高中数学题不会解-高中数学片段
第四节 古典概型与几何概型
突破点一 古典概型
．基本事件的特点
()任何两个基本事件都是互斥的；
()任何
事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
()有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
()等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
．古典概型的概率公式
()＝.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
()“在适宜条件下，种下一粒种子
观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发
芽与不发芽”．(
)
()掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可
能事件．( )
()从市场上出售的标准为±
的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(
)
()有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可
能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( )
答案：()× ()× ()×
()√
二、填空题
．从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为．
答案：
．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均
等，则甲或乙被录用的概率为．
答案：
．袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球．从中一次随机摸出
只球，则这只球颜色不同的概率为．
答案：
[典例]
(·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为.现采用分
层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．
()应从甲、乙、丙三个年级的学生
志愿者中分别抽取多少人？
()设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬
老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设为事
件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
[解]
()因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为∶∶，由于采用分层抽样的
方法从中抽取名同学
，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取人，人，人．
()①从抽取的名同学中随机抽取
名同学的所有可能结果为{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，{，}，{，}，{，}
，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，
{，}，
{，}，共种．
②由①，不妨设抽出的名同学中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级
的
是，，则从抽出的名同学中随机抽取的名同学来自同一年级的所有可能结果为{，}，{，}，{，}
，
{，}，{，}，共种．
所以事件发生的概率()＝.
．求古典概型概率的步骤
()判断本试验的结果是否为等可能
事件，设出所求事件；
()分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；
()利用公式()＝，求出事件的概率．
．求基本事件个数的三种方法
()列举法：把所有
的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．
()列表法：将基本事件用表格的方式
表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以
及要求的事件所包含的基本事件数．
()树
状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便
于分析基本事件间的结
构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手
段． [针对训练]
．(·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．
哥
德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如＝＋.在不超过的素数中，随
机选取两个不同的数，其和等于的概率是( )
解析：选
不超过的所有素数为，共个，随机选取两个不同的数，共有＝种情况，而和
为的有＋＋＋这种情况，∴
所求概率为＝.故选.
．(·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号
分别为
六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个
编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
()求甲赢且编号和为的事件
发生的概率．
()这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：()设“两个编号和为”为事件，则
事件包括的基本事件有()，()，()，()，()，共
个．又甲、乙两人取出的数字共有×＝个等可能的结果，
故()＝.
()
这种游戏规则是公平的．
设甲赢为事件，乙赢为事件，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件
数有()，
()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，(
)，()，()，()，共个．
所以甲赢的概率()＝＝，故乙赢的概率()＝－＝＝()，
所以这种游戏规则是公平的．
突破点二 几何概型
．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的
概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
．几何概型的两个基本特点
()无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
()等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
．几何概型的概率公式
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
()＝.
()在一
个正方形区域内任取一点的概率是零．(
)
()几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中
的每一点被取到的机会相等．(
)
()在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
答案：()√
()√ ()√
二、填空题
．已知球内切于棱长为的正方
体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为．
答案：－
．已知四边形为长方形，＝，＝，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距
离大于的概率为．
答案：－
．已知函数()＝(＜)，其值域为，在区间
(－)上随机取一个数，则∈的概率是．
考法一
与长度、角度有关的几何概型
答案：
[例]
()(·成都毕业班摸底)在区间[－]上随机地取一个实数，若满足＜的概率为，则
．
．
实数的值为( )
．
()(·福州四校联考)如图，在圆心角为°的扇形中，以圆心为起点
在上任取一点作射线，则使得∠和∠都不小于°的概率是( )
[解析]
()设集合＝{＜}＝(－，)(＞)，若＜≤，则?[－]，由几何概型的意义，得()
＝＝，解得
＝，不符合题意，若＞，则()＝＝，解得＝，符合题意，故选.
()记事件是“作射线，使得∠和∠都
不小于°”，如图，记的三等分
点为，，连接，，则∠＝∠＝∠＝°，则符合条件的射线应落在扇形中，
所
以()＝＝＝，故选.
[答案] () ()
[方法技巧]
．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度
量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动
，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概
率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
考法二
与面积有关的几何概型
[例] ()(·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给
出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为<
br>边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)
色
及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用×勾×股＋(股－勾)＝×朱实＋黄实＝弦实＝弦，
化简得：勾＋
股＝弦.设勾股形中勾股比为∶，若向弦图内随机抛掷 颗图钉(大小忽略不计)，
．
．
则落在黄色图形内的图钉数大约为(
)
．
．
()(·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分
内的概率为(
)
[解析] ()设勾为，则股为，所以弦为，小正方形的边长为－，所以题图中大正方形的面积为，小正方形的面积为(－)，所以小正方形与大正方形的面积比为＝－
，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为× ≈.
()设正方形的边长为
，则可求得
总
＝，
阴影
＝××××＝，所以所求概率为＝，故选.
[答案] () ()
求解与面积有关的几何概型的关键点
[方法技巧]
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造
两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
考法三 与体积有关的几何概型
[例]
(·陕西部分学校摸底)在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是
[解析] 设球的半径为，球的内接正四面体的棱长为，所以正四面体的高为，所以＝＋
，即＝
，所以正四面体的棱长为，底面面积为××＝，高为，所以正四面体的体积为，又球
的体积为，所以点在球的内接正四面体中的概率为，故选.
求解与体积有关的几何概型的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积
[答案]
[方法技巧]
( )
(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
已知函数()＝ ＋
，当∈[，π]时，()≥ 的概率为( )
解析：选 ()＝ ＋ ＝，
∵∈[，π]，∴＋∈，令()≥ ，
得≥，得≤＋≤，∴≤≤，
∴()≥ 的概率为.
在棱长为的正方体?中，点为底面的中心，
在正方体?内随机取一点，则点到点的距离大
于的概率为．
解析：正方体的体积为××＝，以
为球心，为半径且在正方体内部的半球的体积为×π
＝×π×＝π，则点到点的距离大于的概率为：－＝－.
某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三
角
形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为．
解析：设正三角形的边长为，圆的半
径为，则正三角形的面积为.
由正弦定理得＝°)，即＝.所以圆的面积＝π＝π.
由几何概型的概率计算公式得概率＝＝.
答案：
答案：－