高中数学教师资格面试准备用什么资料-北京市范大学出版社高中数学
高中数学专题-集合与函数
1.(人教版第14页B组第1题)
已知集合
A?
?
1,2
?
,集合
B
满足
A
UB?
?
1,2
?
,则集合
B
有 个.
变式1:已知集合
A?
?
1,2
?
,集合
B
满足<
br>AUB?A
,集合
B
与集合
A
之间满足的关系是
解:
B?A
变式2:已知集合
A
有
n
个
元素,则集合
A
的子集个数有 个,真子集个数有 个
解:子集个数有
2
n
个,真子集个数有
2
n
?1
个
变式
3:满足条件
?
1,2
?
UA?
?
1,2,3
?<
br>的所有集合
A
的个数是 个
解:3必须在集合
A
里面
,
A
的个数相当于2元素集合的子集个数,所以有4个.
设计意图:考察集合的运算与集合之间的关系
2.(人教版第14页A组第10题)
C
R
(AIB)
,
(C
R
A)IB
,已知集合<
br>A?
?
x|3?x?7
?
,求
C
R
(AUB
)
,
B?
?
x|2?x?10
?
,
AU(C
R
B)
变式1:已知全集
U?R,
且
A?x|x?1?
2,B?x|x
2
?6x?8?0,
则
(C
U
A)IB等于
A.
[?1,4)
B
(2,3)
C
(2,3]
D
(?1,4)
解:答案为C,集合
A?
?
x||x?1|?2
?
?x|x?3或x??1
,
所以
C
U
A?
?
x|?1?x?3
?
,集合B?x|x
2
?6x?8?0?
?
x|2?x?4
?
,
所以
(C
U
A)IB
为
(2,3]
变式
2:设集合
A?xx?2?2,x?R
,
B?y|y??x
2
,?1
?x?2
,则
C
R
?
AIB
?
等
于(
)
A.
R
B.
xx?R,x?0
C.
?
0
?
D.
?
解
:
A?[0,4]
,
B?[?4,0]
,所以
C
R
?
AIB
?
?C
R
{0}
,故选B。
变式3.已
知集合
P?
?
x?N|1?x?10
?
,
集合
Q?
x?R|x?x?6?0,
则
PIQ
等于
2
??
??
??
??
??
??
??
??
(A)
?
1,2,3
?
(B)
?
2,3
?
(C)
?
1,2
?
(D)
?
2
?
解:集合
Q?x?R|x
2
?x?6?0?
?
?3,2?
,所以答案为D.
设计意图:结合不等式考察集合的运算
3.(北师大
版第21页B组第2题)已知集合
A?1,3,?a
3
,
B?
?1,a?2
?
,是否存在实数
??
??
a
,使得
B?A
,若存在,求集合
A
和
B
,若不存在,请说明理由.
变式1:已知集合A=
{
-1,3,2
m
-1
}
,集合B=
{
3,若
B?A
,则实数
m
=
.
m
}
.
解:由已知
m?2m?1?m?2m?1?0?m?1<
br>
变式2:
A?x|x
2
?x?6?0
,
B?
?
x|mx?1?0
?
,且
AUB?A
,则
m
的
取值范围是
______ .
解:
A?x?R|x
2
?
x?6?0?
?
?3,2
?
,当
B??
时,
m?0
,当
m?0
时,
x??
所以
?
22
2??
??
1
,
m
11
?
1111
?<
br>?2
或
???3
,所以
m??
或
m??
,所
以
m?
?
0,?,
?
23
?
mm23<
br>?
变式3:设
A?x|x
2
?4x?0
,
B?x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
且
AIB?B
,求实数
????
a
的值.
解:
A?
?
?4,0
?
,因为
AIB?B
,所以
B?A
,所以
B??<
br>或
B?
?
?4
?
或
B?
?
0
?
或
B?
?
?4,0
?
,当
B??
