高中数学：第一章 集合与函数的概念 1.2.2 第2课时

第2课时 补集及综合应用
学习目标
1.理解全集、补集的概念.2.准确 翻译和使
用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．

知识点一 全集
思考 老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退 是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁
边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些 ？小和尚设定的运动方向共有
哪些？
答案 老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是
四面八方任意方向．
梳理
定义
记法

知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
梳理 1.补集定义
文字语言
符号语言
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素
构成的集 合，叫做A在U中的补集，记作?
U
A
?
U
A＝{x|x∈U，且x?A}
在研究集合与集合之间的关系时，如果 所要研究的集合都是某一给定集合的子集，
那么称这个给定的集合为全集．
全集通常记作U

图形语言


2.运算性质
A∪?
U
A＝U；
A∩?
U
A＝?；
?
U
(?
U
A)＝A.

类型一 求补集
例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?
U
A等于( )
A．{x|0C．{x|0答案 C
解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
B．{x|0≤x<2}
D．{x|0≤x≤2}

∴?
U
A＝{x|0(2)设U＝{ x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?
U
A，?< br>U
B.
解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所 以?
U
A＝{4,5,6,7,8}，?
U
B＝{1,2,7,8}． (3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A ∩B，
?
U
(A∪B)．
解 根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?
U
(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟 求集合的补集， 需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补
集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求 解．
跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?
U
A＝________.
答案 {3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x |x
2
－x－2≥0}，则?
U
A＝________.
答案 {x|－1＜x＜2}
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y) |xy>0}，则?
U
A＝________.
答案 {(x，y)|xy≤0}
类型二 补集性质的应用
命题角度1 补集性质在集合运算中的应用
例2 已知A ＝{0,2,4,6}，?
U
A＝{－1，－3,1,3}，?
U
B＝{－1 ,0,2}，用列举法写出集合B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，?
U
A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?
U
B＝{－1,0,2}，
∴B＝?
U
(?
U
B)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟 从Venn图的角度讲，A与?
U
A就是圈内和圈外的问题，由于(?< br>U
A)∩A＝?，(?
U
A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反 推．
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若
A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.

答案 {x|0≤x≤1或x＞2}
解析 A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?
(A
∪
B)
(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2 补集思想的应用
例3 关于x的方程：x
2
＋ax＋1＝0，①
x
2
＋2x－a＝0，②
x
2
＋2ax＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
解 假设三个方程均无实根，则有 Δ
1
＝a
2
－4<0，
?
?
?
Δ2
＝4＋4a<0，
?
?
Δ
3
＝4a
2
－8<0，
?
－2?
即
?
a<－1，
?
?
－2



解得－2∴当a≤－2或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，
即a的取值范围为{a|a≤－2或a≥－1}．
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题．
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3 若集合A＝{x|ax
2
＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解 假设集合A中含有2个元素，
即ax
2
＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，

?
?
a≠0，
9
则
?
解得a<，且a≠0，
8
?
Δ＝9－8a>0，
?

9
则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是{a|a<且a≠0}．
8
99
在全集U＝R中，集合{a|a<且a≠0}的补集是{a|a≥或a＝0}，
88
9
所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥或a＝0}．
8
类型三 集合的综合运算
例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3 ,4}的子集，且?
U
(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A
∩
(?
U
B)等于( )
A．{3}
C．{3,4}
答案 A
解析 ∵?
U
(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴?
U
B＝{3,4}，
A中必有3，可以有1,2，一定没有4.
∴A∩(?
U
B)＝{3}．
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?
R
B)＝ R，则实数a的取值范围是
________．
答案 a≥2
解析 ∵?
R
B＝{x|x<1或x>2}且A∪(?
R
B)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.
反思与感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括 号内的部分，再计算其他部分．有限集
混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?
UA)∩(?
U
B)＝{1,3,7}，A∩(?
U
B)＝{4,9}，则
B．{4}
D．?
B等于( )
B．{2,5,6,8}
D．{2,4,5,6,8,9}
A．{1,2,3,6,7}
C．{2,4,6,9}
答案 B
解析 根据题意可以求得U＝{1,2,3 ,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，
故选B.

