={y|y>3},与A并不是同一集合;而集合C中的代表元素为
“(x,y)”,代表 直角坐标平面上的点,因此集合C是个点集,表示坐标平面上抛物线
2
y=x-2x+3上的所 有点.
(2)在使用描述法时,应注意以下五点:
①写清楚该集合中元素的代表符号;
②说明该集合中元素的特征;
③多层描述时,应当准确使用“或”“且”“非”等逻辑联结词;
④所有描述的内容都要写在集合括号内;
⑤用于描述的语句力求简明、确切,如{x|x为中国的直辖市}.
讲练互动
【例题1】下列各组对象能构成集合吗？
(1)你所在班级的男生;
(2)美丽的小鸟;
2
(3)关于x的方程ax+1=0的实数解;
(4)从1988年到2004年所有举办过奥林匹克运动会的城市;
(5)所有小的正数;
(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点.
分析:“美丽”和“小”没有确定的标准 ,因此(2)(5)的对象不能构成集合,(3)中的方程可
能有实数解,也可能没有实数解,但一旦a 给定后,其方程解的情况就是确定的.
解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合;(2)(5)不能构成集合.
绿色通道 看一组对象能否构成一个集合,只要看这组对象是否是确定的,即任何一个对象,要么在这一
组中, 要么不在这组之中,而没有第三种情况出现.
变式训练
1.下列各组对象中不能构成集合的是( )
A.高一年级开设的课程 B.高一年级任教的老师
C.高一年级1992年出生的学生 D.高一年级比较聪明的学生
解析：依据集合元素的确定性判断.
答案：D
2
【例题2】已知x∈{1,0,x},求实数x的值.
2
分析:根据集合与元素关系,可知x=0,1或x,但考虑元素的互异性,则有x≠0,1.
2
解：若x=0,则x=0,此时集合为{1,0,0},不符合集合元素的互异性;
2
若x=1,则x=1或-1,易知x=1应舍去,故x=-1;
2
若x=x,则x=0或1,都应舍去.
综上,可知x为-1.
绿色通道
此类问题求解时,注重对集合元素互异性的检验和分类讨论思想的应用.要先由集合与元素
2< br>的关系讨论x=0,1或x时,x所对应的取值,然后去建立集合,注意用集合元素的互异性判断
集合的成立与否.
变式训练
22
2.设-5∈{x|x-ax-5=0},则集合 {x|x-4x-a=0}中所有元素之和为__________.
2
解析：∵-5∈{x|x-ax-5=0},
2
∴-5是方程x- ax-5=0的解.
2
∴(-5)-a(-5)-5=0.
3

2

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∴a=-4.
22
∴{x|x-4x-a=0}={x|x-4x+4=0}={2}.
答案：2
3.已知由“x,xy,
x-y
”组成的集合与由“0,|x|,y”组成的集合是同 一个集合,则x,y的
值是否是确定的？若确定,请求出来;若不确定,则说明理由.
分析: 两个集合是同一个集合,必须是两个集合的元素完全相同,而后一个集合出现元素
“0”,因而第一个集 合中也必出现元素“0”,它有三种情况.结合元素的特性对它进行讨论
即可.
解：若x=0,则xy=0,这与元素互异性矛盾,∴x≠0.
若x≠0,xy=0,则y=0,则第二个集合的元素中出现了两个“0”,
这与元素互异性矛盾,∴xy≠0.
综上,可知
x-y
=0,即y=x.由两个集合是同一个集合,可知
xy=|x|,即x=|x|.∴x=±1.当x=1时,y=1,这与元素互异性矛盾.
∴x=y=-1.
故x,y是确定的,x=y=-1.
【例题3】比较并说明下列两个集合之间的差异:
22
(1)A={(x,y)|y=x,x∈R},B={y|y=x,x∈R};
2
?
2x?y?5
(2)A={x|x-6x-7=0},B={(x,y)|
?
}.
3x?2y?11
?
2
分析:要确定一个集合,必须从这 个集合中的元素入手,只有确定了这个集合中元素的特征,
才可以确定这个集合.对于本例中给出的每组 集合中两个集合的元素,可以发现:一个是数,
一个是实数对(点).
2
解：(1) 集合A是一个点集,是由函数y=x图象上的所有的点构成的集合;集合B是数集,是
由所有实数的完全 平方构成的集合.两个集合的元素显然是不同的.
(2)化简两个集合可以得到:A={-1,7}, B={(-1,7)}.集合A、B分别是方程、方程组解的集合,
但A中有两个元素-1,7,而B中 只有一个元素(-1,7).
绿色通道
比较两个集合间的关系关键在于清楚代表元素的形式 是点、数还是代数式……另外要注意理
解元素所具备的特征性质描述的意义及新字母的取值范围,即代表 元素形式一样时,注意区
22
分它的“来源”.如:集合A={x|y=x},B={y|y= x},两个集合中的元素都是数,但是A描述的
22
对象为x,它是y=x中x的范围所构成的 集合,此时x∈R;B描述的对象为y,它是y=x中y的
+
范围所构成的集合,此时y∈R, 所以两个集合是不一样的.
变式训练
4.下面各集合中,可以表示方程组
?
?
x?y?3,
的解集的是______.
?
x-y?-1
①{x=1,y=2} ②{1,2} ③{(1,2)} ④{(x,y)|x=1或y=2}
⑤{(x,y)|x=1且y=2} ⑥{(x,y)|
?
?
x?1
22
} ⑦{(x,y)|(x-1)+(y-2)=0}
?
y?2
4