时,
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0?a??1
,当
B?
?
?4
?
或
B?
?
0
??
?4?0??2(a?1)
时,
??0?a??1
,
B?<
br>?
0
?
符合题意,当
B?
?
?4,0
?时,
?
?a?1
2
?
?4?0?a?1
所以
a??1
或
a?1
设计意图:结合参数讨论考察集合运算
4.(北师大版第38页B组第1题)设函数
f(x)?
3
3x?2
,g(x)?
1
,求函数
2x?3
f(x)gg(x)
的定义域.
变式1: 函数
f(x)?
3x
21?x
?lg(3x?1)
的定义域是
1
3
11
33
1
3
A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)
1
3?
1?x?0
1
解:由
?
???x?1
,故选B. <
br>3
?
3x?1?0
变式2:设
f
?
x
??lg
2?x
?
x
??
2
?
,则
f<
br>??
?f
??
的定义域为
2?x
?
2
??
x
?
A.
?
?4,0
?
?
?
0,4
?
B.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
C.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?
<
br>?
?2?
?
2?x
?
解:选C.由
?0
得,
f(x)
的定义域为
?
x|?2?x?2
?
。故
?
2?x
?
?2?
?
?
x
?2,
2
,解得
2
?2.
x
?
x
??
2
?
x?
?
?4,?1
?
U
?
1,4
?
。故<
br>f
??
?f
??
的定义域为
?
?4,?1
?
U
?
1,4
?
?
2
??
x
?
设计意图:考察函数的定义域
5.(人教版第84页B组第4题)
已知函数
f(x)?log
a
(x?1)
,
g(x)?log
a
(1?x)(a?0
,且
a?1)
(1) 求函数
f(x)?g(x)
定义域
(2)
判断函数
f(x)?g(x)
的奇偶性,并说明理由.
变式1:已知
f(x
)?ax?bx?3a?b
是偶函数,定义域为
[a?1,2a]
.则
a?<
br> ,
2
b?
解:函数是偶函数,所以定义域关于原点
对称.∴
a?1??2a?a?
1
,
b?0
3
9?x
2
变式2:函数
y?
的图象关于 (
)
|x?4|?|x?3|
A.
x
轴对称 B.
y
轴对称
C.原点对称 D.直线
x?y?0
对称
9?x
2
9?x
2
?
解:函数定义域为
9?x?0??3
?x?3
,所以
y?
,所以函数为
4?x?3?x7
2
偶函
数,图像关于
y
轴对称.
变式3:若函数
f(x)?log
a(x?x
2
?2a
2
)
是奇函数,则
a?
解:由于
f(x)?log
a
(x?x
2
?2a
2
)
是奇函数,∴
f(?x)?f(x)?0
,
即
lo
g
a
(x?x
2
?2a
2
)?log
a
(
?x?x
2
?2a
2
)?0
,
∴
log
a
2a?0?2a?1?a??
设计意图:考察定义域与奇偶性
6.(人教版83页B组第2题)
若
log
a
22
22<
br>,又
a?0
,∴
a?
22
3
?1(a?0
,且
a?1)
,求实数
a
的取值范围.
4
D.
(0,)
1?a
2
?0
,则
a
的取值范围是 ( )
变式1:若
log
2a
1?a
A.
(,??)
1
2
B.
(1,??)
C.
(,1)
1
2
1
2
1?a
2
1?a
2
11
?0
,则
0??1
?0?a?1
,∴
?a?1
解:当2a?1?a?
时,若
log
2a
1?a
1?a
22<
br>1?a
2
1?a
2
1
?0
,则
?1
?
a?1
,此时无解! 当
1?2a?0?0?a?
时,若
log<
br>2a
1?a
1?a
2
所以选C
2xx
变式2:设<
br>0?a?1
,函数
f(x)?log
a
(a?2a?2)
,则
使
f(x)?0
的
x
的取值范围是
(A)
(??,0)
(B)
(0,??)