(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2U
A)∪B，
A∩(?
U
B )．
解 如图所示．

∵A＝{x|－2∴?
U
A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?
U
B＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?
U
A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?
U
B)＝{x|2

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?
U
M等于( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
答案 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则 ?
U
(A∪B)等于(
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案 D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{ x|－4≤x≤1}，则(?
R
S)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
答案 C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是( )
A．Z∪?
U
N B．N∩?
U
N
C．?
U
(?
U
?) D．?
U
Q
答案 A
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}， M∩(?
U
N)＝{2,4}，则N等于( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
)

1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有 任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，
它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研 究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R
就是全集．因此，全集因研究的问题而异．
(2 )补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全
集的不同，得到 的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?
U
A的 数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?
U
A＝{x|x∈U，且x?A} ，
补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集 思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，
可先求?
U
A，再由?
U
(?
U
A)＝A求A.
课时作业
一、选择题
1．已知 全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?
U
A) ∪B为( )
A．{1,2,4}
C．{0,2,4}
答案 C
解析 因为?
U
A＝{0,4}，所以(?
U
A)∪B＝{0,2,4}．
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x
2
－4≤0}，则?
U
M等于( )
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2}
B．{x|－2≤x≤2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
B．{2,3,4}
D．{0,2,3,4}

答案 C
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴?
U
M＝{x|x<－2或x>2}．
3．已知全集U＝{1,2，a
2
－2a＋3}，A＝{1，a}，?
U
A＝ {3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
答案 D
解析 由题意，知
?
?
?
a＝2，
?< br>?
a
2
－2a＋3＝3，

则a＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(?
U
B) B．B∩(?
U
A)
C．?
U
(A∩B) D．?
U
(A∪B)
答案 B
解析 阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此，阴影部分所表示的集合为B∩(?
U
A)．
5．已知U为全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，则( )
A．?
U
N??
U
M B．M??
U
N
C．?
U
M??
U
N D．?
U
N?M
答案 C
解析 由M∩N＝N知N?M.∴?
U
M??
U
N.
6．设全集U＝{x ∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x
2
≥5}，则?
U
A等于(
A．? B．{2} C．{5} D．{2,5}
答案 B

)

解析 因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，
所以?
U
A＝{x∈N|2≤x<5}，故?
U
A＝{2}．
二、填空题
7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U
(A∪B)＝______，(?
U
A)∩(?
U
B)
＝________.
答案 {x|0解析 A∪B＝ {x|x≤0或x≥1}，?
U
(A∪B)＝{x|0U
A＝ {x|x>0}，?
U
B＝{x|x<1}，
∴(?
U
A)∩(?
U
B)＝{x|08． 若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)___ _____?
U
A.(填“∈”
或“?”)
答案 ∈
解析 显然(－1,1)∈U，且(－1,1)?A，
∴(－1,1)∈?
U
A.
9．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(?
U
A)∪B＝R ，则实数a的取值范围是
________．
答案 a≤1
解析 ?
U
A＝{x|x≤1}，
∵(?
U
A)∪B＝R，∴B?{x|x>1}，
∴a≤1.
1 0．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为_____ ___．

答案 {x|x≤1或x>2}
解析 如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1∴阴影部分为?
U
(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．

三、解答题
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?
U< br>A)＝R，B∩(?
U
A)＝{x|0求集合B.
解 ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?
U
A＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(?
U
A)＝R，A∪(?
U
A)＝R，
可得A?B.
而B∩(?
U
A)＝{x|0∴{x|0借助于数轴

可得B＝A∪{x|012．已知U＝R， 集合A＝{x|x
2
－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?
U
A)＝?，求实数m的

值．
解 A＝{－1,2}，B∩(?
U
A)＝?等价于B?A.
当m＝0时，B＝??A；
1
当m≠0时，B＝{－}．
m
111
∴－＝－1或－＝2，即m＝1或m＝－.
mm2
1
综上，m的值为0,1，－.
2
y－3
13．设 全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，P＝{(x，y)|y≠x＋1} ，求
x－2
?
U
(M∪P)．
解 集合M表示的是直线y＝x＋1 上除去点(2,3)的所有点，集合P表示的是不在直线y＝x
＋1上的所有点，显然M∪P表示的是平 面内除去点(2,3)的所有点，故?
U
(M∪P)＝{(2,3)}．
四、探究与拓展
14．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )

A．(?
I
A∩B)∩C
C．(A∩B)∩(?
I
C)
答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的 集合是
(A∩?
I
B)∩C.
15．设全集为R，A＝{x|3(1)求?
R
(A∪B)及(?
R
A)∩B；
(2)若C＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A∩C＝A，求a的取值范围．
解 (1)∵A∪B＝{x|3B．(?
I
B∪A)∩C
D．(A∩?
I
B)∩C

∴?
R
(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}．
又∵?
R
A＝{x|x≤3或x≥7}，
∴(?
R
A)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)∵A∩C＝A，∴A?C.
?
a＋4≥7，
?
a≥3，??
∴
?
?
?
?3≤a≤7.
??
a－4≤3a≤7
??

∴a的取值范围为{a|3≤a≤7}．