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解析：方程组的解
?
?
x? 1
是一组数对(1,2),所以解集可用列举法表示为{(1,2)},也可用特
?
y ?2
?
x?1
}
?
y?2
征性质描述法表示为{(x,y )|
?
并且③⑤⑥⑦相互等价.所以可以表示方程组解集的集合为③⑤⑥⑦;
①中两 个元素是两个方程;②中两个元素是两个数,它们都不能表示方程组的解集;④中的元
素虽也是数对(x ,y),也能表示直角坐标平面上的点集,问题是x=1和y=2之间用“或”连接,
表示的却是直线x =1与直线y=2上所有点的集合.
答案：③⑤⑥⑦
【例题4】设集合A={x|
分析:由
6
∈Z,x∈N},试用列举法表示该集合.
3?x
6
∈ Z,可知3-x必为6的因数,且3-x取遍6的诸因数,然后再验证x∈N即可.
3?x
6
解：∵∈Z,∴3-x可取±1、±2、±3、±6.
3?x
又x∈N,∴A={0,1,2,4,5,6,9}.
黑色陷阱
本 题可能会有如下错误解法:∵x∈N,
66
∈Z,∴可取2,3,6,-6,-3,-2,-1 .故
3?x3?x
A={-6,-3,-2,-1,2,3,6}.
这是因为解题者 没有弄清集合A所描述的对象.要注意A的对象是x.还有一种错误是认为6
的因数只有1,2,3,6 ,从而遗漏了6的负因数的情况.
变式训练
5.对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是_________. < br>解析：若a=2,则6-a=4∈A;若a=4,则6-a=2∈A;若a=6,则6-a=0
?
A,所以a的值是2或4.
答案：2或4
6.集合M的元素为自然数,且满足:如果x∈M,则8-x∈M.试回答下列问题:
(1)写出只有1个元素的集合M;
(2)写出元素个数为2的所有集合M;
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
分析:此题关键在于理解“如果x∈M,则8-x∈M”,并要注意集合中元素的互异性.
解：(1)因为M中只有1个元素,根据已知条件,x必须满足x=8-x.
所以x=4.
故只含1个元素的集合M为{4}.
(2)当M中只含有2个元素时,其元素只能是x和8- x,从而含有2个元素的集合M应为
{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}.
( 3)满足题设条件的M是由集合{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}中的元素组合而成. 以上5个
集合中任取1个集合有5种;5个集合中任取2个集合有10种;5个集合中任取3个集合有< br>10种;5个集合任取4个集合有5种;5个集合都取,只有1种.故满足已知条件的集合M共有
5+10+10+5+1=31种.
教材链接
1.［思考与讨论］
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你能否确定,你所在班集体中高个子同学构成的集合？并说明理由.
答:不能确定.因为“高个子”是个不确定性的概念,不满足集合中元素的确定性.
2.［思考与讨论］
你能否确定,你所在班集体中,最高的3位同学构成的集合？
答:能确定.因为“最高”可确定,最高的3位同学就是从高到低依次排的3名同学,满足集合
元素的特 性.
3.［思考与讨论］
哪些性质可作为集合{-1,1}的特征性质？
2
答:特征性质描述法中的元素的特征性质P(x)不唯一,可描述为x=1,|x|=1等.
4.［思考与讨论］
平行四边形的哪些性质,可用来描述所有平行四边形构成的集合？ 答:①两组对边分别平行的四边形;②在平面内,两组对边相等的四边形;③对角线相交且平
分的四 边形.

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