2x
(C)
(??,log
a
3)
(D)
(log
a
3,??)
解:要使
f(x)?0,且
0?a?1
,所以
a?2a
x
?2?1
?
a
2x
?2a
x
?3?0
?
(a
x?3)(a
x
?1)?0?a
x
?3
,又
0?a?1<
br>,∴
x?log
a
3
,故选C.
设计意图:考察对数函数的单调性
7.(人教A版126页B组第1题)
经济学家
在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴来表示产品数量(因
变量),下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供应曲线,哪条表示客户希望的
需求曲线?为什么?
(图略)
变式1:某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份
)之间的关系如图(1)所示,已知
该年的平均气温为10℃,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均
气温,G(t)与t之间的函数关系
用下列图象表示,则正确的应该是
?c 10
( )
G(t)
G(t)
10?c
10?c
G(t)
t
6
12
O
6
12
t
O 6 12
t O
10?c
答案:A
O
图(1)
A
B
G(t)
G(t)
10?c
12
6 t t
O 6 12
C
D
变式2:为了
稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格
a
与其前三个月的市场收购价
格有
关,且使
a
与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前
6个月的市场收购价格:
月份
价格(元担)
1
68
2
78
3
67
4
71
5
72
6
70
7
( )
则7月份该产品的市场收购价格应为
A.69元
答案:C
B.70元 C.71元 D.72元
设计意图:考察学生读图、读表的能力
8.(人教版43页B组第3题)
已知函数
f(x)
是偶函数,而且在
(0,??)
上是减函数,判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数还是
减函数,并证明你的判断.
变式1:下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
3
A.
y??x,x?R
B.
y?sinx,x?R
C.
y?x,x?R
D.
y?(),x?R
解:B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是
奇函数又是增函数;D在其定
义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
变式2:函数
y?f(x)
是R上的偶函数,且在
(??,0]
上是增函数,若
f(a)?
f(2)
,则实数
a
的取值范围是 ( )
A.
a?2
B.
a??2
C.
?2?a?2
D.
a??2
或
a?2
解:当
a?0
时,∵函数
y?f(x)
是R上的偶函数,且在
(
??,0]
上是增函数,∴
y?f(x)
在
1
x
2
(0,??)
上是减函数,所以若
f(a)?f(2)
,则
a?2
,
当
a?0
时,函数
y?f(x)
是R上的
偶函数,且在
(?
?,0]
上是增函数,且
f(?2)?f(2)
,∴
a??2
,故选
D
设计意图:考察函数奇偶性与单调性的关系
9.(人教版第49页B组第4题)
?
x(x?4),x?0
已知函数
f(x)?
?
,求
f(
1)
,
f(?3)
,
(a?1)
的值
x(x?4),x?
0
?
?
e
x
,x?0.
1
变式1:设
g(
x)?
?
则
g(g())?
__________
2
?<
br>lnx,x?0.
1
ln
111
解:
g(g())?g(ln
)?e
2
?
.
222
变式2:已知
f(x)?
?
?
(3a?1)x?4a,x?1
是
(??,??)
上的减函数,那
么
a
的取值范围是
?
log
a
x,x?1
A.
(0,1)
C.
[,)
B.
(0,)
D.
[,1)
<
br>1
3
11
73
1
7
解:分段函数的单调性需分段处理
.答案选C
2
?
x?1
?
(x?1)
变式3:设函数f(
x)=
?
则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为
x?1
?
?
4?x?1
A.(-∞,-2]∪[0,10]
C.(-∞,-2]∪[1,10]
B.(-∞,-2]∪[0,1]
D.[-2,0]∪[1,10]
解:当x<1
时,f(x)≥1
?
(x+1)
2
≥1
?
x≤-2或x≥0
,∴x≤-2或0≤x<1.
当x≥1时,f(x)≥1
?
4-
x?1≥1
?
综上,知x≤-2或0≤x≤10.
答案:A
设计意图:考察分段函数的概念和性质
10.(北师大版54页A组第5题)
对于下列函数,试求它们在指定区间上的最大值或最小值,并指出这时的
x
值
(2)
y??2x?x?1
,
x?[?3,1]
变式1:
函数
y?a
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则
a
的值为( )
A.
x
2
x?1
≤3
?
1≤x≤10.
11
B.2 C.4 D.
24
x
解:当
a?1
或
0?a?1
时,函数
y?a
都是
定义域上的单调函数,
∴
a?a?3?a?2
,故选C.
变式2:若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则
a
的值
为( )
A.
01
2
4
B.
2
2
C.
1
4
D.
1
2
解:∵
0?a?1
,∴
f(x)
是定义域上的减函数,所以f(x)
max
?log
a
a?1
,
f(x)
min
?log
a
2a
,∴
1?3log
a
2a?
a?(2a)
3
?8a
2
?1?a?
2
,故选A
4
设计意图:考察函数的最值
11.(人教版65页第8题)
已知下列等式,比较
m
,
n
的大小
(1)
2
m
?2
n
(2)
0.2?0.2
mn
变式1:设
11
b
1
?()?()
a
?1
,那么 ( )
222
A.a
a
<a
b
<b
a
B.a
a
< b
a
<a
b
C.a
b
<a
a
<b
a
D.a
b
<b
a
<a
a
解:由
11b
1
?()?()
a
?1?1?b?a?0
,在A和B中,y?a
x
(0?a?1)
在定义域内是
222
n
ab<
br>单调递减的,∴
a?a
,所以结论不成立.在C中,
y?x(n?0)
在
(0,??)
内是单调递增
的,又
a?b?a?b
,所以答案为C
.
变式2:已知
log
1
b?log
1
a?log
1
c
,则 ( )
222
aa
A.
2
b<
br>?2
a
?2
c
B.
2
a
?2
b
?2
c
B.
2
c
?2
b
?2
a
D.
2
c
?2
a
?2
b
解:由已知b?a?c
,因为
y?2
在定义域内是单调递增的,所以
2?2?2
答案为A.
变式3:已知函数
y?f(x)
的图象与函数
y
?a
(
a?0
且
a?1
)的图象关于直线
y?x
对
称,
记
g(x)?f(x)[f(x)?2f(2)?1]
.若
y?g(x)
在区间
[,2]
上是增函数,则实数
a
的取值范围
是( )
A.
[2,??)
B.
(0,1)?(1,2)
C.
[,1)
D.
(0,]
分析:本题根据反函数的定义求出
f(x)
的解析
式,再用换元法判断
g(x)
的单调性,结合条件
x
x
bac
1
2
1
2
1
2
1
y?g(x)
在区间<
br>[,2]
上是增函数,求出实数
a
的取值范围是,答案为D
2
设计意图:考察指、对数函数的单调性
12.(人教版48页A组第8题)
1?x
2
1
设
f(x)?
,求证:(1)
(2)
f()??f(x)
f(?x)?f(x)
1?x
2
x
变式1:函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
?
1
,若
f?
1
?
??5,
则
f
?
x
?
f
?
f
?
5
?
?
?
__________
.
解:
f(3)?f(1?2)?
111
??
,
f(5)
?f(3?2)???5
,又
f(1)5f(3)
f
?
x?2?
?
1
1
,∴
f(x)?
,
f
?<
br>x
?
f(x?2)
∴
f(?5)?
1111
??f(
?1)???
f(?5?2)f(?3)f(1)5
变式2:若奇函数
f<
br>?
x
?
(x?R)
满足
f(2)?1,f(x?2)?f(x
)?f(2)
,则
f(5)?
解:由已知
f(5)?f(
3)?f(2)?f(3)?1?f(1)?f(2)?1?f(1)?2
,令
x??1
,则
f(1)?f(?1)?1
,又∵
f
?
x
?
是奇函数,所以
f(?1)??f(1)
,
∴
f(1)??f(1)?1?
f(1)?
11
,∴
f(5)?2
22
1
,则
f(x)
等于
x?1
2x
x
2
?1
①
变式3:函数
f(x)
是一个偶
函数,
g(x)
是一个奇函数,且
f(x)?g(x)?
1
A.2
x?1
2x
2
B.
2
x?1
C.
2
x
2
?1
D.
解析:由题知
f(x)?g(x)?
1
x?1
以
?x
代
x
,①式得
f
(?x)?g(?x)?
①+②得
f(x)?
答案:A
11
,即
f(x)?g(x)?
②
?x?1?x?1
1
x
2
?1
设计意图:考察函数的抽象运算与综合性质
13.(人教版第49页B组第5题)
证明:
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)<
br>
)?
22
x?x
2
g(x
1
)?g(x<
br>2
)
2
(2)若
g(x)?x?ax?b
,则
g(<
br>1
)?
22
(1)若
f(x)?ax?b
,则f(
变式1:如图所示,
f
i
(x)(i?1,2,3,4)
是
定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,
1]中任意的
x
1
和
x
2
,任意
?
?[0,1],f[
?
x
1
?(1?
?
)x
2
]?
?
f(x
1<
br>)?(1?
?
)f(x
2
)
恒成立”的只有
(
)
f
1
(x)
f
2
(x)
f
3
(x)
f
4
(x)
A.
f
1
(x)
和
f
3
(x)
B.
f
2
(x)
解:当
?
?
C.
f
2
(x)
和
f
3
(x)
D.
f
4
(x)
1
时,符合条件的函数是凹函数,从图像
可看出有
f
1
(x)
和
f
3
(x)
,选择
A.
2
ax?b
的图象如下图所示,则a、b、c的大小关系是
2x?c
变式2:.设函数
f(x)
=
y
1
-1
O
1
x
-1
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
解析:f(0)=
a
b
=0,∴b=0.f(1)=1,∴=1.
c
1?c
ax
>0,
2
x?c
∴a=c+1.由
图象看出x>0时,f(x)>0,即x>0时,有
∴a>0.又f(x)=
a
c
x?
x
,
当x>0时,要使f(x)在x=1时取最
大值1,需x+
当且仅当x=
c
=1时.∴c=1,此时应有f(x)=
c<
br>≥2
c
,
x
a
=1.∴a=2.
2
答案:B
变式3:如图所示,单位圆中弧
AB
的
长为
x,f(x)
表示弧
AB
与弦
AB
所围成的弓形面积的2倍,则函数
y?f(x)
的图象是
答案:( D )
设计意图:考察图象与式子运算的能力
14:(北师大版136页B组第1题)
判断下列方程在(0,10)内是否存在实数解,并说明理由.
(1)
1
x?lnx?0
(2)
x
2
?lgx?0
2
,方程
时,证明.
的两个根满足变式1:设二次函数
. 当
分析:在已知方程两根的情况下,根据函数
与方程根的关系,可以写出函数
f
?
x
?
?x
的表达式,从
而得到函数
f(x)
的表达式.
证明:由题意可知
f(x)?x?a(x
?x
1
)(x?x
2
)
.
?0?x?x
1
?x
2
?
1
,
a
∴
a(x?x
1
)(x?x
2
)?0
,
∴
当时,
f(x)?x
.
又
f(x)?
x
1
?a(x?x
1
)(x?x
2
)?x?x
1<
br>?(x?x
1
)(ax?ax
2
?1)
,
x?x
1
?0,
∴
f(x)?x
1
,
综上可知,所给问题获证.
变式2:已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
.
(1)若a>b>c, 且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;
(2)在(1)的条件下,是否存在m∈R,使得f(m)=
-
a成立时,f(m+3)为正数,若存
在,证明你的结论,若不存在,说明理由;
(3
)若对
x
1
,x
2
?R,且x
1
?x
2<
br>,f(x
1
)?f(x
2
)
,方程
f(x)?
不等实根,
证明必有一个根属于(x
1
,x
2
)
解: (1)
2
且ax?ax
2
?1?1?ax
2
?0,
1
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有2个
2?f(1)?a?b?c?0且a?b?c,?a?0且c?0,???b
2
?4ac?0
,?f(x)
的图象与x轴有两个交点.
(2)
Qf(1)?0
,∴1是
f(x)?0
的一个根,由韦达定理知另一根为
∴
a?0且
c?0,??0?1,又a?b?c,b??a?c,
则a(m?
c
,
a
c
a
ccc
)(m?
1)??a?0??m?1?m?3??3??2?3?1
aaa
?f(
x)
在(1,+∞)单调递增,
?f(m?3)?f(1)?0
,即存在这样的m使
f(m?3)?0
(3)令
g(x)?f(x)?
1
[f(x
1
)?f(x
2
)]
,则
g(x)是二次函数.
2
224
?g(x
1
)?g(x2
)?[f(x
1
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
][f(x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
]??
1
[f(x
1
)?f(x
2
)
]
2
?0
又Qf(x
1
)?f(x
2
),g(x
1
)?g(x
2
)?0,?g(x)?0
有两个
不等实根,且方程
g(x)?0
的根必
有一个属于
(x
1
,
x
2
)
.
设计意图:考察函数的零点
15.(北师大版第66页B组第3题)
求二次函数<
br>f(x)?x?2(2a?1)x?5a?4a?2
在区间【0,1】上的最小值
g(a
)
的表达式.
变式1:设a为实数,记函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1?x
的最大值为g(a).
(Ⅰ)设t=
1?x?1?x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(Ⅱ)求g(a)
22
1
(Ⅲ)试求满足
g(a)?g()
的所有实数a
a
解:(I)∵
t?1?x?1?x
,
∴要使
t
有意义,必须
1?x?0
且
1?x?0
,即
?1?x?1
∵
t
2
?2?21?x
2
?[2,4]
,且
t?0
……① ∴
t
的取值范围是
[2,2]
。
1
2
11
t?1
,∴
m(t)?a(t
2
?1)?
t?at
2
?t?a
,
t?[2,2]
。
222
1
2
(II)由题意知
g(a)
即为函数
m(t)
?at?
t?a
,
t?[2,2]
的最大值,
2
11
2
∵
直线
t??
是抛物线
m(t)
?at?t?a
的对称轴,∴可分以下
几种情况进行讨论:
a2
由①得:
1?x?
2
(1)当
a
?0
时,函数
y?m(t)
,
t?[2,2]
的图象是开口向上的抛
物线的一段,
由
t??
1
?0
知
m(t)
在t?[2,2]
上单调递增,故
g(a)?m(2)
?a?2
;
a
(2)当
a?0
时,
m(t)?t
,
t?[2,2]<
br>,有
g(a)
=2;
(3)当
a?0
时,,函数
y
?m(t)
,
t?[2,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段,
若
t??
2
1
?(0,2]
即
a??
时,
g(a)
?m(2)?2
,
2
a
21
111
?(2,2]
即
a?(?,?]
时,
g(a)
?m(?)??a?
, <
br>22
aa2a
若
t??
若
t??
11
?(2
,??)
即
a?(?,0)
时,
g(a)?m(2)
?a?2
。
a2
1
(a??)
2
21
,(??a??)
。 <
br>22
2
(a??)
2
?
?
a?2
?
1
?
综上所述,有
g(a)
=
?
?a?
2a
?
?
2
?
?
(III)当<
br>a??
13
时,
g(a)
?a?2
??2
;
22
当
?
211212
1
?a??
时
,
?a?[,)
,
??(,1]
,∴
?a??
,
22222a2
2a
11
2
?2(?a)?(?)?2
,故当
a??
时,
g(a)
?2
;
2a2a
2
g(a
)
??a?
当
a?0
时,
111
?0
,由
g(a)
?g()
知:
a?2
??2
,故
a?1
;
aaa
111
当
a?0
时,
a??1
,故
a??1
或
??1
,从而有
g(a)?2
或
g()?2,
aaa
要使
g(a)
?g()
,必须有
a??此时,
g(a)?
1
a
2122
,
??
,即<
br>?2?a??
,
2a22
1
2
?g()
。
a
2?a??
2
或
a?1
。
2
1
综上所述,满足
g(a)?g()
的所有实数a为:
?
a
设计意图
:考察二次函数的最值与分类讨论的思想
16.(人教版84页B组第5题)
试着举几个满
足“对定义域内任意实数
a
,
b
,都有
f(a?b)?f(a)gf
(b)
”的函数例子.
变式1:设函数f(x)的定义域是N
*
,且
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy
,
f(1)?1
,则f(25)=
___________________.
解析:由
f(x?y)?f(x)?f
(y)?xy
?
f(2)?f(1)?f(1)?1?3
∴
f(2)?f(1)?2
同理,f(3)-f(2)=3.
……
f(25)-f(24)=25.
∴f(25)=1+2+3+…+25=325.
答案:325
变式2:设
f(x)
是定义在R上的偶函数,其图象关于直线
x?1
对称,对任意
x<
br>1
,x
2
?[0,]
,都
有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
)
1
2
(1)设
f(1)?2
,求
f(),f()
(2)证明
f(x)
是周期函数.
2
(1)解:由
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
)知
f(x)?f()f()?f()?0
, x∈[0,1].
1
2<
br>1
4
x
2
x
2
x
2
1111
因为f(1)=f()·f()=[f()]
2
,及f(1)=2,所以f()=2
2
.
2222
111111
因为f()=f()·f()=[f()]2
,及f()=2
2
,所以f()=2
4
.
2444
24
(2)证明:依题设
y?f(x)
关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1
-x)
?
f(x)=f(2-x),
x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(
-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中-x
以x代换,得f(
x)=f(x+2),x∈R.
这表明
f(x)
是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
变式3:设函数
y?f(x)
定义在R上,对任意实数m、n,恒有
f(m?n)?f(m)f(n)
且当
11
1
x?0,0?f(x)?1
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上递减;
(3)设集合A={(x,y)|f(x
2)·f(y
2
)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,
a∈R},若A∩B=
?
,求a的取值范围.
(1)证明:在f(m+n)=f(m)f(n)中,
令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).
∵0<f(1)<1,∴f(0)=1.
设x<0,则-x>0.令m=x,n=-x,代入
条件式有f(0)=f(x)·f(-x),而f(0)=1,
∴f(x)=
1
>1.
f(?x)
(2)证明:设x
1<
br><x
2
,则x
2
-x
1
>0,∴0<f(x
2
-x
1
)<1.
令m=x
1
,m+n=x
2<
br>,则n=x
2
-x
1
,代入条件式,得f(x
2
)=
f(x
1
)·f(x
2
-x
1
),
即0<
f(x
2
)
<1.∴f(x
2
)<f(x
1
).
f(x
1
)
∴f(x)在R上单调递减.
(3)
解:由
f(x)f(y)?f(1)?f(x?y)?f(1)
又由(2)知f(x
)为R上的减函数,∴
x?y?1
?
点集A表示圆
x?y?1
的内部
.由f
(ax-y+2)=1得ax-y+2=0
?
点集B表示直线ax-y+2=0
.
∵A∩B=
?
,∴直线ax-y+2=0与圆
x?y?1
相离或
相切。
于是
22
2222
2222
2
a?1
2<
br>?1
?
?3?a?3
设计意图:考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。